В) Алгебры Ли алгебраических групп.

Будем дальше считать для простоты, что $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Всякая комплексная алгебраическая группа является группой Ли, и можно рассмотреть её касательную алгебру Ли.

Алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq L(V)$ линейной алгебраической группы $G\subseteq GL(V)$ замкнута относительно (аддитивного) разложения Жордана: $$X\in\mathfrak{g}\implies X_s,X_n\in\mathfrak{g}.$$ Дифференциалы гомоморфизмов алгебраических групп сохраняют разложение Жордана в их алгебрах Ли: если $H\subseteq GL(W)$ — другая алгебраическая группа, $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм алгебраических групп, $d\varphi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ — соответствующий гомоморфизм алгебр Ли, и $Y=d\varphi(X)$, то $$Y_s=\varphi(X_s),\quad Y_u=d\varphi(X_u).$$ В частности, разложение Жордана в $\mathfrak{g}$ не зависит от вложения $G\hookrightarrow GL(V)$.

Для всякого элемента $X\in\mathfrak{g}$ можно рассмотреть наименьшую алгебраическую подгруппу $G(X)\subseteq G$, алгебра Ли которой содержит $X$ (замыкание однопараметрической подгруппы $\{\exp(tX)\mid t\in\mathbb{C}\}$ в топологии Зарисского). Она разлагается в прямое произведение: $$ G(X)=G(X_s)\times G(X_n), $$ где $G(X_s)$ — алгебраический тор, а $G(X_n)$ состоит из элементов $\exp(tX_n)$ ($t\in\mathbb{C}$) и изоморфна аддитивной группе поля $\mathbb{C}$ при $X_n\ne0$.

Разложение Жордана в алгебраических группах и их алгебрах Ли — мощное средство для изучения их структуры и приложений.

Пример. Пусть $A$ — конечномерная алгебра, $C$ — её автоморфизм, а $D$ — её дифференцирование. Тогда $C_s,C_u$ — тоже автоморфизмы, а $D_s,D_n$ — дифференцирования. В самом деле, группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(A)$ — алгебраическая группа, а её алгебра Ли — это алгебра дифференцирований $\operatorname{Der}(A)$.

Структура алгебраических групп

А) Коммутативные группы.

Пусть $G$ — коммутативная алгебраическая группа, а $\mathfrak{g}$ — её алгебра Ли. Имеют место «глобальные разложения Жордана»: \begin{align} G &= G_s \times G_u, \\ \mathfrak{g}&=\mathfrak{g}_s\oplus\mathfrak{g}_n,\\ \end{align} где индексами $s,u,n$ обозначены подмножества полупростых, унипотентных и нильпотентных элементов, соответственно. При этом $G_s$ — квазитор, а $G_u$ — векторная группа, изоморфная посредством экспоненциального отображения своей алгебре Ли $\mathfrak{g}_n$, рассматриваемой как группа относительно сложения.

В самом деле, $G_s$ и $G_u$ являются подгруппами, поскольку произведение коммутирующих полупростых (унипотентных) линейных операторов полупросто (унипотентно). Их замкнутость следует из того, что любое коммутативное семейство полупростых линейных операторов одновременно диагонализуемо, а, значит, в некотором базисе $G_s$ и $G_u$ суть пересечения $G$ c замкнутыми подмножествами диагональных и унипотентных матриц, соответственно.

Б) Унипотентные группы.

Теорема Энгеля. Всякая унипотентная (т.е. состоящая из унипотентных операторов) линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ в некотором базисе пространства $V$ записывается верхними унитреугольными матрицами.

Следствие. Экспоненциальное отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ — изоморфизм алгебраических многообразий.

В самом деле, это верно для группы $U_n$ верхних унитреугольных матриц порядка $n$.

Унипотентные алгебраические группы обладают одним интересным свойством с точки зрения теории инвариантов. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Группа $G=\mathbb{C}^{\times}$ действует на плоскости $\mathbb{A}^2$ по правилу $$t:(x,y)\mapsto(tx,t^{-1}y).$$ Орбитами являются гиперболы $\{xy=c\}$ ($c\ne0$), проколотые прямые $\{x=0,\ y\ne0\}$ и $\{x\ne0,\ y=0\}$, и неподвижная точка $\{(0,0)\}$.

