Основное поле $\mathbb{K}$ считаем алгебраически замкнутым и характеристики $0$ (если не оговорено иное). Не будет большим ограничением общности считать $\mathbb{K}=\mathbb{C}$.

Определение. Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие $G$, на котором задана структура группы, причём групповые операции — умножение $G\times G\to G$ и инверсия $G\to G$ — являются морфизмами.

Алгебраическая подгруппа — это подгруппа $H\subseteq G$, одновременно являющаяся замкнутым подмногообразием.

Гомоморфизм (изоморфизм) алгебраических групп — это гомоморфизм (изоморфизм) групп, также являющийся (изо)морфизмом алгебраических многообразий.

Поскольку мы рассматриваем только аффинные алгебраические многообразия, то правильнее говорить об аффинных алгебраических группах (хотя неаффинные алгебраические группы также существуют и обладают интересными свойствами — например, эллиптические кривые и абелевы многообразия).

Всякая аффинная алгебраическая группа изоморфна алгебраической подгруппе в $GL_n(\mathbb{C})$ при некотором $n$. Поэтому класс аффинных алгебраических групп совпадает с классом линейных алгебраических групп.

Простейшие свойства.

1) Все точки алгебраической группы $G$ (как многообразия) равноправны: автоморфизмы левого сдвига $$\ell_g:G\to G,\quad\ell_g(x)=gx,$$ переводят точки многообразия $G$ друг в друга.

Из равноправия точек вытекают следующие два свойства.

2) Всякая алгебраическая группа $G$ — гладкое многообразие.

3) Через каждую точку $x\in G$ проходит единственная неприводимая компонента. Следовательно, неприводимые компоненты алгебраической группы совпадают с её связными компонентами.

4) Связная компонента $G^0\subseteq G$, содержащая единицу, является нормальной алгебраической подгруппой в $G$. Остальные связные компоненты суть смежные классы по этой подгруппе.

Поэтому каждая алгебраическая группа $G$ как бы составлена из двух этажей: связная алгебраическая группа $G^0$ и конечная группа $G/G^0$. На втором "этаже" специфика алгебраических групп никак не проявляется, поэтому изучаются в основном связные алгебраические группы (хотя в процессе их изучения естественно возникают и несвязные группы).

5) Всякая алгебраическая группа над полем $\mathbb{C}$ является комплексной группой Ли.

Обратное утверждение неверно.

Пример 1. Подгруппа $G\subset GL_2(\mathbb{C})$, состоящая из матриц вида $$ \exp t\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (t\in\mathbb{C}), $$ является подгруппой Ли, но не алгебраической подгруппой.

Гомоморфизмы алгебраических групп являются гомоморфизмами групп Ли (т.е. комплексно дифференцируемыми гомоморфными отображениями), но не наоборот.

Пример 2. Отображение алгебраических групп $$\varphi:\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{\times}\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{\times},\quad\varphi(t,u)=(t,ue^t),$$ является гомоморфизмом групп Ли, но не гомоморфизмом алгебраических групп.

Описание подгрупп Ли и алгебраических подгрупп группы $SL_2$

Опишем все подгруппы Ли и алгебраические подгруппы $H\subset SL_2(\mathbb{C})$ с точностью до сопряжённости. Решение этой задачи можно разбить на три этапа.

I. Связная подгруппа Ли $H$ в группе Ли $G$ однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$. Поэтому начнём с классификации подалгебр Ли $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$.

Одномерная алгебра Ли $\mathfrak{h}$ линейно порождается одним линейным оператором (со следом $0$), который может быть либо диагонализуемым, либо нильпотентным. Поэтому, с точностью до сопряжённости, $\mathfrak{h}$ — это либо алгебра Ли $\mathfrak{t}$ диагональных матриц со следом $0$, либо алгебра Ли $\mathfrak{u}$ нильтреугольных матриц.

