Теорема Крулля о гиперповерхности. Пусть $X$ — $n$-мерное неприводимое алгебраическое многообразие, $f\in\mathbb{K}[X]$ — ненулевой многочлен, и $Y=X(f)$ — подмногообразие, задаваемое одним уравнением $f=0$ (гиперповерхность). Тогда либо $Y=\varnothing$, либо любая неприводимая компонента гиперповерхности $Y$ имеет размерность $n-1$.

Доказательство. 1) Рассмотрим частный случай: $X=\mathbb{A}^n$.

В этом случае алгебра многочленов $\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ факториальна. Разложим многочлен $f$ на неприводимые множители, сгруппировав пропорциональные множители в степени и сократив на коэффициенты пропорциональности: $f=f_1^{k_1}\dots f_s^{k_s}$. По задаче 8.1, неприводимые компоненты гиперповерхности $Y$ суть гиперповерхности $Y_i=X(f_i)$. Поэтому можно далее считать многочлен $f$ неприводимым.

Обозначим через $y_1,\dots,y_n$ ограничения координатных функций $x_1,\dots,x_n$ на $Y$. Пусть, для определённости, $f$ существенно зависит от переменной $x_n$. Тогда $y_1,\dots,y_{n-1}$ алгебраически независимы: в противном случае алгебраическая зависимость $F(y_1,\dots,y_{n-1})=0$ дала бы ненулевой многочлен $F\in\mathcal{I}(Y)$, не зависящий от $x_n$; но по теореме Гильберта о нулях $F^k$ делился бы на $f$ при некотором $k$, что невозможно. Поэтому $\dim{Y}\ge n-1$, но в то же время $\dim{Y}< n$, значит, $\dim{Y}=n-1$.

2) Обратная теорема Крулля: Пусть $Y\subset\mathbb{A}^n$ — неприводимое подмногообразие размерности $n-1$. Тогда $Y$ — гиперповерхность (т.е. задаётся одним уравнением).

В самом деле, возьмём произвольный ненулевой многочлен $f\in\mathcal{I}(Y)$. Разложим его на неприводимые множители: $f=f_1\dots f_m$. Среди них найдётся $f_i\in\mathcal{I}(Y)$ (в силу неприводимости $Y$), т.е. изначально можно считать $f$ неприводимым. Но тогда $Y\subseteq X(f)$ — два неприводимых замкнутых подмногообразия размерности $n-1$, а, значит, они совпадают.

В общем случае обратная теорема Крулля неверна (см. задачу 8.2).

3) Общий случай сведём к случаю аффинного пространства с помощью нётеровой нормализации.

Пусть $Y=Y_1\cup\dots\cup Y_s$ — разложение на неприводимые компоненты. Заменив $X$ на подходящее главное открытое подмножество, пересекающее выбранную компоненту $Y_i$ и не пересекающую остальных компонент, мы можем без ограничения общности считать гиперповерхность $Y$ неприводимой.

Рассмотрим конечный морфизм нётеровой нормализации $\tau:X\to\mathbb{A}^n$ ($n=\dim{X}$) и расширим его с помощью функции $f$ до морфизма $$\varphi:X\to\mathbb{A}^n\times\mathbb{A}^1=\mathbb{A}^{n+1},\quad\varphi(x)=(\tau(x),f(x))\quad(x\in X).$$ Его можно разложить в композицию замкнутого вложения $X\hookrightarrow X\times\mathbb{A}^1$ в виде графика функции $f$ и конечного морфизма $\tau\times\mathrm{id}:X\times\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^n\times\mathbb{A}^1$. Поэтому $\varphi(X)$ замкнуто, неприводимо, и морфизм $\varphi:X\to\varphi(X)$ конечен. В частности, $\dim\varphi(X)=\dim{X}=n$.