Пример 2. Группа $G=\mathbb{C}$ действует на плоскости $\mathbb{A}^2$ по правилу $$t:(x,y)\mapsto(x+ty,y).$$ Орбитами являются прямые $\{y=c\}$ ($c\ne0$) и неподвижные точки на оси абсцисс.

Главное отличие второго примера от первого в том, что в нём все орбиты замкнуты.

Теорема (Костант–Розенлихт). Все орбиты действия унипотентной группы $G$ на аффинном многообразии $X$ замкнуты.

Доказательство. Предположим противное: пусть существует незамкнутая орбита $Y\subset X$. Её замыкание $\overline{Y}\subseteq X$ — $G$-инвариантное аффинное подмногообразие. Граница орбиты $Z=\overline{Y}\setminus Y$ задаётся $G$-инвариантным идеалом $\mathcal{I}(Z)\lhd\mathbb{C}[\overline{Y}]$. Он исчерпывается конечномерными инвариантными подпространствами. По теореме Энгеля, представление группы $G$ в таком подпространстве задаётся унитреугольными матрицами и, значит, имеет ненулевой $G$-инвариантный вектор $f\in\mathcal{I}(Z)$. Но тогда $f=\text{const}\ne0$ на $Y$ и $f=0$ на $Z$, что противоречит непрерывности.

Из теоремы Энгеля, в частности, следует, что унипотентные группы разрешимы. Аналогом теоремы Энгеля для разрешимых групп является

Теорема Ли–Колчина. Всякая связная разрешимая линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ в некотором базисе пространства $V$ записывается верхнетреугольными матрицами.

Доказательство. Достаточно доказать, что все операторы из $G$ имеют общий собственный вектор $v_0\in V$. После этого можно перейти к представлению в факторпространстве $V/\langle v_0\rangle$ и рассуждать индукцией по размерности пространства.

Ведя индукцию по размерности группы, мы можем считать, что для коммутанта $H=(G,G)$ имеется общий собственный вектор $v\in V$. На нём группа $H$ действует умножением на характер $\chi:H\to\mathbb{C}^{\times}$: $$ hv=\chi(h)\cdot v,\qquad\forall h\in H. $$ Все векторы с этим свойством образуют весовое подпространство $V_{\chi}$. Так же, как и собственные подпространства одного линейного оператора, весовые подпространства линейно независимы. Поэтому ненулевых весовых подпространств в $V$ имеется лишь конечное число.

Группа $G$ действует на характерах группы $H$, действуя сопряжением на аргумент: $$ (g\chi)(h)=\chi(g^{-1}hg),\qquad\forall g\in G,\ h\in H. $$ При этом соответствующие весовые подпространства переставляются (задача 12.2). В силу конечности их числа и связности $G$, каждое весовое подпространство $G$-инвариантно, поэтому можно без ограничения общности считать, что $H$ действует на $V$ гомотетиями.

Но, с другой стороны, $H$ — связная подгруппа в $SL(V)$, поэтому $H=\{E\}$, и группа $G$ коммутативна. А для любого семейства коммутирующих линейных операторов на пространстве $V$ имеется общий собственный вектор $v_0$.

В) Связные нильпотентные группы.

Напомним, что группа $G$ называется нильпотентной, если её убывающий центральный ряд $$ G\supseteq(G,G)\supseteq(G,(G,G))\supseteq(G,(G,(G,G)))\supseteq\dots $$ доходит до единицы. Для связных нильпотентных алгебраических групп также имеется «глобальное разложение Жордана».

Теорема. Всякая связная нильпотентная алгебраическая группа $G$ разлагается в прямое произведение: $$ G=G_s\times G_u, $$ где $G_s$ — тор, а $G_u$ — унипотентная группа. Аналогичное аддитивное «глобальное разложение Жордана» имеется для касательной алгебры Ли: $$ \mathfrak{g}=\mathfrak{g}_s\oplus\mathfrak{g}_n. $$

Доказательство. Всякая нильпотентная группа разрешима, а значит, по теореме Ли–Колчина, можно считать, что $G$ содержится в группе верхнетреугольных матриц $B_n$. Тогда $G_u=G\cap U_n$, а $G/G_u\hookrightarrow B_n/U_n\simeq T_n$.

