Докажем теорему о сопряжённости максимальных торов в (связной) редуктивной группе $G$.

Пусть $T\subset G$ — какой-либо максимальный тор. Выделим в его касательной алгебре Ли $\mathfrak{t}$ (она называется подалгеброй Картана в $\mathfrak{g}$) подмножество регулярных элементов $$\mathfrak{t}_{\text{reg}}=\{Z\in\mathfrak{t}\mid d\alpha(Z)\ne0,\ \forall\alpha\in\Delta\}.$$ Здесь $\Delta$ — система корней группы $G$ относительно $T$. Будучи дополнением к объединению конечного числа гиперплоскостей, множество $\mathfrak{t}_{\text{reg}}$ открыто (и плотно) в топологии Зарисского. Регулярные элементы можно также охарактеризовать свойством $$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(Z)=\mathfrak{t}.$$ В самом деле, для любых $Z\in\mathfrak{t}$ и $X\in\mathfrak{g}_{\alpha}$ имеем $$[Z,X]=\operatorname{ad}(Z)X=d\alpha(Z)\cdot X.$$ Поэтому $$\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(Z)=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{d\alpha(Z)=0}\mathfrak{g}_{\alpha}.$$ Таким образом, алгебра Ли $\mathfrak{t}$, а значит, и сам максимальный тор $T$ восстанавливаются по любому регулярному элементу.

Теперь рассмотрим морфизм $$\varphi:G\times\mathfrak{t}_{\text{reg}}\to\mathfrak{g},\quad\varphi(g,Z)=\operatorname{Ad}(g)Z.$$ Он эквивариантен по отношению к действиям $G$ левыми умножениями на первом сомножителе $G\times\mathfrak{t}_{\text{reg}}$ и сопряжениями (присоединённому действию) на $\mathfrak{g}$. Покажем, что $\varphi$ доминантен. По задаче 15.1, достаточно доказать, что отображение касательных пространств $d_{(g,Z)}\varphi$ сюръективно.

В силу $G$-эквивариантности можно считать, что $g=E$. В точке $(E,Z)$ дифференциал отображения $\varphi$ имеет вид $$d\varphi:\mathfrak{g}\times\mathfrak{t}\to\mathfrak{g},\quad d\varphi(X,Y)=[X,Z]+Y.$$ Отсюда $$\operatorname{Im}(d\varphi)=[\mathfrak{g},Z]+\mathfrak{t}=\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}+\mathfrak{t}=\mathfrak{g}.$$

Таким образом, $\operatorname{Im}\varphi=\operatorname{Ad}(G)\mathfrak{t}_{\text{reg}}$ содержит (плотное) открытое подмножество $U\subset\mathfrak{g}$ (на самом деле, само множество $\operatorname{Im}\varphi$ открыто). Если $T'\subset G$ — другой максимальный тор, то, аналогично, $\operatorname{Ad}(G)\mathfrak{t}'_{\text{reg}}$ содержит открытое подмножество $U'\subset\mathfrak{g}$.

Множества $U$ и $U'$ пересекаются. Возьмём произвольный элемент вида $\operatorname{Ad}(g)Z=\operatorname{Ad}(g')Z'\in U\cap U'$ ($g,g'\in G$, $Z\in\mathfrak{t}_{\text{reg}}$, $Z'\in\mathfrak{t}'_{\text{reg}}$). Получаем $Z=\operatorname{Ad}(h)Z'$, где $h=g^{-1}g'$. Отсюда $$\mathfrak{t}=\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(Z)=\operatorname{Ad}(h)\,\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(Z')=\operatorname{Ad}(h)\mathfrak{t'}$$ и, следовательно, $T=hT'h^{-1}$.

Задача 15.1. Пусть $\varphi:X\to Y$ — морфизм неприводимых многообразий, и отображение касательных пространств $d_x\varphi:T_xX\to T_{\varphi(x)}Y$ сюръективно в некоторой гладкой точке $x\in X$. Тогда $\varphi$ доминантен.
Указание: рассмотреть слой $\varphi^{-1}(\varphi(x))$.