Всякая алгебраическая группа $G$ задаётся в подходящей матричной группе $GL_n(\mathbb{K})$ алгебраическими уравнениями на матричные элементы. Однако такой способ задания не всегда удобен для исследования структуры группы $G$ и, в частности, свойства связности.

Другой естественный способ задания группы — множеством порождающих элементов. Но при таком способе задания не очевидно свойство алгебраичности. Следующая теорема эффективно решает обе проблемы.

Теорема. Пусть $G$ — алгебраическая группа, $M_i\subseteq G$ ($i\in I$) — семейство подмножеств со следующими свойствами:

$M_i\ni e$;
$M_i$ неприводимы (в индуцированной топологии);
$M_i$ содержат непустые открытые подмножества своих замыканий $\overline{M_i}\subseteq G$.

Тогда подгруппа $H\subseteq G$, порождённая всеми подмножествами $M_i$ (как абстрактная группа), является связной алгебраической группой (т.е. связной замкнутой по Зарисскому подгруппой в $G$).

Условия теоремы выполняются, например, в следующих ситуациях:

$M_i$ — образы неприводимых многообразий при морфизмах в $G$, содержащие $e$;
$M_i\subseteq G$ — связные алгебраические подгруппы.

Доказательство. Перейдём от семейства подмножеств $M_i$ к семейству всевозможных произведений $$ M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k}=M_{i_1}^{\varepsilon_1}\cdots M_{i_k}^{\varepsilon_k} \qquad(i_1,\dots,i_k\in I,\ \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k=\pm1), $$ где $M_i^{-1}=\{g^{-1}\mid g\in M_i\}$ (произведение подмножеств в группе есть множество всевозможных произведений элементов из этих подмножеств). Условия 1–3 для этого семейства по-прежнему выполняются. Кроме того $$ M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k}\cdot M_{j_1,\dots,j_l}^{\delta_1,\dots,\delta_l}= M_{i_1,\dots,i_k,j_1,\dots,j_l}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k,\delta_1,\dots,\delta_l}\supseteq M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k},M_{j_1,\dots,j_l}^{\delta_1,\dots,\delta_l}. $$ В последнем включении можно перейти к замыканиям. Поскольку все они неприводимы, среди них можно выбрать наибольшее подмножество $$\overline{M_{i_1,\dots,i_N}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N}}$$ (имеющее наибольшую размерность); оно совпадает с $\overline{H}$. Но по условию 3, $M_{i_1,\dots,i_N}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N}$ содержит непустое открытое подмножество $U\subseteq\overline{H}$. Будучи связной алгебраической группой, $\overline{H}$ равна $U\cdot U^{-1}$ (для этого достаточно заметить, что для любого $g\in\overline{H}$ пересечение двух открытых подмножеств $U$ и $gU$ в $\overline{H}$ непусто), а значит, совпадает с $H$.

Все условия в теореме существенны.

Пример 1. Две циклические подгруппы 2-го порядка \begin{align} M_1&=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\}, \\ M_2&=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\} \end{align} в $G=GL_2(\mathbb{K})$ удовлетворяют условиям 1, 3, но не 2. Порождённая ими подгруппа $$ H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & \pm1 \end{pmatrix} \right.\left|\ \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 &\pm1 \end{pmatrix}} m\in\mathbb{Z}\right\} $$ не является ни связной, ни алгебраической.

Пример 2. Подмножества $$ M_1=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\}, \quad M_2=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\} $$ удовлетворяют условиям 2, 3, но не 1, и порождают ту же самую подгруппу $H$.

Пример 3. Подмножество $$ M_1=H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right.\left|\ \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} m\in\mathbb{Z}\right\} $$ удовлетворяет условиям 1, 2, но не 3, и само является подгруппой в $GL_2(\mathbb{K})$, но не алгебраической.

С помощью теоремы можно доказывать связность разных алгебраических групп.

