Как устроены редуктивные группы? Ясно, что редуктивность алгебраической группы $G$ зависит только от её связной компоненты единицы $G^0$ (в частности, все конечные группы редуктивны). Поэтому будем рассматривать связные редуктивные группы.

Все связные классические алгебраические группы редуктивны (пример 1 и задача 13.3 прошлого семинара). Алгебраические торы также редуктивны (пример 2 прошлого семинара). Класс редуктивных групп замкнут относительно перехода к прямым произведениям, факторгруппам и накрытиям с конечным ядром. Если добавить к классическим группам и торам ещё пять особых простых алгебраических групп и разрешить применение перечисленных операций, то мы получим все связные редуктивные группы.

Разобраться в строении связных редуктивных групп помогает изучение максимальных торов в них.

Пусть $G$ — (нетривиальная) связная редуктивная алгебраическая группа. Её алгебра Ли $\mathfrak{g}$ содержит полупростые элементы (иначе $G$ была бы унипотентной), а значит, $G$ содержит нетривиальные торы.

Пусть $T$ — максимальный тор в $G$. Рассмотрим присоединённое представление $$ \operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g}),\quad\operatorname{Ad}(g)X=gXg^{-1}\quad(g\in G,\ X\in\mathfrak{g}), $$ и ограничим его на $T$. Поскольку любое линейное представление алгебраического тора диагонализуемо, имеет место корневое разложение $$ \mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha}\mathfrak{g}_{\alpha},\quad\text{где}\quad \mathfrak{g}_{\alpha}=\{X\in\mathfrak{g}\mid\operatorname{Ad}(t)X=\alpha(t)X,\ \forall t\in T\}, $$ и сумма берётся по всем характерам $\alpha:T\to\mathbb{C}^{\times}$ максимального тора. В координатах $t_1,\dots,t_n$ на торе $T\simeq(\mathbb{C}^{\times})^n$ всякий характер записывается одночленом Лорана: $$ \alpha(t)=t_1^{k_1}\dots t_n^{k_n}=:t^{\alpha}\qquad(k_i\in\mathbb{Z}). $$ Последняя запись удобна тем, что характеры тора можно отождествить с векторами целочисленной решётки, и умножению характеров соответствует сложение векторов. Поэтому группу характеров тора принято записывать аддитивно.

Рассмотрим некоторые свойства корневого разложения.

Лемма 1. Подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}$ ортогональны друг другу относительно инвариантного скалярного умножения, кроме случая $\beta=-\alpha$. Спаривание между пространствами $\mathfrak{g}_{\alpha}$ и $\mathfrak{g}_{-\alpha}$, задаваемое скалярным умножением, невырождено (т.е. каждое из этих пространств можно отождествить с сопряжённым к другому).

Доказательство первого утверждения вытекает из вычисления скалярного произведения $$(\operatorname{Ad}(t)X,\operatorname{Ad}(t)Y)=(X,Y)$$ при $t\in T$, $X\in\mathfrak{g}_{\alpha}$, $Y\in\mathfrak{g}_{\beta}$, а второе утверждение леммы следует из первого.

В частности, на подпространстве $\mathfrak{g}_0$, т.е. алгебре Ли группы $Z_G(T)$ инвариантное скалярное умножение невырождено, а значит, группа $Z_G(T)$ редуктивна.

Лемма 2. $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}$.

Доказательство. Имеется ортогональное разложение $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{t}^{\perp}$. Заметим, что $\mathfrak{t}^{\perp}$ замкнуто относительно аддитивного разложения Жордана: если $X\in\mathfrak{t}^{\perp}$, то для любого $Y\in\mathfrak{t}$ можно в некотором базисе одновременно записать $X$ и $Y$ верхнетреугольными матрицами (поскольку они коммутируют), откуда видно, что $(X,Y_s)=(X,Y)=0$ и $(X,Y_n)=0$. Но $\mathfrak{t}^{\perp}$ не содержит полупростых элементов (иначе тор $T$ не был бы максимальным), а значит, состоит из нильпотентных элементов и совпадает с ядром скалярного умножения на $\mathfrak{g}_0$. Следовательно, $\mathfrak{t}^{\perp}=0$.