По обратной теореме Крулля, $\varphi(X)$ задаётся в $\mathbb{A}^{n+1}$ одним уравнением $g(z,t)=0$ ($z\in\mathbb{A}^{n}$, $t\in\mathbb{A}^1$). Значит, $Z=\varphi(X)\cap(\mathbb{A}^n\times\{0\})=\tau(Y)$ задаётся в $\mathbb{A}^n$ уравнением $g(z,0)=0$, и, по доказанному выше, $\dim{Z}=n-1$, откуда $\dim{Y}=n-1$.

Следствие 1. Пусть непустое подмногообразие $Y$ $n$-мерного неприводимого многообразия $X$ задаётся $m$ уравнениями. Тогда все неприводимые компоненты многообразия $Y$ имеют размерность $\ge n-m$.

Размерности могут быть $> n-m$, потому что очередное уравнение может тождественно выполняться на одной из компонент многообразия, заданного предыдущими уравнениями, и тогда при добавлении этого уравнения её размерность не изменится. В противном случае размерность упадёт на $1$ по теореме Крулля.

Следствие 2. Система уравнений $f_1(x)=\dots=f_m(x)=0$ ($x\in\mathbb{A}^n$), где $f_1,\dots,f_m$ — однородные многочлены положительных степеней от $x_1,\dots,x_n$, имеет ненулевое решение при $m< n$.

Теорема о размерности слоёв. Пусть $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм неприводимых многообразий. Тогда:

1) Для любой точки $y\in Y$ либо $\varphi^{-1}(y)=\varnothing$, либо все неприводимые компоненты слоя $\varphi^{-1}(y)$ имеют размерность $\ge\dim{X}-\dim{Y}$.

2) Существует плотное открытое подмножество в $Y$, над точками которого слои имеют размерность $\dim{X}-\dim{Y}$.

Доказательство. 1) Рассмотрим нётерову нормализацию $\tau:Y\to\mathbb{A}^m$ и морфизм $\psi=\tau\varphi:X\to\mathbb{A}^m$. Поскольку слои морфизма $\tau$ конечны, каждый слой морфизма $\psi$ является дизъюнктным объединением нескольких слоёв морфизма $\varphi$. Поэтому достаточно оценить снизу размерность компонент слоёв $\psi^{-1}(z)$. Но каждый такой слой задаётся $m=\dim{Y}$ уравнениями в $X$ (поскольку точка $z\in\mathbb{A}^m$ задаётся $m$ линейными уравнениями), и можно применить следствие 1.

2) Для доказательства второй части теоремы исследуем локальную структуру морфизма $\varphi$.

Рассмотрим алгебру $A=\mathbb{K}[X]\cdot\mathbb{K}(Y)$, состоящую из рациональных функций вида $f/g$, где $f\in\mathbb{K}[X]$, $g\in\mathbb{K}[Y]$. Она конечно порождена над полем $\mathbb{K}(Y)$ и, по лемме Нётер, имеет систему параметров $t_1,\dots,t_d$ над этим полем, причём можно считать, что $t_i\in\mathbb{K}[X]$.

Выберем систему порождающих $x_1,\dots,x_n$ алгебры $\mathbb{K}[X]$ (ограничения координатных функций при вложении $X\subseteq\mathbb{A}^n$). Они удовлетворяют уравнениям целой зависимости $$x_i^{m_i}+b_{i1}x_i^{m_i-1}+b_{i2}x_i^{m_i-2}+\dots=0,$$ где $b_{ij}$ — многочлены от $t_1,\dots,t_d$ c коэффициентами из $\mathbb{K}(Y)$. Пусть $g\in\mathbb{K}[Y]$ — общий знаменатель всех этих коэффициентов. Заменив $Y$ на главное открытое подмножество $Y_g=\{y\in Y\mid g(y)\ne0\}$, а $X$ — на $X_g=\varphi^{-1}(Y_g)$, мы можем считать, что алгебра $\mathbb{K}[X]$ цела над подалгеброй $\mathbb{K}[Y][t_1,\dots,t_d]$.

Геометрически это означает, что $\varphi$ разлагается в композицию конечного морфизма $X\to Y\times\mathbb{A}^d$ и проекции $Y\times\mathbb{A}^d\to Y$. Слои проекции суть $d$-мерные аффинные пространства, прообразы которых при конечном морфизме (т.е. слои $\varphi$) имеют ту же размерность $d=\dim{X}-\dim{Y}$.