Двумерная алгебра Ли $\mathfrak{h}$ содержит одномерный идеал $\mathfrak{h}_1$, совпадающий, с точностью до сопряжённости, с одной из двух вышеуказанных подалгебр Ли. Поскольку алгебра Ли $\mathfrak{t}$ совпадает со своим нормализатором в $\mathfrak{sl}_2$, подалгебра $\mathfrak{h}_1$ сопряжена алгебре Ли $\mathfrak{u}$, а $\mathfrak{h}$ сопряжена нормализатору последней, т.е. алгебре Ли $\mathfrak{b}$ треугольных матриц со следом $0$.

II. Соответствующие связные подгруппы Ли группы $SL_2$ — это подгруппы \begin{align} T&=\left\{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}\right| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times}\right\},\\ U&=\left\{\begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} z\in\mathbb{C}\right\},\\ B&=\left\{\begin{pmatrix} t & z \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}\right| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & z \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times},\ z\in\mathbb{C}\right\} \end{align} диагональных, унитреугольных и всех треугольных матриц с определителем $1$. Все они являются алгебраическими подгруппами.

III. Всякая несвязная подгруппа Ли $H$ группы Ли $G$ содержится в нормализаторе $N(H^0)$ своей связной компоненты $H^0$ и является полным прообразом в $N(H^0)$ какой-то дискретной подгруппы группы Ли $N(H^0)/H^0$. Это даёт способ описания несвязных подгрупп Ли с данной связной компонентой. В случае группы $SL_2$ получаем следующее.

0) Нульмерные подгруппы Ли — это все дискретные подгруппы (пример: группа $SL_2(\mathbb{Z})$). В связи с тем, что группа $PSL_2(\mathbb{C})=SL_2(\mathbb{C})/{\pm E}$ является группой собственных движений 3-мерного пространства Лобачевского, эти группы играют ключевую роль в теории Тёрстона 3-мерных многообразий. Они очень хорошо изучены, но их полное описание нереально.

Заметим, что дискретная подгруппа является алгебраической тогда и только тогда, когда она конечна. Конечные подгруппы в $SL_2(\mathbb{C})$ можно описать (задача 9.3).

1) Одномерные подгруппы Ли.

а) Нормализатор подгруппы $T$ — это группа $$ N(T)=\left\{ \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & t \\ -t^{-1} & 0 \end{pmatrix} \right|\left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times}\right\} $$ мономиальных матриц с определителем $1$. Факторгруппа $N(T)/T$ имеет порядок $2$. Следовательно, единственная несвязная подгруппа Ли со связной компонентой $T$ — это группа мономиальных матриц. Очевидно, что она является алгебраической подгруппой.

б) Нормализатор подгруппы $U$ — это группа $B$. Факторгруппа $B/U$ изоморфна $\mathbb{C}^{\times}$. Таким образом, подгруппы Ли со связной компонентой $U$ находятся во взаимно однозначном соответствии с дискретными подгруппами группы $\mathbb{C}^{\times}$ (см. задачу 9.4). Алгебраическими являются те из них, которые соответствуют конечным подгруппам группы $\mathbb{C}^{\times}$, т.е. группам корней какой-то степени из единицы: $$ H_n=\left\{\begin{pmatrix} \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^{-1} \end{pmatrix}\right| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^{-1} \end{pmatrix}} \varepsilon,z\in\mathbb{C},\ \varepsilon^n=1 \right\}. $$

2) Двумерные подгруппы Ли.

Подгруппа $B$ совпадает со своим нормализатором, так что единственной подгруппой Ли со связной компонентой $B$ является сама подгруппа $B$.

