Утверждение о коммутанте связной алгебраической группы можно обобщить на произвольные алгебраические группы. Для этого нужна некоторая теоретико-групповая подготовка.

Лемма 1 (Шур). Пусть $G$ — (абстрактная) группа, причём её центр $Z(G)$ имеет конечный индекс в $G$. Тогда её коммутант $(G,G)$ конечен.

Доказательство. Коммутатор $(x,y)=xyx^{-1}y^{-1}$ двух элементов $x,y\in G$ не меняется при их домножении на элементы центра. Поэтому множество всех коммутаторов конечно: $(G:Z(G))=N\implies$ количество различных коммутаторов не превосходит $N^2$.

Рассмотрим произведение нескольких коммутаторов. Ввиду некоммутативности, сомножители переставлять нельзя, но это можно делать с некоторой поправкой: $$ (a,b)\cdot(x,y)=(x,y)\cdot g^{-1}(a,b)g=(x,y)\cdot (g^{-1}ag,g^{-1}bg),\ \text{где }g=(x,y). $$ С помощью таких перестановок любое произведение коммутаторов можно (как если бы сомножители коммутировали) привести к виду $$(x_1,y_1)^{k_1}\cdot\dots\cdot(x_n,y_n)^{k_n}\quad(n\le N^2),$$ где $(x_i,y_i)$ — попарно различные коммутаторы. Степени $k_i$ тоже можно ограничить сверху, пользуясь тем, что $(x,y)^N\in Z(G)$, $\forall x,y\in G$. В самом деле, \begin{multline} (x,y)^{N+1}=(x,y)^N\cdot(x,y)=y^{-1}\cdot(x,y)^N\cdot y\cdot(x,y)=\\=y^{-1}\cdot(x,y)^{N-1}\cdot(x,y)\cdot y\cdot(x,y)=y^{-1}\cdot(x,y)^{N-1}\cdot(x,y^2)\cdot y \end{multline} есть произведение уже $N$ коммутаторов. Так понижая количество сомножителей и снова используя перестановки, как выше, можно добиться того, чтобы $k_1,\dots,k_n\le N\implies|(G,G)|\le(N+1)^{N^2}$.

Для любых двух подгрупп $A,B\subseteq G$ можно определить их взаимный коммутант $(A,B)$ как подгруппу, порождённую всеми коммутаторами $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$.

Лемма 2 (Бэр). Если $A,B\lhd G$, и множество $M=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$ конечно, то взаимный коммутант $C=(A,B)$ конечен.

Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что $G=AB$. Группа $G$ действует на конечном множестве $M$ сопряжениями, и ядро действия $H=Z_G(M)=Z_G(C)$ — подгруппа конечного индекса в $G$. Следовательно, $H\cap C$ — центральная подгруппа конечного индекса в $C$.

По лемме 1, группа $(C,C)$ конечна. Профакторизовав $G$ по $(C,C)$, мы можем считать, что $C$ — конечнопорождённая абелева группа. Тогда для любых $a\in A$, $c\in C$ имеем: $$ (a,c)^2=(aca^{-1}\cdot c^{-1})^2=(aca^{-1})^2\cdot c^{-2}=(a,c^2). $$ Отсюда вытекает, что взаимный коммутант $(A,C)$ совпадает с множеством всех коммутаторов $(a,c)$ и, следовательно, конечен. Профакторизовав по нему, мы можем считать, что $A$ и $C$ коммутируют. Тогда для любых $a\in A$, $b\in B$ имеем: $$ (a,b)^2=(a,b)\cdot aba^{-1}b^{-1}=a\cdot(a,b)\cdot ba^{-1}b^{-1}=(a^2,b). $$ Таким образом, множество $M$ порождающих абелевой группы $C$ замкнуто относительно возведения в квадрат и конечно. Отсюда легко следует, что группа $C$ конечна.

Теорема. Пусть $G$ — алгебраическая группа, $A,B\subseteq G$ — алгебраические подгруппы.
а) Если $A$ (или $B$) связна, то $(A,B)$ — связная алгебраическая подгруппа.
б) Если $A,B\lhd G$, то $(A,B)$ — алгебраическая подгруппа.