Пример Группа $GL_n(\mathbb{K})$ \begin{align} U_{ij}&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & & & \end{pmatrix}\; \right.\left|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & & & \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}\right\},\\[2ex] T_i&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & \!\!\mathrm{O} & \end{pmatrix}\; \right.\left|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & \!\!\mathrm{O} & \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}^{\times}\right\} \end{align} (это следует из 4. связна, ибо порождается связными алгебраическими подгруппами & & & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O}\\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & \!\!\!\!\!\dots & \!\!1 & \!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & & & \!\!\smash1 & & \\ \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & \!\!\smash{\underset{j}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & & & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O}\\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & \!\!\!\!\!\dots & \!\!1 & \!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & & & \!\!\smash1 & & \\ \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & \!\!\smash{\underset{j}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & \!\!\smash{\underset{i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & \!\!\smash{\underset{i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 того, что каждую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице элементарными преобразованиями строк 1-го и 3-го типов). Связность $GL_n(\mathbb{K})$ также следует из того, что эта алгебраическая группа — открытое подмножество в пространстве всех матриц $L_n(\mathbb{K})$.

Пример 5. Аналогично, $SL_n(\mathbb{K})$ связна, ибо порождается подгруппами $U_{ij}$. Связность $SL_n(\mathbb{K})$ также следует из того, что эта алгебраическая группа — многообразие нулей неприводимого многочлена $\det-1$ в пространстве $L_n(\mathbb{K})$.

Пример 6. Группа $SO_n(\mathbb{K})$ связна, ибо порождается связными алгебраическими подгруппами

\begin{align} V_{ij}&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & & & & \!\!\!\!\smash{\overset{j}{\vdots}} & & & & \!\!\!\!\text{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\smash\vdots & & & & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\dots & \!\!\!\!t & \dots & u_t & & \\ & & & \!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & & & & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & \!\!\!\!\!\!\!\!\llap{-}t & \!\!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots\rlap{\quad\scriptstyle n+1-j}\\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & \!\!\mathrm{O} & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & & & \!\!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!\!1 \end{pmatrix}\qquad\; \right.\left|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & & & & \!\!\!\!\smash{\overset{j}{\vdots}} & & & & \!\!\!\!\text{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\smash\vdots & & & & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\dots & \!\!\!\!t & \dots & u_t & & \\ & & & \!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & & & & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & \!\!\!\!\!\!\!\!\llap{-}t & \!\!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots\rlap{\quad\scriptstyle n+1-j}\\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & \!\!\mathrm{O} & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & & & \!\!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!\!1 \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}\right\},\\[2ex] S_i&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & & \!\!\!\!\!\!\mathrm{O} & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & & & & \\ & & & \!\!\smash\ddots & & & \\[-1ex] & & & & \!\!\!\!\smash t^{-1} & & \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & \!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 \end{pmatrix}\; \right.\left|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & & \!\!\!\!\!\!\mathrm{O} & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & & & & \\ & & & \!\!\smash\ddots & & & \\[-1ex] & & & & \!\!\!\!\smash t^{-1} & & \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & \!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}^{\times}\right\}, \end{align} где элемент $u_t$ (стоящий на месте $(i,n+1-i)$ или $(n+1-j,j)$) равен $-t^2/2$ при $j=(n+1)/2$ или $i=(n+1)/2$, и $0$ в остальных случаях. Здесь подразумевается, что в пространстве $\mathbb{K}^n$ выбран гиперболический базис, в котором скалярное умножение, сохраняемое группой $SO_n(\mathbb{K})$, имеет антиединичную матрицу.

Доказать это можно так. Произвольную матрицу $g\in SO_n(\mathbb{K})$ можно умножением слева на матрицы из $V_{1j}$ и $V_{i1}$ привести к виду, в котором $g_{11}=\lambda\ne0$ и $g_{i1}=0$ при $1< i< n$. Тогда автоматически $g_{nj}=0$ при $j< n$ и $g_{nn}=\lambda^{-1}$. Умножая слева на матрицу из $S_1$, можно добиться $\lambda=1$. Теперь, умножая слева на матрицы из $V_{in}$, можно получить $g_{in}=0$ при $1< i< n$. Тогда автоматически $g_{1j}=0$ при $j>1$, т.е. первая и последняя строки и столбцы у матрицы $g$ такие же, как у единичной матрицы, а на пересечении остальных строк и столбцов стоит матрица из $SO_{n-2}(\mathbb{K})$, которую можно дальше приводить к единичной матрице аналогичными преобразованиями.