Любой полупростой элемент $t\in G$ коммутирует с подгруппой $G_u$. В самом деле, в противном случае присоединённый оператор $\mathop{Ad}(t)$ имеет на её алгебре Ли $\mathfrak{g}_n$ собственный вектор $X$ с собственным значением $\lambda\ne1$. Но тогда $$ \underbrace{(t,\dots(t,(t,}_N\exp X))\dots)=\exp\bigl((\lambda-1)^NX\bigr)\ne E $$ при любом $N$, что противоречит нильпотентности.

Отсюда следует, что множество полупростых элементов $G_s$ — подгруппа в $G$. Действительно, если $s,t\in G_s$, то из треугольного вида матриц вытекает, что $sts^{-1}=tu$ для некоторого $u\in G_u$. Но, в силу единственности (мультипликативного) разложения Жордана, $u=E\implies st=ts$, а произведение коммутирующих полупростых элементов полупросто.

В некотором базисе все элементы из $G_s$ одновременно записываются диагональными матрицами. Поэтому, переходя к такому базису, получаем, что $G_s=G\cap T_n$ — алгебраическая подгруппа. При факторизации по $G_u$ она изоморфно отображается на $G/G_u$, поэтому связна и является тором.

предыдущий семинар	2 декабря 2016 г.	следующий семинар
Тема 12 Разложение Жордана в алгебрах Ли. Коммутативные и нильпотентные группы. В) Алгебры Ли алгебраических групп. Будем дальше считать для простоты, что $\mathbb{K}=\mathbb{C}$. Всякая комплексная алгебраическая группа является группой Ли, и можно рассмотреть её касательную алгебру Ли. Алгебра Ли $\mathfrak{g}\subseteq L(V)$ линейной алгебраической группы $G\subseteq GL(V)$ замкнута относительно (аддитивного) разложения Жордана: $$X\in\mathfrak{g}\implies X_s,X_n\in\mathfrak{g}.$$ Дифференциалы гомоморфизмов алгебраических групп сохраняют разложение Жордана в их алгебрах Ли: если $H\subseteq GL(W)$ — другая алгебраическая группа, $\varphi:G\to H$ — гомоморфизм алгебраических групп, $d\varphi:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ — соответствующий гомоморфизм алгебр Ли, и $Y=d\varphi(X)$, то $$Y_s=\varphi(X_s),\quad Y_u=d\varphi(X_u).$$ В частности, разложение Жордана в $\mathfrak{g}$ не зависит от вложения $G\hookrightarrow GL(V)$. Для всякого элемента $X\in\mathfrak{g}$ можно рассмотреть наименьшую алгебраическую подгруппу $G(X)\subseteq G$, алгебра Ли которой содержит $X$ (замыкание однопараметрической подгруппы $\{\exp(tX)\mid t\in\mathbb{C}\}$ в топологии Зарисского). Она разлагается в прямое произведение: $$ G(X)=G(X_s)\times G(X_n), $$ где $G(X_s)$ — алгебраический тор, а $G(X_n)$ состоит из элементов $\exp(tX_n)$ ($t\in\mathbb{C}$) и изоморфна аддитивной группе поля $\mathbb{C}$ при $X_n\ne0$. Разложение Жордана в алгебраических группах и их алгебрах Ли — мощное средство для изучения их структуры и приложений. Пример. Пусть $A$ — конечномерная алгебра, $C$ — её автоморфизм, а $D$ — её дифференцирование. Тогда $C_s,C_u$ — тоже автоморфизмы, а $D_s,D_n$ — дифференцирования. В самом деле, группа автоморфизмов $\operatorname{Aut}(A)$ — алгебраическая группа, а её алгебра Ли — это алгебра дифференцирований $\operatorname{Der}(A)$. Структура алгебраических групп А) Коммутативные группы. Пусть $G$ — коммутативная алгебраическая группа, а $\mathfrak{g}$ — её алгебра Ли. Имеют место «глобальные разложения Жордана»: \begin{align} G &= G_s \times G_u, \\ \mathfrak{g}&=\mathfrak{g}_s\oplus\mathfrak{g}_n,\\ \end{align} где индексами $s,u,n$ обозначены подмножества полупростых, унипотентных и нильпотентных элементов, соответственно. При этом $G_s$ — квазитор, а $G_u$ — векторная группа, изоморфная посредством экспоненциального отображения своей алгебре Ли $\mathfrak{g}_n$, рассматриваемой