Доказательство. а) следует из теоремы о подгруппе, порождённой семейством подмножеств: группа $(A,B)$ порождёна множествами $(A,b)=\{(a,b)\mid a\in A\}$ (по всем $b\in B$) или аналогичными множествами $(a,B)$, удовлетворяющими условиям теоремы.

б) Ввиду а) и задачи 11.1, $H=(A^0,B)\cdot(A,B^0)$ — связная нормальная алгебраическая подгруппа в $G$. Рассмотрим алгебраическую группу $\widetilde{G}=G/H$ и будем обозначать знаком «тильда» образы в $\widetilde{G}$ элементов и подгрупп из $G$. Поскольку $\widetilde{A^0}$ коммутирует с $\widetilde{B}$, а $\widetilde{A}$ — с $\widetilde{B^0}$, множество $$\widetilde{M}=\{(\tilde{a},\tilde{b})\mid a\in A,\ b\in B\}$$ конечно. По лемме 2, группа $(\widetilde{A},\widetilde{B})$ конечна. Значит, подгруппа $(A,B)$ содержит алгебраическую подгруппу $H$ конечного индекса и поэтому сама алгебраична (т.е. замкнута в топологии Зарисского).

Следствие. Коммутант алгебраической группы — алгебраическая подгруппа.

Замечание. Для доказательства следствия лемма 2 не нужна — достаточно леммы 1.

Разложение Жордана

А) Линейные операторы.

Всякий линейный $$ A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \!\!1 & & \!\!\smash\ddots & \mathrm{O} & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix}, $$ то \begin{align} A_s&= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \!\!\smash\ddots & & & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix},\\ A_n&= \begin{pmatrix} 0 & \!\!1 & & \!\!\smash\ddots & \mathrm{O} & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix}. \end{align} оператор $A$ на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb{K}$ имеет аддитивное разложение Жордана $A=A_s+A_n$ в сумму коммутирующих полупростого (т.е. диагонализуемого) и нильпотентного операторов. Если оператор записан в жордановой нормальной форме: & \!\!\mathrm{O} & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 & & & & \mathrm{O} & & \\ & \!\!\lambda_1 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & \lambda_k & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda_k \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \mathrm{O} & & \\ & \!\!\!\lambda_1 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & \!\!\lambda_k & & & \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & & \!\!\!\lambda_k \\ & \!\!\mathrm{O} & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 & & & & \mathrm{O} & & \\ & 0 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & 0 & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & 0 \\

Всякий невырожденный линейный оператор имеет мультипликативное разложение Жордана $A=A_sA_u$ в произведение коммутирующих полупростого и унипотентного (т.е. имеющего только собственные значения $1$) операторов. Оба разложения Жордана единственны.

Б) Линейные алгебраические группы.

Всякая линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ замкнута относительно (мультипликативного) разложения Жордана: $$A\in G\implies A_s,A_u\in G.$$ Разложение Жордана сохраняется при гомоморфизмах: если $H\subseteq GL(W)$ — другая алгебраическая группа, $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм, и $B=\varphi(A)$, то $$B_s=\varphi(A_s),\quad B_u=\varphi(A_u).$$ В частности, разложение Жордана в $G$ не зависит от вложения $G\hookrightarrow GL(V)$.

Для всякого элемента $A\in G$ можно рассмотреть наименьшую алгебраическую подгруппу $G(A)\subseteq G$, содержащую $A$ (замыкание циклической подгруппы $\langle A\rangle$ в топологии Зарисского). Её структура такова: $$ G(A)=G(A_s)\times G(A_u), $$ причём группа $G(A_s)$ диагонализуема и является квазитором, т.е. прямым произведением алгебраического тора на конечную абелеву группу. В подходящем базисе пространства $V$ подгруппа $$ G(A_s)\subseteq T_n=\left\{ \begin{pmatrix} t_1 & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & \\ \mathrm{O} & & t_n \\ \end{pmatrix} \;\right|\;\left. \vphantom{\begin{pmatrix} t_1 & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & \\ \mathrm{O} & & t_n \\ \end{pmatrix}} t_1,\dots,t_n\ne0\right\}$$ задаётся уравнениями вида $t_1^{k_1}\dots t_n^{k_n}=1$, $k_i\in\mathbb{Z}$. Группа $G(A_u)$ состоит из элементов $A^t=\exp(t\ln A_u)$ ($t\in\mathbb{K}$) и изоморфна аддитивной группе поля $\mathbb{K}$ при $A_u\ne E$. Экспонента и логарифм линейного оператора определяются с помощью степенных рядов \begin{align} \exp(X) &= E+X+\frac{X^2}2+\dots+\frac{X^k}{k!}+\dots, \\ \ln(E+X) &= X-\frac{X^2}2+\dots+(-1)^{k-1}\frac{X^k}k+\dots, \end{align} которые имеют смысл над любым полем $\mathbb{K}$ характеристики $0$ для нильпотентного оператора $X$.