Замечание. Группа $O_n(\mathbb{K})$ имеет две связные компоненты $SO_n(\mathbb{K})$ и $O_n(\mathbb{K})\setminus SO_n(\mathbb{K})$, различаемые значением $\det=\pm1$.

Следствие. Коммутант $(G,G)$ связной алгебраической группы $G$ — связная алгебраическая подгруппа.

В самом деле, коммутант порождён множеством $М$ всех групповых коммутаторов $(a,b)=aba^{-1}b^{-1}$ элементов $a,b\in G$, которое, будучи образом морфизма $G\times G\to G$, удовлетворяет условиям 1–3.

предыдущий семинар	18 ноября 2016 г.	следующий семинар
Тема 10 Связные алгебраические группы Всякая алгебраическая группа $G$ задаётся в подходящей матричной группе $GL_n(\mathbb{K})$ алгебраическими уравнениями на матричные элементы. Однако такой способ задания не всегда удобен для исследования структуры группы $G$ и, в частности, свойства связности. Другой естественный способ задания группы — множеством порождающих элементов. Но при таком способе задания не очевидно свойство алгебраичности. Следующая теорема эффективно решает обе проблемы. Теорема. Пусть $G$ — алгебраическая группа, $M_i\subseteq G$ ($i\in I$) — семейство подмножеств со следующими свойствами: $M_i\ni e$; $M_i$ неприводимы (в индуцированной топологии); $M_i$ содержат непустые открытые подмножества своих замыканий $\overline{M_i}\subseteq G$. Тогда подгруппа $H\subseteq G$, порождённая всеми подмножествами $M_i$ (как абстрактная группа), является связной алгебраической группой (т.е. связной замкнутой по Зарисскому подгруппой в $G$). Условия теоремы выполняются, например, в следующих ситуациях: $M_i$ — образы неприводимых многообразий при морфизмах в $G$, содержащие $e$; $M_i\subseteq G$ — связные алгебраические подгруппы. Доказательство. Перейдём от семейства подмножеств $M_i$ к семейству всевозможных произведений $$ M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k}=M_{i_1}^{\varepsilon_1}\cdots M_{i_k}^{\varepsilon_k} \qquad(i_1,\dots,i_k\in I,\ \varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k=\pm1), $$ где $M_i^{-1}=\{g^{-1}\mid g\in M_i\}$ (произведение подмножеств в группе есть множество всевозможных произведений элементов из этих подмножеств). Условия 1–3 для этого семейства по-прежнему выполняются. Кроме того $$ M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k}\cdot M_{j_1,\dots,j_l}^{\delta_1,\dots,\delta_l}= M_{i_1,\dots,i_k,j_1,\dots,j_l}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k,\delta_1,\dots,\delta_l}\supseteq M_{i_1,\dots,i_k}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_k},M_{j_1,\dots,j_l}^{\delta_1,\dots,\delta_l}. $$ В последнем включении можно перейти к замыканиям. Поскольку все они неприводимы, среди них можно выбрать наибольшее подмножество $$\overline{M_{i_1,\dots,i_N}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N}}$$ (имеющее наибольшую размерность); оно совпадает с $\overline{H}$. Но по условию 3, $M_{i_1,\dots,i_N}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N}$ содержит непустое открытое подмножество $U\subseteq\overline{H}$. Будучи связной алгебраической группой, $\overline{H}$ равна $U\cdot U^{-1}$ (для этого достаточно заметить, что для любого $g\in\overline{H}$ пересечение двух открытых подмножеств $U$ и $gU$ в $\overline{H}$ непусто), а значит, совпадает с $H$. Все условия в теореме существенны. Пример 1. Две циклические подгруппы 2-го порядка \begin{align} M_1&=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\}, \\ M_2&=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\} \end{align} в $G=GL_2(\mathbb{K})$ удовлетворяют условиям 1, 3, но не 2. Порождённая ими подгруппа $$ H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & \pm1 \end{pmatrix} \right.