17 февраля 2016 г. | ||
Тема 16 $\mathfrak{sl}_2$-тройки Уточним некоторые свойства корневого разложения. Для каждого корня $\alpha\in\Delta$ корневое подпространство $\mathfrak{g}_{\alpha}$ порождается одним вектором $e_{\alpha}$. Можно так выбрать элементы $e_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}$ и $f_{\alpha}:=e_{-\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$, что их коммутатор $h_{\alpha}=[e_{\alpha},f_{\alpha}]\in\mathfrak{t}$ обладает следующими свойствами:
Пример. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Для корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ можно выбрать корневые векторы $e_{\alpha}=E_{ij}$, $f_{\alpha}=E_{ji}$, и тогда $e_{\alpha}$, $f_{\alpha}$, $h_{\alpha}=E_{ii}-E_{jj}$ образуют $\mathfrak{sl}_2$-тройку, а соответствующая 3-мерная подалгебра — это копия алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, расположенная на пересечении строк и столбцов с номерами $i,j$. Любое линейное представление $R:G\to GL(V)$ редуктивной группы можно продифференцировать, получив представление $dR:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ её алгебры Ли, и ограничить его на 3-мерную подалгебру, заданную $\mathfrak{sl}_2$-тройкой, получая представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Это соображение позволяет эффективно использовать теорию представлений $\mathfrak{sl}_2$ при изучении структуры редуктивных групп и их алгебр Ли. Рассмотрим в пространстве $\mathfrak{t}$ вещественное подпространство $$ \mathfrak{t}(\mathbb{R})=\{Z\in\mathfrak{t}\mid d\lambda(Z)\in\mathbb{R},\ \forall\lambda\in\mathfrak{X}(T)\}. $$ Оно состоит из векторов с вещественными координатами в естественной системе координат, задаваемой базисом решётки характеров. Пространство $\mathfrak{t}$ является комплексификацией пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$. Инвариантное скалярное умножение принимает на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ вещественные значения и положительно определено. Заметим, что $h_{\alpha}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, $\forall\alpha\in\Delta$. Двойственным образом, в пространстве $\mathfrak{t}^*$ можно рассмотреть вещественное подпространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, порождённое дифференциалами характеров тора $T$. Инвариантное скалярное умножение позволяет отождествить $\mathfrak{t}$ с $\mathfrak{t}^*$, а $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ с $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, и переносится в $\mathfrak{t}^*$. Таким образом, $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ превращается в евклидово пространство, а характеры тора (отождествляемые с их дифференциалами) образуют в нём решётку максимального ранга. При отождествлении $\mathfrak{t}$ с $\mathfrak{t}^*$ элементу $h_{\alpha}$ соответствует вектор $$\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{(\alpha,\alpha)},$$ называемый дуальным корнем. Числа Картана можно переписать в виде $$ \langle\lambda|\alpha\rangle=(\lambda,\alpha^{\vee})=2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}. $$ В предыдущем примере $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ — ортонормированный базис пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, поэтому $(\alpha,\alpha)=2$ для любого $\alpha\in\Delta$, и $\alpha^{\vee}=\alpha$. Лемма 1. Для любых двух корней $\alpha,\beta\in\Delta$ пара чисел Картана $\langle\alpha|\beta\rangle$ и $\langle\beta|\alpha\rangle$ может принимать лишь следующие значения, с точностью до перестановки: $$ (0,0),\quad(\pm1,\pm1),\quad(\pm2,\pm1),\quad(\pm3,\pm1),\quad(\pm2,\pm2) $$ (знаки согласованы), причём в первом случае $\alpha\perp\beta$, а в последнем $\alpha=\pm\beta$. Для доказательства нужно заметить, что $|\,\langle\alpha|\beta\rangle\cdot\langle\beta|\alpha\rangle\,|\le4$ по неравенству Коши–Буняковского, и воспользоваться целочисленностью скобки Картана и отстутствием пропорциональных корней, кроме противоположных друг другу. Ещё одно применение теории представлений $\mathfrak{sl}_2$ — описание структуры $\alpha$-серии корней, т.е. множества корней вида $\gamma=k\alpha+\beta$ ($k\in\mathbb{Z}$, где $\alpha,\beta$ — фиксированные корни, не пропорциональные друг другу. Доказательство основано на том, что сумма корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\gamma}$ по всем $\gamma$ из $\alpha$-серии инвариантна относительно присоединённого действия подалгебры Ли $\langle e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}\rangle\simeq\mathfrak{sl}_2$, причём $h_{\alpha}$ действует с весами $\langle\gamma|\alpha\rangle$, которые (согласно теории представлений $\mathfrak{sl}_2$) должны быть расположены симметрично относительно $0$ с интервалом не более $2$. На самом деле, это представление даже неприводимо, поскольку веса однократны и идут с интервалом $2$.
Задача 16.1.
а) В обозначениях леммы 2, $p-q=\langle\beta|\alpha\rangle$.
|