предыдущий семинар	11 ноября 2016 г.	следующий семинар
Тема 9 Алгебраические группы и группы Ли. Подгруппы в $SL_2$. Основное поле $\mathbb{K}$ считаем алгебраически замкнутым и характеристики $0$ (если не оговорено иное). Не будет большим ограничением общности считать $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Определение. Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие $G$, на котором задана структура группы, причём групповые операции — умножение $G\times G\to G$ и инверсия $G\to G$ — являются морфизмами. Алгебраическая подгруппа — это подгруппа $H\subseteq G$, одновременно являющаяся замкнутым подмногообразием. Гомоморфизм (изоморфизм) алгебраических групп — это гомоморфизм (изоморфизм) групп, также являющийся (изо)морфизмом алгебраических многообразий. Поскольку мы рассматриваем только аффинные алгебраические многообразия, то правильнее говорить об аффинных алгебраических группах (хотя неаффинные алгебраические группы также существуют и обладают интересными свойствами — например, эллиптические кривые и абелевы многообразия). Всякая аффинная алгебраическая группа изоморфна алгебраической подгруппе в $GL_n(\mathbb{C})$ при некотором $n$. Поэтому класс аффинных алгебраических групп совпадает с классом линейных алгебраических групп. Простейшие свойства. 1) Все точки алгебраической группы $G$ (как многообразия) равноправны: автоморфизмы левого сдвига $$\ell_g:G\to G,\quad\ell_g(x)=gx,$$ переводят точки многообразия $G$ друг в друга. Из равноправия точек вытекают следующие два свойства. 2) Всякая алгебраическая группа $G$ — гладкое многообразие. 3) Через каждую точку $x\in G$ проходит единственная неприводимая компонента. Следовательно, неприводимые компоненты алгебраической группы совпадают с её связными компонентами. 4) Связная компонента $G^0\subseteq G$, содержащая единицу, является нормальной алгебраической подгруппой в $G$. Остальные связные компоненты суть смежные классы по этой подгруппе. Поэтому каждая алгебраическая группа $G$ как бы составлена из двух этажей: связная алгебраическая группа $G^0$ и конечная группа $G/G^0$. На втором "этаже" специфика алгебраических групп никак не проявляется, поэтому изучаются в основном связные алгебраические группы (хотя в процессе их изучения естественно возникают и несвязные группы). 5) Всякая алгебраическая группа над полем $\mathbb{C}$ является комплексной группой Ли. Обратное утверждение неверно. Пример 1. Подгруппа $G\subset GL_2(\mathbb{C})$, состоящая из матриц вида $$ \exp t\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (t\in\mathbb{C}), $$ является подгруппой Ли, но не алгебраической подгруппой. Гомоморфизмы алгебраических групп являются гомоморфизмами групп Ли (т.е. комплексно дифференцируемыми гомоморфными отображениями), но не наоборот. Пример 2. Отображение алгебраических групп $$\varphi:\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{\times}\to\mathbb{C}\times\mathbb{C}^{\times},\quad\varphi(t,u)=(t,ue^t),$$ является гомоморфизмом групп Ли, но не гомоморфизмом алгебраических групп. Описание подгрупп Ли и алгебраических подгрупп группы $SL_2$ Опишем все подгруппы Ли и алгебраические подгруппы $H\subset SL_2(\mathbb{C})$ с точностью до сопряжённости. Решение этой задачи можно разбить на три этапа. I. Связная подгруппа Ли $H$ в группе Ли $G$ однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$. Поэтому начнём с классификации подалгебр Ли $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$. Одномерная алгебра Ли $\mathfrak{h}$ линейно порождается одним линейным оператором (со следом $0$), который может быть либо диагонализуемым, либо нильпотентным. Поэтому, с точностью до сопряжённости, $\mathfrak{h}$ — это либо алгебра Ли $\mathfrak{t}$ диагональных матриц со следом $0$, либо алгебра Ли $\mathfrak{u}$ нильтреугольных матриц. Двумерная алгебра Ли $\mathfrak{h}$ содержит одномерный идеал $\mathfrak{h}_1$, совпадающий, с точностью до сопряжённости, с одной из двух вышеуказанных подалгебр Ли. Поскольку алгебра Ли $\mathfrak{t}$ совпадает со своим нормализатором в $\mathfrak{sl}_2$, подалгебра $\mathfrak{h}_1$ сопряжена алгебре Ли $\mathfrak{u}$, а $\mathfrak{h}$ сопряжена нормализатору последней, т.