Сохранение разложения Жордана при гомоморфизмах объясняется тем, что между квазиторами и аддитивной группой поля нет нетривиальных гомоморфизмов.

предыдущий семинар	25 ноября 2016 г.	следующий семинар
Тема 11 Коммутант алгебраической группы. Разложение Жордана. Утверждение о коммутанте связной алгебраической группы можно обобщить на произвольные алгебраические группы. Для этого нужна некоторая теоретико-групповая подготовка. Лемма 1 (Шур). Пусть $G$ — (абстрактная) группа, причём её центр $Z(G)$ имеет конечный индекс в $G$. Тогда её коммутант $(G,G)$ конечен. Доказательство. Коммутатор $(x,y)=xyx^{-1}y^{-1}$ двух элементов $x,y\in G$ не меняется при их домножении на элементы центра. Поэтому множество всех коммутаторов конечно: $(G:Z(G))=N\implies$ количество различных коммутаторов не превосходит $N^2$. Рассмотрим произведение нескольких коммутаторов. Ввиду некоммутативности, сомножители переставлять нельзя, но это можно делать с некоторой поправкой: $$ (a,b)\cdot(x,y)=(x,y)\cdot g^{-1}(a,b)g=(x,y)\cdot (g^{-1}ag,g^{-1}bg),\ \text{где }g=(x,y). $$ С помощью таких перестановок любое произведение коммутаторов можно (как если бы сомножители коммутировали) привести к виду $$(x_1,y_1)^{k_1}\cdot\dots\cdot(x_n,y_n)^{k_n}\quad(n\le N^2),$$ где $(x_i,y_i)$ — попарно различные коммутаторы. Степени $k_i$ тоже можно ограничить сверху, пользуясь тем, что $(x,y)^N\in Z(G)$, $\forall x,y\in G$. В самом деле, \begin{multline} (x,y)^{N+1}=(x,y)^N\cdot(x,y)=y^{-1}\cdot(x,y)^N\cdot y\cdot(x,y)=\\=y^{-1}\cdot(x,y)^{N-1}\cdot(x,y)\cdot y\cdot(x,y)=y^{-1}\cdot(x,y)^{N-1}\cdot(x,y^2)\cdot y \end{multline} есть произведение уже $N$ коммутаторов. Так понижая количество сомножителей и снова используя перестановки, как выше, можно добиться того, чтобы $k_1,\dots,k_n\le N\implies\|(G,G)\|\le(N+1)^{N^2}$. Для любых двух подгрупп $A,B\subseteq G$ можно определить их взаимный коммутант $(A,B)$ как подгруппу, порождённую всеми коммутаторами $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$. Лемма 2 (Бэр). Если $A,B\lhd G$, и множество $M=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}$ конечно, то взаимный коммутант $C=(A,B)$ конечен. Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что $G=AB$. Группа $G$ действует на конечном множестве $M$ сопряжениями, и ядро действия $H=Z_G(M)=Z_G(C)$ — подгруппа конечного индекса в $G$. Следовательно, $H\cap C$ — центральная подгруппа конечного индекса в $C$. По лемме 1, группа $(C,C)$ конечна. Профакторизовав $G$ по $(C,C)$, мы можем считать, что $C$ — конечнопорождённая абелева группа. Тогда для любых $a\in A$, $c\in C$ имеем: $$ (a,c)^2=(aca^{-1}\cdot c^{-1})^2=(aca^{-1})^2\cdot c^{-2}=(a,c^2). $$ Отсюда вытекает, что взаимный коммутант $(A,C)$ совпадает с множеством всех коммутаторов $(a,c)$ и, следовательно, конечен. Профакторизовав по нему, мы можем считать, что $A$ и $C$ коммутируют. Тогда для любых $a\in A$, $b\in B$ имеем: $$ (a,b)^2=(a,b)\cdot aba^{-1}b^{-1}=a\cdot(a,b)\cdot ba^{-1}b^{-1}=(a^2,b). $$ Таким образом, множество $M$ порождающих абелевой группы $C$ замкнуто относительно возведения в квадрат и конечно. Отсюда легко следует, что группа $C$ конечна. Теорема. Пусть $G$ — алгебраическая группа, $A,B\subseteq G$ — алгебраические подгруппы. а) Если $A$ (или $B$) связна, то $(A,B)$ — связная алгебраическая подгруппа. б) Если $A,B\lhd G$, то $(A,B)$ — алгебраическая подгруппа. Доказательство. а) следует из теоремы о подгруппе, порождённой семейством подмножеств: группа $(A,B)$ порождёна множествами $(A,b)=\{(a,b)\mid a\in A\}$ (по всем $b\in B$) или аналогичными множествами $(a,B)$, удовлетворяющими условиям теоремы. б) Ввиду а) и задачи 11.1, $H=(A^0,B)\cdot(A,B^0)$ — связная нормальная алгебраическая подгруппа в $G$. Рассмотрим алгебраическую группу $\widetilde{G}=G/H$ и будем обозначать знаком «тильда» образы в $\widetilde{G}$ элементов и подгрупп из $G$. Поскольку $\widetilde{A^0}$ коммутирует с $\widetilde{B}$, а $\widetilde{A}$ — с $\widetilde{B^0}$, множество $$\widetilde{M}=\{(\tilde{a},\tilde{b})\mid a\in A,\ b\in B\}$$ конечно. По лемме 2, группа $(\widetilde{A},\widetilde{B})$ конечна. Значит, подгруппа $(A,B)$ содержит алгебраическую подгруппу $H$ конечного индекса и поэтому сама алгебраична (т.е. замкнута в топологии Зарисского). Следствие. Коммутант алгебраической группы — алгебраическая подгруппа. Замечание. Для доказательства следствия лемма 2 не нужна — достаточно леммы 1. Разложение Жордана А) Линейные операторы. Всякий линейный $$ A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \!\!1 & & \!\!\smash\ddots & \mathrm{O} & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix}, $$ то \begin{align} A_s&= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \!\!\smash\ddots & & & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix},\\ A_n&= \begin{pmatrix} 0 & \!\!1 & & \!\!\smash\ddots & \mathrm{O} & & & & & & & & & & & & & \end{pmatrix}. \end{align} оператор $A$ на конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $\mathbb{K}$ имеет аддитивное разложение Жордана $A=A_s+A_n$ в сумму коммутирующих полупростого (т.е. диагонализуемого) и нильпотентного операторов. Если оператор записан в жордановой нормальной форме: & \!\!\mathrm{O} & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 & & & & \mathrm{O} & & \\ & \!\!\lambda_1 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & \lambda_k & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & \!\!\lambda_k \\ & & & & & & & \\ & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \mathrm{O} & & \\ & \!\!\!\lambda_1 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & \!\!\lambda_k & & & \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & & \!\!\!\lambda_k \\ & \!\!\mathrm{O} & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & & & & & & & \\ & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 & & & & \mathrm{O} & & \\ & 0 & & & & & & \\ & & \!\!\!\smash\ddots & & & & & \\ & & & \!\!\!\smash\ddots & & & & \\ & & & & 0 & \!\!1 & & \!\!\mathrm{O} \\ & \mathrm{O} & & & & & \!\!\smash\ddots & \!\!\!\smash\ddots & \\ & & & & & & \!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ & & & & \mathrm{O} & & & 0 \\ Всякий невырожденный линейный оператор имеет мультипликативное разложение Жордана $A=A_sA_u$ в произведение коммутирующих полупростого и унипотентного (т.е. имеющего только собственные значения $1$) операторов. Оба разложения Жордана единственны. Б) Линейные алгебраические группы. Всякая линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ замкнута относительно (мультипликативного) разложения Жордана: $$A\in G\implies A_s,A_u\in G.