предыдущий семинар 9 декабря 2016 г. следующий семинар

Тема 13

Разрешимые группы. Разложение Леви–Шевалле.

Г) Связные разрешимые группы.

Теорема 1. Всякая связная разрешимая алгебраическая группа $G$ разлагается в полупрямое произведение: $$ G=T\rightthreetimes G_u, $$ где $T$ — тор, а $G_u$ — унипотентная группа.

Доказательство идёт по той же схеме, что и в предыдущей теореме. Из теоремы Ли–Колчина вытекает, что множество унипотентных элементов $G_u$ является нормальной алгебраической подгруппой, а $G/G_u$ — алгебраический тор. По задаче 11.7, этот тор порождается (как алгебраическая группа) одним элементом $\bar{g}$. Выберем представитель $g\in G$ смежного класса $\bar{g}\in G/G_u$ и рассмотрим его разложение Жордана $g=g_sg_u$. Поскольку $g_u$ при факторизации по $G_u$ отображается в единицу, можно заменить $g$ на $g_s$ и считать $g$ полупростым. Квазитор $T=G(g)$ состоит из полупростых элементов, а значит, тривиально пересекает $G_u$ и изоморфно проектируется на $G(\bar{g})=G/G_u$, т.е. является тором.

Ясно, что $T$ — максимальный тор в $G$ (любая большая подгруппа содержит унипотентные элементы). Разложение связной разрешимой группы в полупрямое произведение из теоремы 1 по существу единственно, как показывает следующая теорема.

Теорема 2. Все максимальные торы в (связной) разрешимой алгебраической группе сопряжены.

Доказательство. Достаточно показать, что для произвольного тора $S\subset G$ некоторый сопряжённый тор $g^{-1}Sg$ содержится в $T$. Для этого можно рассмотреть действие группы $G$ на многообразии левых смежных классов $$X=G/T\simeq G_u\simeq\mathfrak{g}_n$$ (последний изоморфизм даётся экспоненциальным отображением). В $X$ имеется отмеченная точка $x_0$ со стабилизатором $T$, соответствующая смежному классу $eT=T$, или единице $e\in G_u$, или началу координат $0\in\mathfrak{g}_n$. Достаточно показать, что найдётся точка $x=gx_0\in X$, стабилизатор которой $G_x=gTg^{-1}$ содержит $S$.

Покажем это в частном случае, когда группа $G_u$ коммутативна. Общий случай можно вывести из частного индукцией по $\dim G$ (задача 13.2).

В коммутативном случае $\exp:\mathfrak{g}_n\to G_u$ — изоморфизм групп. Группа $G$ действует на аффинном пространстве $X\simeq\mathfrak{g}_n$ аффинными преобразованиями, причём $G_u$ действует параллельными переносами, а $T$ — сопряжениями, т.е. линейными преобразованиями. Возникающее в алгебре многочленов $\mathbb{C}[X]$ линейное представление группы $G$ сохраняет подпространство аффинных функций $\mathbb{C}[X]_{\le1}$.

Действие тора $S$ на пространстве $\mathbb{C}[X]_{\le1}$ диагонализуемо, и можно дополнить константу $1\in\mathbb{C}[X]_{\le1}$ до базиса $1,f_1,\dots,f_n$, в котором $S$ действует диагональными матрицами. Функции $f_1,\dots,f_n$ можно принять за аффинные координаты на пространстве $X$. Начало координат этой системы, т.е. точка $x\in X$, для которой $f_1(x)=\dots=f_n(x)=0$, является искомой точкой.

Д) Произвольные алгебраические группы.

Пусть $G\subseteq GL(V)$ — линейная алгебраическая группа, $\mathfrak{g}\subseteq L(V)$ — её алгебра Ли. На пространстве $\mathfrak{g}$ имеется скалярное умножение — симметрическая билинейная форма $$(X,Y)=\operatorname{tr}(XY).$$ Оно инвариантно относительно присоединённого представления, т.е. действия группы $G$ на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ сопряжениями.

Теорема 3. В группе $G$ существует наибольшая нормальная унипотентная подгруппа $G_u\lhd G$. Эта подгруппа называется унипотентным радикалом группы $G$. Её касательная алгебра Ли $\mathfrak{g}_u$ — ядро инвариантного скалярного умножения на $\mathfrak{g}$.