\left\|\ \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 &\pm1 \end{pmatrix}} m\in\mathbb{Z}\right\} $$ не является ни связной, ни алгебраической. Пример 2. Подмножества $$ M_1=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\}, \quad M_2=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &-1 \end{pmatrix} \right\} $$ удовлетворяют условиям 2, 3, но не 1, и порождают ту же самую подгруппу $H$. Пример 3. Подмножество $$ M_1=H=\left\{ \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right.\left\|\ \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} m\in\mathbb{Z}\right\} $$ удовлетворяет условиям 1, 2, но не 3, и само является подгруппой в $GL_2(\mathbb{K})$, но не алгебраической. С помощью теоремы можно доказывать связность разных алгебраических групп. Пример Группа $GL_n(\mathbb{K})$ \begin{align} U_{ij}&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & & & \end{pmatrix}\; \right.\left\|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & & & \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}\right\},\\[2ex] T_i&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & \!\!\mathrm{O} & \end{pmatrix}\; \right.\left\|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & & \!\!\mathrm{O} & \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}^{\times}\right\} \end{align} (это следует из 4. связна, ибо порождается связными алгебраическими подгруппами & & & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O}\\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & \!\!\!\!\!\dots & \!\!1 & \!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & & & \!\!\smash1 & & \\ \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & \!\!\smash{\underset{j}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & & & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O}\\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & \!\!\!\!\!\dots & \!\!1 & \!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & & \!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] & & & \!\!\smash1 & & \\ \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & \!\!\smash{\underset{j}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & \!\!\smash{\underset{i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 & \!\!\smash\vdots & & \!\!\!\!\mathrm{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\smash\vdots & & \\[-1ex] \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & \!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\!\dots \\ & \!\!\smash\vdots & \!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & \!\!\smash{\underset{i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 того, что каждую невырожденную матрицу можно привести к единичной матрице элементарными преобразованиями строк 1-го и 3-го типов). Связность $GL_n(\mathbb{K})$ также следует из того, что эта алгебраическая группа — открытое подмножество в пространстве всех матриц $L_n(\mathbb{K})$. Пример 5. Аналогично, $SL_n(\mathbb{K})$ связна, ибо порождается подгруппами $U_{ij}$. Связность $SL_n(\mathbb{K})$ также следует из того, что эта алгебраическая группа — многообразие нулей неприводимого многочлена $\det-1$ в пространстве $L_n(\mathbb{K})$. Пример 6. Группа $SO_n(\mathbb{K})$ связна, ибо порождается связными алгебраическими подгруппами \begin{align} V_{ij}&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & & & & \!\!\!\!\smash{\overset{j}{\vdots}} & & & & \!\!\!\!\text{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\smash\vdots & & & & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\dots & \!\!\!\!t & \dots & u_t & & \\ & & & \!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & & & & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & \!\!\!\!\!\!\!\!\llap{-}t & \!\!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots\rlap{\quad\scriptstyle n+1-j}\\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & \!\!\mathrm{O} & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & & & \!\!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!\!1 \end{pmatrix}\qquad\; \right.