Характеры $\alpha\ne0$, для которых $\mathfrak{g}_{\alpha}\ne0$, называются корнями группы $G$ относительно тора $T$, а $\mathfrak{g}_{\alpha}$ — корневыми подпространствами. Множество корней $\Delta$ можно рассматривать как конечное множество векторов в целочисленной решётке. Корневое разложение можно переписать в виде $$ \mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}. $$ Свойства корневого разложения:

$\alpha\in\Delta\implies-\alpha\in\Delta$ — единственный корень, пропорциональный $\alpha$;

$\alpha\in\Delta\implies\dim\mathfrak{g}_{\alpha}=1$;

$\alpha,\beta,\alpha+\beta\in\Delta\implies[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ (ср. с задачей 14.1).

Теорема 1. Максимальный тор $T$ и система корней $\Delta$ (рассматриваемая как конечное множество векторов в решётке характеров тора $T$) определяют редуктивную группу $G$ однозначно, с точностью до изоморфизма.

Все возможные пары $(T,\Delta)$ можно описать в комбинаторных терминах.

Верно и обратное — пара $(T,\Delta)$ определяется группой $G$ по существу однозначно. Это вытекает из следующего факта, аналогичного результату для разрешимых групп.

Теорема 2. Все максимальные торы в (связной) редуктивной алгебраической группе сопряжены.

Пример. Пусть $G=GL_n(\mathbb{C})$. В качестве максимального тора можно взять $T=T_n$. Определим характеры $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ формулой $$ t^{\varepsilon_i}=t_i,\qquad\forall t=\operatorname{diag}(t_1,\dots,t_n)\in T. $$ Они составляют базис решётки характеров тора $T$. Систему корней образуют векторы $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ (при $i\ne j$), а соответствующие корневые подпространства суть $\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{C}E_{ij}$.

Для $G=SL_n(\mathbb{C})$ всё аналогично, только $T\subset T_n$ задаётся уравнением $t_1\dots t_n=1$, и характеры $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ связаны линейной зависимостью $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n=0$.