Примеры:

1) Морфизм $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$ задан формулой $\varphi(x,y)=(x,xy)$. Его слои таковы: $\varphi^{-1}(a,b)=\{(a,b/a)\}$ при $a\ne0$, $\varphi^{-1}(0,0)$ — ось ординат $\{x=0\}$, и $\varphi^{-1}(0,b)=\varnothing$ при $b\ne0$.

2) Морфизм $\varphi:\mathbb{A}^3\to\mathbb{A}^2$ задан формулой $\varphi(x,y,z)=(xy,xz)$. Он имеет следующие слои. Над любой точкой, кроме начала координат, $$\varphi^{-1}(a,b)=\{(x,a/x,b/x)\mid x\ne0\}$$ — гипербола, одна из асимптот которой — ось абсцисс, а вторая лежит в плоскости двух других координатных осей. Слой $\varphi^{-1}(0,0)$ — объединение прямой $\{y=z=0\}$ и плоскости $\{x=0\}$.

предыдущий семинар	28 октября 2016 г.	следующий семинар
Тема 8 Размерность гиперповерхности и слоёв морфизма Теорема Крулля о гиперповерхности. Пусть $X$ — $n$-мерное неприводимое алгебраическое многообразие, $f\in\mathbb{K}[X]$ — ненулевой многочлен, и $Y=X(f)$ — подмногообразие, задаваемое одним уравнением $f=0$ (гиперповерхность). Тогда либо $Y=\varnothing$, либо любая неприводимая компонента гиперповерхности $Y$ имеет размерность $n-1$. Доказательство. 1) Рассмотрим частный случай: $X=\mathbb{A}^n$. В этом случае алгебра многочленов $\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ факториальна. Разложим многочлен $f$ на неприводимые множители, сгруппировав пропорциональные множители в степени и сократив на коэффициенты пропорциональности: $f=f_1^{k_1}\dots f_s^{k_s}$. По задаче 8.1, неприводимые компоненты гиперповерхности $Y$ суть гиперповерхности $Y_i=X(f_i)$. Поэтому можно далее считать многочлен $f$ неприводимым. Обозначим через $y_1,\dots,y_n$ ограничения координатных функций $x_1,\dots,x_n$ на $Y$. Пусть, для определённости, $f$ существенно зависит от переменной $x_n$. Тогда $y_1,\dots,y_{n-1}$ алгебраически независимы: в противном случае алгебраическая зависимость $F(y_1,\dots,y_{n-1})=0$ дала бы ненулевой многочлен $F\in\mathcal{I}(Y)$, не зависящий от $x_n$; но по теореме Гильберта о нулях $F^k$ делился бы на $f$ при некотором $k$, что невозможно. Поэтому $\dim{Y}\ge n-1$, но в то же время $\dim{Y}< n$, значит, $\dim{Y}=n-1$. 2) Обратная теорема Крулля: Пусть $Y\subset\mathbb{A}^n$ — неприводимое подмногообразие размерности $n-1$. Тогда $Y$ — гиперповерхность (т.е. задаётся одним уравнением). В самом деле, возьмём произвольный ненулевой многочлен $f\in\mathcal{I}(Y)$. Разложим его на неприводимые множители: $f=f_1\dots f_m$. Среди них найдётся $f_i\in\mathcal{I}(Y)$ (в силу неприводимости $Y$), т.е. изначально можно считать $f$ неприводимым. Но тогда $Y\subseteq X(f)$ — два неприводимых замкнутых подмногообразия размерности $n-1$, а, значит, они совпадают. В общем случае обратная теорема Крулля неверна (см. задачу 8.2). 