\left\|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & & & & \!\!\!\!\smash{\overset{j}{\vdots}} & & & & \!\!\!\!\text{O} \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\smash\vdots & & & & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\smash\ddots & \!\dots & \!\!\!\!t & \dots & u_t & & \\ & & & \!\!\!\!\smash\ddots & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & & & & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & \!\!\!\!\!\!\!\!\llap{-}t & \!\!\!\!\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots\rlap{\quad\scriptstyle n+1-j}\\ & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & & \\[-.5ex] & \!\!\mathrm{O} & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & & & \!\!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!\!1 \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}\right\},\\[2ex] S_i&=\left\{\; \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & & \!\!\!\!\!\!\mathrm{O} & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & & & & \\ & & & \!\!\smash\ddots & & & \\[-1ex] & & & & \!\!\!\!\smash t^{-1} & & \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & \!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 \end{pmatrix}\; \right.\left\|\;\; \vphantom{\begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\[-.5ex] & \!\!\!\!\!\smash\ddots & & & & \!\!\!\!\!\!\mathrm{O} & \\[-1ex] \llap{\scriptstyle i\quad}\!\!\dots & \!\!\!\!\!\dots & \!\!t & & & & \\ & & & \!\!\smash\ddots & & & \\[-1ex] & & & & \!\!\!\!\smash t^{-1} & & \\ & \!\!\mathrm{O} & & & \!\!\!\!\smash\vdots & \!\!\!\!\!\!\!\!\smash\ddots & \\[-.5ex] & & & & \!\smash{\underset{n+1-i}{\vdots}} & & \!\!\!\!1 \end{pmatrix}} t\in\mathbb{K}^{\times}\right\}, \end{align} где элемент $u_t$ (стоящий на месте $(i,n+1-i)$ или $(n+1-j,j)$) равен $-t^2/2$ при $j=(n+1)/2$ или $i=(n+1)/2$, и $0$ в остальных случаях. Здесь подразумевается, что в пространстве $\mathbb{K}^n$ выбран гиперболический базис, в котором скалярное умножение, сохраняемое группой $SO_n(\mathbb{K})$, имеет антиединичную матрицу. Доказать это можно так. Произвольную матрицу $g\in SO_n(\mathbb{K})$ можно умножением слева на матрицы из $V_{1j}$ и $V_{i1}$ привести к виду, в котором $g_{11}=\lambda\ne0$ и $g_{i1}=0$ при $1< i< n$. Тогда автоматически $g_{nj}=0$ при $j< n$ и $g_{nn}=\lambda^{-1}$. Умножая слева на матрицу из $S_1$, можно добиться $\lambda=1$. Теперь, умножая слева на матрицы из $V_{in}$, можно получить $g_{in}=0$ при $1< i< n$. Тогда автоматически $g_{1j}=0$ при $j>1$, т.е. первая и последняя строки и столбцы у матрицы $g$ такие же, как у единичной матрицы, а на пересечении остальных строк и столбцов стоит матрица из $SO_{n-2}(\mathbb{K})$, которую можно дальше приводить к единичной матрице аналогичными преобразованиями. Замечание. Группа $O_n(\mathbb{K})$ имеет две связные компоненты $SO_n(\mathbb{K})$ и $O_n(\mathbb{K})\setminus SO_n(\mathbb{K})$, различаемые значением $\det=\pm1$. Следствие. Коммутант $(G,G)$ связной алгебраической группы $G$ — связная алгебраическая подгруппа. В самом деле, коммутант порождён множеством $М$ всех групповых коммутаторов $(a,b)=aba^{-1}b^{-1}$ элементов $a,b\in G$, которое, будучи образом морфизма $G\times G\to G$, удовлетворяет условиям 1–3. Задачи Задача 10.1. В условиях теоремы о подгруппе, порождённой семейством подмножеств, $H=M_{i_1,\dots,i_N}^{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N}$ при некоторых $i_1,\dots,i_N\in I$, $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_N=\pm1$, причём $N\le2\dim{G}$. Задача 10.2. а) При $n\ge3$ группа $SO_n(\mathbb{K})$ порождается подгруппами $V_{ij}$. б) Группа $SO_2(\mathbb{K})$ (в гиперболическом базисе) состоит из матриц вида $$ \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix} \qquad(t\in\mathbb{K}^{\times}). $$ Задача 10.3. Группа $Sp_{2n}(\mathbb{K})$ связна.