е. алгебре Ли $\mathfrak{b}$ треугольных матриц со следом $0$. II. Соответствующие связные подгруппы Ли группы $SL_2$ — это подгруппы \begin{align} T&=\left\{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}\right\| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times}\right\},\\ U&=\left\{\begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} 1 & z \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} z\in\mathbb{C}\right\},\\ B&=\left\{\begin{pmatrix} t & z \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}\right\| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & z \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times},\ z\in\mathbb{C}\right\} \end{align} диагональных, унитреугольных и всех треугольных матриц с определителем $1$. Все они являются алгебраическими подгруппами. III. Всякая несвязная подгруппа Ли $H$ группы Ли $G$ содержится в нормализаторе $N(H^0)$ своей связной компоненты $H^0$ и является полным прообразом в $N(H^0)$ какой-то дискретной подгруппы группы Ли $N(H^0)/H^0$. Это даёт способ описания несвязных подгрупп Ли с данной связной компонентой. В случае группы $SL_2$ получаем следующее. 0) Нульмерные подгруппы Ли — это все дискретные подгруппы (пример: группа $SL_2(\mathbb{Z})$). В связи с тем, что группа $PSL_2(\mathbb{C})=SL_2(\mathbb{C})/{\pm E}$ является группой собственных движений 3-мерного пространства Лобачевского, эти группы играют ключевую роль в теории Тёрстона 3-мерных многообразий. Они очень хорошо изучены, но их полное описание нереально. Заметим, что дискретная подгруппа является алгебраической тогда и только тогда, когда она конечна. Конечные подгруппы в $SL_2(\mathbb{C})$ можно описать (задача 9.3). 1) Одномерные подгруппы Ли. а) Нормализатор подгруппы $T$ — это группа $$ N(T)=\left\{ \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & t \\ -t^{-1} & 0 \end{pmatrix} \right\|\left.\vphantom{\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}} t\in\mathbb{C}^{\times}\right\} $$ мономиальных матриц с определителем $1$. Факторгруппа $N(T)/T$ имеет порядок $2$. Следовательно, единственная несвязная подгруппа Ли со связной компонентой $T$ — это группа мономиальных матриц. Очевидно, что она является алгебраической подгруппой. б) Нормализатор подгруппы $U$ — это группа $B$. Факторгруппа $B/U$ изоморфна $\mathbb{C}^{\times}$. Таким образом, подгруппы Ли со связной компонентой $U$ находятся во взаимно однозначном соответствии с дискретными подгруппами группы $\mathbb{C}^{\times}$ (см. задачу 9.4). Алгебраическими являются те из них, которые соответствуют конечным подгруппам группы $\mathbb{C}^{\times}$, т.е. группам корней какой-то степени из единицы: $$ H_n=\left\{\begin{pmatrix} \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^{-1} \end{pmatrix}\right\| \left.\vphantom{\begin{pmatrix} \varepsilon & z \\ 0 & \varepsilon^{-1} \end{pmatrix}} \varepsilon,z\in\mathbb{C},\ \varepsilon^n=1 \right\}. $$ 2) Двумерные подгруппы Ли. Подгруппа $B$ совпадает со своим нормализатором, так что единственной подгруппой Ли со связной компонентой $B$ является сама подгруппа $B$. Задачи Задача 9.1. а) Доказать, что подгруппа $G\subset GL_2(\mathbb{C})$, состоящая из матриц вида $$ \exp t\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix} \qquad (t\in\mathbb{C}) $$ при фиксированном $c\in\mathbb{C}$, является алгебраической тогда и только тогда, когда $c\in\mathbb{Q}$. б) Выяснить, при каких $c$ эта группа является линейной группой Ли. Задача 9.2. Всякий дифференцируемый гомоморфизм алгебраического тора $T=(\mathbb{C}^{\times})^n$ в какую-либо алгебраическую группу является гомоморфизмом в смысле алгебраических групп. Задача 9.3.* Найти все конечные подгруппы группы $SL_2(\mathbb{C})$, с точностью до сопряжённости. Задача 9.4. Найти все дискретные подгруппы группы $\mathbb{C}^{\times}$.