Разложение Леви–Шевалле. Существует такая алгебраическая подгруппа $L\subseteq G$, что $$ G=L\rightthreetimes G_u. $$ Такие подгруппы $L$ называются подгруппами Леви. Все подгруппы Леви в $G$ сопряжены.

Определение. Группа $G$ называется редуктивной, если инвариантное скалярное умножение на $\mathfrak{g}$ невырождено.

Очевидно, подгруппа Леви произвольной алгебраической группы редуктивна. Поэтому изучение произвольных алгебраических групп до некоторой степени сводится к унипотентным и редуктивным группам.

Пример 1. Группа $GL(V)$ редуктивна, поскольку инвариантное скалярное умножение на её алгебре Ли $\mathfrak{gl}(V)=L(V)$ невырождено. В самом деле, на матричном языке базис пространства $\mathfrak{gl}(V)\simeq\mathfrak{gl}_n$ составляют матричные единицы, и ненулевыми скалярными произведениями базисных векторов являются лишь $$ (E_{ij},E_{ji})=1. $$ Аналогично, группа $SL(V)$ редуктивна.

Пример 2. Любой алгебраический тор (или квазитор) $T$ редуктивен. В самом деле, при подходящем выборе базиса $T$ состоит из диагональных матриц и задаётся в группе $T_n$ уравнениями вида $$ t_1^{k_1}\dots t_n^{k_n}=1\quad(k_i\in\mathbb{Z}). $$ Дифференцируя эти уравнения в единице, получаем, что касательная алгебра Ли $\mathfrak{t}$ состоит из диагональных матриц $X=\operatorname{diag}(x_1,\dots,x_n)$, удовлетворяющих линейным уравнениям $$ k_1x_1+\dots+k_nx_n=0 $$ с целыми коэффициентами. На пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ вещественных решений этой системы линейных уравнений инвариантное скалярное умножение положительно определено. Значит, оно невырождено и на его комплексификации $\mathfrak{t}$.

Пример 3. Рассмотрим группу $GA_n$ аффинных преобразований пространства $\mathbb{A}^n$. Её можно реализовать как группу линейных операторов в $(n+1)$-мерном векторном пространстве, задаваемых матрицами вида $$ \left( \begin{array}{ccc|c} * & \dots & * & * \\ \smash\vdots & \smash\ddots & \smash\vdots & \smash\vdots \\[-1ex] \smash* & \smash\dots & \smash* & \smash* \\ \hline 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right). $$ Эта группа действует на аффинной гиперплоскости $\{x_{n+1}=0\}$ аффинными преобразованиями. Унипотентным радикалом группы $GA_n$ является подгруппа параллельных переносов, реализуемая линейными операторами с матрицами вида $$ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & & \smash{\mathrm{O}} & * \\ & \smash\ddots & & \smash\vdots \\[-1ex] \smash{\mathrm{O}} & & \smash1 & \smash* \\ \hline 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right), $$ а в качестве подгруппы Леви можно взять группу линейных преобразований, сохраняющих (выбранное) начало координат и реализуемых в $(n+1)$-мерном пространстве линейными операторами с матрицами вида $$ \left( \begin{array}{ccc|c} * & \dots & * & 0 \\ \smash\vdots & \smash\ddots & \smash\vdots & \smash\vdots \\[-1ex] \smash* & \smash\dots & \smash* & \smash0 \\ \hline 0 & \dots & 0 & 1 \end{array} \right). $$


Задачи

Задача 13.1. Пусть $G$ — связная разрешимая алгебраическая группа, а $S\subset G$ — подгруппа, состоящая из полупростых элементов. Тогда $S$ абелева.

Задача 13.2. Пусть $G$ — связная разрешимая алгебраическая группа, и $T\subset G$ — максимальный тор, дополнительный к $G_u$ (см. теорему 1). Индукцией по $\dim G$ доказать, что любой подтор $S\subset G$ имеет на множестве левых смежных классов $X=G/T$ неподвижную точку.

Задача 13.3. Доказать редуктивность групп a) $O(V)$, б) $Sp(V)$.

Задача 13.4. Пусть $V\supset U_1\supset\dots\supset U_k$ — флаг подпространств. Найти разложение Леви–Шевалле для группы $GL(V,U_1,\dots,U_k)$ линейных преобразований пространства $V$, сохраняющих флаг.

Задача 13.5. Найти разложение Леви–Шевалле для группы $G$, являющейся стабилизатором изотропного подпространства $U\subset V$ в группе a) $SO(V)$, б) $Sp(V)$.