3) Общий случай сведём к случаю аффинного пространства с помощью нётеровой нормализации. Пусть $Y=Y_1\cup\dots\cup Y_s$ — разложение на неприводимые компоненты. Заменив $X$ на подходящее главное открытое подмножество, пересекающее выбранную компоненту $Y_i$ и не пересекающую остальных компонент, мы можем без ограничения общности считать гиперповерхность $Y$ неприводимой. Рассмотрим конечный морфизм нётеровой нормализации $\tau:X\to\mathbb{A}^n$ ($n=\dim{X}$) и расширим его с помощью функции $f$ до морфизма $$\varphi:X\to\mathbb{A}^n\times\mathbb{A}^1=\mathbb{A}^{n+1},\quad\varphi(x)=(\tau(x),f(x))\quad(x\in X).$$ Его можно разложить в композицию замкнутого вложения $X\hookrightarrow X\times\mathbb{A}^1$ в виде графика функции $f$ и конечного морфизма $\tau\times\mathrm{id}:X\times\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^n\times\mathbb{A}^1$. Поэтому $\varphi(X)$ замкнуто, неприводимо, и морфизм $\varphi:X\to\varphi(X)$ конечен. В частности, $\dim\varphi(X)=\dim{X}=n$. По обратной теореме Крулля, $\varphi(X)$ задаётся в $\mathbb{A}^{n+1}$ одним уравнением $g(z,t)=0$ ($z\in\mathbb{A}^{n}$, $t\in\mathbb{A}^1$). Значит, $Z=\varphi(X)\cap(\mathbb{A}^n\times\{0\})=\tau(Y)$ задаётся в $\mathbb{A}^n$ уравнением $g(z,0)=0$, и, по доказанному выше, $\dim{Z}=n-1$, откуда $\dim{Y}=n-1$. Следствие 1. Пусть непустое подмногообразие $Y$ $n$-мерного неприводимого многообразия $X$ задаётся $m$ уравнениями. Тогда все неприводимые компоненты многообразия $Y$ имеют размерность $\ge n-m$. Размерности могут быть $> n-m$, потому что очередное уравнение может тождественно выполняться на одной из компонент многообразия, заданного предыдущими уравнениями, и тогда при добавлении этого уравнения её размерность не изменится. В противном случае размерность упадёт на $1$ по теореме Крулля. Следствие 2. Система уравнений $f_1(x)=\dots=f_m(x)=0$ ($x\in\mathbb{A}^n$), где $f_1,\dots,f_m$ — однородные многочлены положительных степеней от $x_1,\dots,x_n$, имеет ненулевое решение при $m< n$. Теорема о размерности слоёв. Пусть $\varphi:X\to Y$ — доминантный морфизм неприводимых многообразий. Тогда: 1) Для любой точки $y\in Y$ либо $\varphi^{-1}(y)=\varnothing$, либо все неприводимые компоненты слоя $\varphi^{-1}(y)$ имеют размерность $\ge\dim{X}-\dim{Y}$. 2) Существует плотное открытое подмножество в $Y$, над точками которого слои имеют размерность $\dim{X}-\dim{Y}$. Доказательство. 1) Рассмотрим нётерову нормализацию $\tau:Y\to\mathbb{A}^m$ и морфизм $\psi=\tau\varphi:X\to\mathbb{A}^m$. Поскольку слои морфизма $\tau$ конечны, каждый слой морфизма $\psi$ является дизъюнктным объединением нескольких слоёв морфизма $\varphi$. Поэтому достаточно оценить снизу размерность компонент слоёв $\psi^{-1}(z)$. Но каждый такой слой задаётся $m=\dim{Y}$ уравнениями в $X$ (поскольку точка $z\in\mathbb{A}^m$ задаётся $m$ линейными уравнениями), и можно применить следствие 1. 