предыдущий семинар	16 декабря 2016 г.	следующий семинар
Тема 14 Редуктивные группы Как устроены редуктивные группы? Ясно, что редуктивность алгебраической группы $G$ зависит только от её связной компоненты единицы $G^0$ (в частности, все конечные группы редуктивны). Поэтому будем рассматривать связные редуктивные группы. Все связные классические алгебраические группы редуктивны (пример 1 и задача 13.3 прошлого семинара). Алгебраические торы также редуктивны (пример 2 прошлого семинара). Класс редуктивных групп замкнут относительно перехода к прямым произведениям, факторгруппам и накрытиям с конечным ядром. Если добавить к классическим группам и торам ещё пять особых простых алгебраических групп и разрешить применение перечисленных операций, то мы получим все связные редуктивные группы. Разобраться в строении связных редуктивных групп помогает изучение максимальных торов в них. Пусть $G$ — (нетривиальная) связная редуктивная алгебраическая группа. Её алгебра Ли $\mathfrak{g}$ содержит полупростые элементы (иначе $G$ была бы унипотентной), а значит, $G$ содержит нетривиальные торы. Пусть $T$ — максимальный тор в $G$. Рассмотрим присоединённое представление $$ \operatorname{Ad}:G\to GL(\mathfrak{g}),\quad\operatorname{Ad}(g)X=gXg^{-1}\quad(g\in G,\ X\in\mathfrak{g}), $$ и ограничим его на $T$. Поскольку любое линейное представление алгебраического тора диагонализуемо, имеет место корневое разложение $$ \mathfrak{g}=\bigoplus_{\alpha}\mathfrak{g}_{\alpha},\quad\text{где}\quad \mathfrak{g}_{\alpha}=\{X\in\mathfrak{g}\mid\operatorname{Ad}(t)X=\alpha(t)X,\ \forall t\in T\}, $$ и сумма берётся по всем характерам $\alpha:T\to\mathbb{C}^{\times}$ максимального тора. В координатах $t_1,\dots,t_n$ на торе $T\simeq(\mathbb{C}^{\times})^n$ всякий характер записывается одночленом Лорана: $$ \alpha(t)=t_1^{k_1}\dots t_n^{k_n}=:t^{\alpha}\qquad(k_i\in\mathbb{Z}). $$ Последняя запись удобна тем, что характеры тора можно отождествить с векторами целочисленной решётки, и умножению характеров соответствует сложение векторов. Поэтому группу характеров тора принято записывать аддитивно. Рассмотрим некоторые свойства корневого разложения. Лемма 1. Подпространства $\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}$ ортогональны друг другу относительно инвариантного скалярного умножения, кроме случая $\beta=-\alpha$. Спаривание между пространствами $\mathfrak{g}_{\alpha}$ и $\mathfrak{g}_{-\alpha}$, задаваемое скалярным умножением, невырождено (т.е. каждое из этих пространств можно отождествить с сопряжённым к другому). Доказательство первого утверждения вытекает из вычисления скалярного произведения $$(\operatorname{Ad}(t)X,\operatorname{Ad}(t)Y)=(X,Y)$$ при $t\in T$, $X\in\mathfrak{g}_{\alpha}$, $Y\in\mathfrak{g}_{\beta}$, а второе утверждение леммы следует из первого. В частности, на подпространстве $\mathfrak{g}_0$, т.е. алгебре Ли группы $Z_G(T)$ инвариантное скалярное умножение невырождено, а значит, группа $Z_G(T)$ редуктивна. Лемма 2. $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}$. Доказательство. Имеется ортогональное разложение $\mathfrak{g}_0=\mathfrak{t}\oplus\mathfrak{t}^{\perp}$. Заметим, что $\mathfrak{t}^{\perp}$ замкнуто относительно аддитивного разложения Жордана: если $X\in\mathfrak{t}^{\perp}$, то для любого $Y\in\mathfrak{t}$ можно в некотором базисе одновременно записать $X$ и $Y$ верхнетреугольными матрицами (поскольку они коммутируют), откуда видно, что $(X,Y_s)=(X,Y)=0$ и $(X,Y_n)=0$. Но $\mathfrak{t}^{\perp}$ не содержит полупростых элементов (иначе тор $T$ не был бы максимальным), а значит, состоит из нильпотентных элементов и совпадает с ядром скалярного умножения на $\mathfrak{g}_0$. Следовательно, $\mathfrak{t}^{\perp}=0$. Характеры $\alpha\ne0$, для которых $\mathfrak{g}_{\alpha}\ne0$, называются корнями группы $G$ относительно тора $T$, а $\mathfrak{g}_{\alpha}$ — корневыми подпространствами. Множество корней $\Delta$ можно рассматривать как конечное множество векторов в целочисленной решётке. Корневое разложение можно переписать в виде $$ \mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}. $$ Свойства корневого разложения: $\alpha\in\Delta\implies-\alpha\in\Delta$ — единственный корень, пропорциональный $\alpha$; $\alpha\in\Delta\implies\dim\mathfrak{g}_{\alpha}=1$; $\alpha,\beta,\alpha+\beta\in\Delta\implies[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]=\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ (ср. с задачей 14.1). Теорема 1. Максимальный тор $T$ и система корней $\Delta$ (рассматриваемая как конечное множество векторов в решётке характеров тора $T$) определяют редуктивную группу $G$ однозначно, с точностью до изоморфизма. Все возможные пары $(T,\Delta)$ можно описать в комбинаторных терминах. Верно и обратное — пара $(T,\Delta)$ определяется группой $G$ по существу однозначно. Это вытекает из следующего факта, аналогичного результату для разрешимых групп. Теорема 2. Все максимальные торы в (связной) редуктивной алгебраической группе сопряжены. Пример. Пусть $G=GL_n(\mathbb{C})$. В качестве максимального тора можно взять $T=T_n$. Определим характеры $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ формулой $$ t^{\varepsilon_i}=t_i,\qquad\forall t=\operatorname{diag}(t_1,\dots,t_n)\in T. $$ Они составляют базис решётки характеров тора $T$. Систему корней образуют векторы $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ (при $i\ne j$), а соответствующие корневые подпространства суть $\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathbb{C}E_{ij}$. Для $G=SL_n(\mathbb{C})$ всё аналогично, только $T\subset T_n$ задаётся уравнением $t_1\dots t_n=1$, и характеры $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ связаны линейной зависимостью $\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_n=0$. Задачи Задача 14.1. $[\mathfrak{g}_{\alpha},\mathfrak{g}_{\beta}]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ для любых двух характеров $\alpha,\beta$ максимального тора $T$ редуктивной группы $G$. Задача 14.2. Найти максимальный тор, систему корней и корневые подпространства a) для $G=SO_n(\mathbb{C})$, б) для $G=Sp_{2n}(\mathbb{C})$. Указание: рассмотреть базис, в котором матрица билинейной формы, сохраняемой группой $G$, имеет антидиагональный вид. Задача 14.3. Все максимальные торы в произвольной алгебраической группе сопряжены.