как группа относительно сложения. В самом деле, $G_s$ и $G_u$ являются подгруппами, поскольку произведение коммутирующих полупростых (унипотентных) линейных операторов полупросто (унипотентно). Их замкнутость следует из того, что любое коммутативное семейство полупростых линейных операторов одновременно диагонализуемо, а, значит, в некотором базисе $G_s$ и $G_u$ суть пересечения $G$ c замкнутыми подмножествами диагональных и унипотентных матриц, соответственно. Б) Унипотентные группы. Теорема Энгеля. Всякая унипотентная (т.е. состоящая из унипотентных операторов) линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ в некотором базисе пространства $V$ записывается верхними унитреугольными матрицами. Следствие. Экспоненциальное отображение $\exp:\mathfrak{g}\to G$ — изоморфизм алгебраических многообразий. В самом деле, это верно для группы $U_n$ верхних унитреугольных матриц порядка $n$. Унипотентные алгебраические группы обладают одним интересным свойством с точки зрения теории инвариантов. Рассмотрим два примера. Пример 1. Группа $G=\mathbb{C}^{\times}$ действует на плоскости $\mathbb{A}^2$ по правилу $$t:(x,y)\mapsto(tx,t^{-1}y).$$ Орбитами являются гиперболы $\{xy=c\}$ ($c\ne0$), проколотые прямые $\{x=0,\ y\ne0\}$ и $\{x\ne0,\ y=0\}$, и неподвижная точка $\{(0,0)\}$. Пример 2. Группа $G=\mathbb{C}$ действует на плоскости $\mathbb{A}^2$ по правилу $$t:(x,y)\mapsto(x+ty,y).$$ Орбитами являются прямые $\{y=c\}$ ($c\ne0$) и неподвижные точки на оси абсцисс. Главное отличие второго примера от первого в том, что в нём все орбиты замкнуты. Теорема (Костант–Розенлихт). Все орбиты действия унипотентной группы $G$ на аффинном многообразии $X$ замкнуты. Доказательство. Предположим противное: пусть существует незамкнутая орбита $Y\subset X$. Её замыкание $\overline{Y}\subseteq X$ — $G$-инвариантное аффинное подмногообразие. Граница орбиты $Z=\overline{Y}\setminus Y$ задаётся $G$-инвариантным идеалом $\mathcal{I}(Z)\lhd\mathbb{C}[\overline{Y}]$. Он исчерпывается конечномерными инвариантными подпространствами. По теореме Энгеля, представление группы $G$ в таком подпространстве задаётся унитреугольными матрицами и, значит, имеет ненулевой $G$-инвариантный вектор $f\in\mathcal{I}(Z)$. Но тогда $f=\text{const}\ne0$ на $Y$ и $f=0$ на $Z$, что противоречит непрерывности. Из теоремы Энгеля, в частности, следует, что унипотентные группы разрешимы. Аналогом теоремы Энгеля для разрешимых групп является Теорема Ли–Колчина. Всякая связная разрешимая линейная алгебраическая группа $G\subseteq GL(V)$ в некотором базисе пространства $V$ записывается верхнетреугольными матрицами. Доказательство. Достаточно доказать, что все операторы из $G$ имеют общий собственный вектор $v_0\in V$. После этого можно перейти к представлению в факторпространстве $V/\langle v_0\rangle$ и рассуждать индукцией по размерности пространства. Ведя индукцию по размерности группы, мы можем считать, что для коммутанта $H=(G,G)$ имеется общий собственный вектор $v\in V$. На нём группа $H$ действует умножением на характер $\chi:H\to\mathbb{C}^{\times}$: $$ hv=\chi(h)\cdot v,\qquad\forall h\in H. $$ Все векторы с этим свойством образуют весовое подпространство $V_{\chi}$. Так же, как и собственные подпространства одного линейного оператора, весовые подпространства линейно независимы. Поэтому ненулевых весовых подпространств в $V$ имеется лишь конечное число. Группа $G$ действует на характерах группы $H$, действуя сопряжением на аргумент: $$ (g\chi)(h)=\chi(g^{-1}hg),\qquad\forall g\in G,\ h\in