2) Для доказательства второй части теоремы исследуем локальную структуру морфизма $\varphi$. Рассмотрим алгебру $A=\mathbb{K}[X]\cdot\mathbb{K}(Y)$, состоящую из рациональных функций вида $f/g$, где $f\in\mathbb{K}[X]$, $g\in\mathbb{K}[Y]$. Она конечно порождена над полем $\mathbb{K}(Y)$ и, по лемме Нётер, имеет систему параметров $t_1,\dots,t_d$ над этим полем, причём можно считать, что $t_i\in\mathbb{K}[X]$. Выберем систему порождающих $x_1,\dots,x_n$ алгебры $\mathbb{K}[X]$ (ограничения координатных функций при вложении $X\subseteq\mathbb{A}^n$). Они удовлетворяют уравнениям целой зависимости $$x_i^{m_i}+b_{i1}x_i^{m_i-1}+b_{i2}x_i^{m_i-2}+\dots=0,$$ где $b_{ij}$ — многочлены от $t_1,\dots,t_d$ c коэффициентами из $\mathbb{K}(Y)$. Пусть $g\in\mathbb{K}[Y]$ — общий знаменатель всех этих коэффициентов. Заменив $Y$ на главное открытое подмножество $Y_g=\{y\in Y\mid g(y)\ne0\}$, а $X$ — на $X_g=\varphi^{-1}(Y_g)$, мы можем считать, что алгебра $\mathbb{K}[X]$ цела над подалгеброй $\mathbb{K}[Y][t_1,\dots,t_d]$. Геометрически это означает, что $\varphi$ разлагается в композицию конечного морфизма $X\to Y\times\mathbb{A}^d$ и проекции $Y\times\mathbb{A}^d\to Y$. Слои проекции суть $d$-мерные аффинные пространства, прообразы которых при конечном морфизме (т.е. слои $\varphi$) имеют ту же размерность $d=\dim{X}-\dim{Y}$. Примеры: 1) Морфизм $\varphi:\mathbb{A}^2\to\mathbb{A}^2$ задан формулой $\varphi(x,y)=(x,xy)$. Его слои таковы: $\varphi^{-1}(a,b)=\{(a,b/a)\}$ при $a\ne0$, $\varphi^{-1}(0,0)$ — ось ординат $\{x=0\}$, и $\varphi^{-1}(0,b)=\varnothing$ при $b\ne0$. 2) Морфизм $\varphi:\mathbb{A}^3\to\mathbb{A}^2$ задан формулой $\varphi(x,y,z)=(xy,xz)$. Он имеет следующие слои. Над любой точкой, кроме начала координат, $$\varphi^{-1}(a,b)=\{(x,a/x,b/x)\mid x\ne0\}$$ — гипербола, одна из асимптот которой — ось абсцисс, а вторая лежит в плоскости двух других координатных осей. Слой $\varphi^{-1}(0,0)$ — объединение прямой $\{y=z=0\}$ и плоскости $\{x=0\}$. Задачи Задача 8.1. Гиперповерхность $Y=X(f)$ в пространстве $\mathbb{A}^n$ неприводима тогда и только тогда, когда многочлен $f\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$ неприводим. Задача 8.2. Пусть $X$ — трёхмерный квадратичный конус в $\mathbb{A}^4$, заданный уравнением $x_1x_2=x_3x_4$, а $Y\subset X$ — двумерная аффинная плоскость, заданная уравнениями $x_2=x_3=0$. Доказать, что $Y$ не может быть задано в $X$ одним уравнением. Задача 8.3 (теорема Тзена). Пусть $F(x_1,\dots,x_n)$ — однородный многочлен степени $m< n$, коэффициенты которого являются многочленами от переменной $t$. Тогда уравнение $F(x_1,\dots,x_n)=0$ имеет ненулевое решение $x_i=p_i(t)$ ($i=1,\dots,n$), где $p_i$ — многочлены от $t$. Задача 8.4 (теорема Шевалле). Локальная размерность $\dim_xX$ многообразия $X$ в точке $x$ — это максимум размерностей его неприводимых компонент, проходящих через точку $x$. Пусть $\varphi:X\to Y$ — морфизм алгебраических многообразий. Доказать, что функция $$x\mapsto\dim_x\varphi^{-1}(\varphi(x))$$ полунепрерывна сверху на $X$ (т.е. если в какой-то точке $\dim_x\varphi^{-1}(\varphi(x))=k$, то найдётся такая окрестность $U\ni x$, что $\dim_y\varphi^{-1}(\varphi(y))\le k$, $\forall y\in U$).