$$ Разложение Жордана сохраняется при гомоморфизмах: если $H\subseteq GL(W)$ — другая алгебраическая группа, $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм, и $B=\varphi(A)$, то $$B_s=\varphi(A_s),\quad B_u=\varphi(A_u).$$ В частности, разложение Жордана в $G$ не зависит от вложения $G\hookrightarrow GL(V)$. Для всякого элемента $A\in G$ можно рассмотреть наименьшую алгебраическую подгруппу $G(A)\subseteq G$, содержащую $A$ (замыкание циклической подгруппы $\langle A\rangle$ в топологии Зарисского). Её структура такова: $$ G(A)=G(A_s)\times G(A_u), $$ причём группа $G(A_s)$ диагонализуема и является квазитором, т.е. прямым произведением алгебраического тора на конечную абелеву группу. В подходящем базисе пространства $V$ подгруппа $$ G(A_s)\subseteq T_n=\left\{ \begin{pmatrix} t_1 & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & \\ \mathrm{O} & & t_n \\ \end{pmatrix} \;\right\|\;\left. \vphantom{\begin{pmatrix} t_1 & & \mathrm{O} \\ & \!\!\smash\ddots & \\ \mathrm{O} & & t_n \\ \end{pmatrix}} t_1,\dots,t_n\ne0\right\}$$ задаётся уравнениями вида $t_1^{k_1}\dots t_n^{k_n}=1$, $k_i\in\mathbb{Z}$. Группа $G(A_u)$ состоит из элементов $A^t=\exp(t\ln A_u)$ ($t\in\mathbb{K}$) и изоморфна аддитивной группе поля $\mathbb{K}$ при $A_u\ne E$. Экспонента и логарифм линейного оператора определяются с помощью степенных рядов \begin{align} \exp(X) &= E+X+\frac{X^2}2+\dots+\frac{X^k}{k!}+\dots, \\ \ln(E+X) &= X-\frac{X^2}2+\dots+(-1)^{k-1}\frac{X^k}k+\dots, \end{align} которые имеют смысл над любым полем $\mathbb{K}$ характеристики $0$ для нильпотентного оператора $X$. Сохранение разложения Жордана при гомоморфизмах объясняется тем, что между квазиторами и аддитивной группой поля нет нетривиальных гомоморфизмов. Задачи Задача 11.1. Если $A,B\subseteq G$ — алгебраические подгруппы, и $A\subseteq N_G(B)$, то $AB$ — алгебраическая подгруппа. Задача 11.2. В пункте б) теоремы о взаимном коммутанте достаточно потребовать $A\subseteq N_G(B)$ (или $B\subseteq N_G(A)$). Задача 11.3. Придумать пример алгебраических подгрупп $A,B\subset G$, для которых $(A,B)$ — не алгебраическая подгруппа. Задача 11.4. Если $G$ — алгебраическая группа, и $H\subseteq G$ — алгебраическая подгруппа, то нормальное замыкание $\langle\!\langle H\rangle\!\rangle$ (т.е. наименьшая нормальная подгруппа, содержащая $H$) — тоже алгебраическая подгруппа. Задача 11.5. Над полем $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ для любого линейного оператора $A$ имеют место равенства \begin{align} \exp(A)_s &= \exp(A_s), \\ \exp(A)_u &= \exp(A_n). \end{align} Задача 11.6. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ — собственные значения оператора $A\in GL(V)$. Тогда $$ \dim G(A)=\begin{cases} \operatorname{rk}\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle, & A_u=E, \\ \operatorname{rk}\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle+1, & A_u\ne E, \\ \end{cases} $$ где $\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle\subset K^{\times}$ — мультипликативная подгруппа, порождённая собственными значениями оператора $A$. Задача 11.7. а) Пусть $T$ — алгебраический тор. Доказать, что существует такой $t\in T$, что $T=G(t)$. б) Верно ли утверждение пункта а) для произвольного квазитора?