H. $$ При этом соответствующие весовые подпространства переставляются (задача 12.2). В силу конечности их числа и связности $G$, каждое весовое подпространство $G$-инвариантно, поэтому можно без ограничения общности считать, что $H$ действует на $V$ гомотетиями. Но, с другой стороны, $H$ — связная подгруппа в $SL(V)$, поэтому $H=\{E\}$, и группа $G$ коммутативна. А для любого семейства коммутирующих линейных операторов на пространстве $V$ имеется общий собственный вектор $v_0$. В) Связные нильпотентные группы. Напомним, что группа $G$ называется нильпотентной, если её убывающий центральный ряд $$ G\supseteq(G,G)\supseteq(G,(G,G))\supseteq(G,(G,(G,G)))\supseteq\dots $$ доходит до единицы. Для связных нильпотентных алгебраических групп также имеется «глобальное разложение Жордана». Теорема. Всякая связная нильпотентная алгебраическая группа $G$ разлагается в прямое произведение: $$ G=G_s\times G_u, $$ где $G_s$ — тор, а $G_u$ — унипотентная группа. Аналогичное аддитивное «глобальное разложение Жордана» имеется для касательной алгебры Ли: $$ \mathfrak{g}=\mathfrak{g}_s\oplus\mathfrak{g}_n. $$ Доказательство. Всякая нильпотентная группа разрешима, а значит, по теореме Ли–Колчина, можно считать, что $G$ содержится в группе верхнетреугольных матриц $B_n$. Тогда $G_u=G\cap U_n$, а $G/G_u\hookrightarrow B_n/U_n\simeq T_n$. Любой полупростой элемент $t\in G$ коммутирует с подгруппой $G_u$. В самом деле, в противном случае присоединённый оператор $\mathop{Ad}(t)$ имеет на её алгебре Ли $\mathfrak{g}_n$ собственный вектор $X$ с собственным значением $\lambda\ne1$. Но тогда $$ \underbrace{(t,\dots(t,(t,}_N\exp X))\dots)=\exp\bigl((\lambda-1)^NX\bigr)\ne E $$ при любом $N$, что противоречит нильпотентности. Отсюда следует, что множество полупростых элементов $G_s$ — подгруппа в $G$. Действительно, если $s,t\in G_s$, то из треугольного вида матриц вытекает, что $sts^{-1}=tu$ для некоторого $u\in G_u$. Но, в силу единственности (мультипликативного) разложения Жордана, $u=E\implies st=ts$, а произведение коммутирующих полупростых элементов полупросто. В некотором базисе все элементы из $G_s$ одновременно записываются диагональными матрицами. Поэтому, переходя к такому базису, получаем, что $G_s=G\cap T_n$ — алгебраическая подгруппа. При факторизации по $G_u$ она изоморфно отображается на $G/G_u$, поэтому связна и является тором. Задачи Задача 12.1. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ — собственные значения оператора $X\in L(V)$. Тогда $$ \dim G(X)=\begin{cases} \dim\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle_{\mathbb{Q}}, & X_n=0, \\ \dim\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle_{\mathbb{Q}}+1, & X_n\ne 0, \\ \end{cases} $$ где $\langle\lambda_1,\dots,\lambda_n\rangle_{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{C}$ — векторное подпространство над полем $\mathbb{Q}$, порождённое собственными значениями оператора $X$. Задача 12.2. Пусть $H\lhd G\subset GL(V)$ — нормальная подгруппа линейной группы, и $V_{\chi}\subseteq V$ — весовое подпространство группы $H$, отвечающее характеру $\chi$. Тогда $gV_{\chi}=V_{g\chi}$, $\forall g\in G$. Задача 12.3. Пусть $G$ — нильпотентная алгебраическая группа. Тогда: а) центр группы $G$ имеет положительную размерность; б) всякая связная алгебраическая подгруппа $H\subset G$ коразмерности $1$ нормальна. Задача 12.4. Пусть $G$ — алгебраическая группа, а $H\subset G$ — коммутативная, нильпотентная, унипотентная или разрешимая подгруппа. Тогда её замыкание $\overline{H}$ таково же.