предыдущий семинар 17 февраля 2016 г. следующий семинар

Тема 16

$\mathfrak{sl}_2$-тройки

Уточним некоторые свойства корневого разложения.

Для каждого корня $\alpha\in\Delta$ корневое подпространство $\mathfrak{g}_{\alpha}$ порождается одним вектором $e_{\alpha}$. Можно так выбрать элементы $e_{\alpha}\in\mathfrak{g}_{\alpha}$ и $f_{\alpha}:=e_{-\alpha}\in\mathfrak{g}_{-\alpha}$, что их коммутатор $h_{\alpha}=[e_{\alpha},f_{\alpha}]\in\mathfrak{t}$ обладает следующими свойствами:

  1. $d\alpha(h_{\alpha})=2$;
  2. $h_{\alpha}\perp\operatorname{Ker}(d\alpha)$.
Второе свойство не зависит от выбора $e_{\alpha},f_{\alpha}$, а для выполнения первого нужно лишь показать, что $[e_{\alpha},f_{\alpha}]\ne0$, и затем нормировать элементы $e_{\alpha},f_{\alpha}$ умножением на подходящие скаляры.

При таком выборе элементы $e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}$ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: \begin{align} [e_{\alpha},f_{\alpha}]&=h_{\alpha},& [h_{\alpha},e_{\alpha}]&=2e_{\alpha},& [h_{\alpha},f_{\alpha}]&=-2f_{\alpha}. \end{align} Удовлетворяющие подобным соотношениям тройки элементов в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ называются $\mathfrak{sl}_2$-тройками: они порождают подалгебру Ли, изоморфную алгебре $\mathfrak{sl}_2$ матриц размера $2\times2$ со следом $0$, соответствуя её стандартному базису из матриц \begin{align} e&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},& f&=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix},& h&=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}. \end{align}

Пример. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Для корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ можно выбрать корневые векторы $e_{\alpha}=E_{ij}$, $f_{\alpha}=E_{ji}$, и тогда $e_{\alpha}$, $f_{\alpha}$, $h_{\alpha}=E_{ii}-E_{jj}$ образуют $\mathfrak{sl}_2$-тройку, а соответствующая 3-мерная подалгебра — это копия алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, расположенная на пересечении строк и столбцов с номерами $i,j$.

Любое линейное представление $R:G\to GL(V)$ редуктивной группы можно продифференцировать, получив представление $dR:\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(V)$ её алгебры Ли, и ограничить его на 3-мерную подалгебру, заданную $\mathfrak{sl}_2$-тройкой, получая представление алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Это соображение позволяет эффективно использовать теорию представлений $\mathfrak{sl}_2$ при изучении структуры редуктивных групп и их алгебр Ли.

Например, поскольку элемент $h$ в любом линейном представлении $\mathfrak{sl}_2$ действует диагонализуемо с целыми собственными значениями, то $$ \langle\lambda|\alpha\rangle:=d\lambda(h_{\alpha})\in\mathbb{Z},\qquad\forall\lambda\in\mathfrak{X}(T),\ \alpha\in\Delta. $$ Для доказательства достаточно рассмотреть точное линейное представление $R$ и заметить, что веса максимального тора $T$ в этом линейном представлении порождают решётку характеров и принимают целые значения на $h_{\alpha}$. Число $\langle\lambda|\alpha\rangle$ называется числом (или скобкой) Картана пары $\lambda,\alpha$; чаще всего рассматриваются числа Картана пар корней.

Рассмотрим в пространстве $\mathfrak{t}$ вещественное подпространство $$ \mathfrak{t}(\mathbb{R})=\{Z\in\mathfrak{t}\mid d\lambda(Z)\in\mathbb{R},\ \forall\lambda\in\mathfrak{X}(T)\}. $$ Оно состоит из векторов с вещественными координатами в естественной системе координат, задаваемой базисом решётки характеров. Пространство $\mathfrak{t}$ является комплексификацией пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$. Инвариантное скалярное умножение принимает на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ вещественные значения и положительно определено. Заметим, что $h_{\alpha}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, $\forall\alpha\in\Delta$.

Двойственным образом, в пространстве $\mathfrak{t}^*$ можно рассмотреть вещественное подпространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, порождённое дифференциалами характеров тора $T$. Инвариантное скалярное умножение позволяет отождествить $\mathfrak{t}$ с $\mathfrak{t}^*$, а $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ с $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, и переносится в $\mathfrak{t}^*$. Таким образом, $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ превращается в евклидово пространство, а характеры тора (отождествляемые с их дифференциалами) образуют в нём решётку максимального ранга.

При отождествлении $\mathfrak{t}$ с $\mathfrak{t}^*$ элементу $h_{\alpha}$ соответствует вектор $$\alpha^{\vee}=\frac{2\alpha}{(\alpha,\alpha)},$$ называемый дуальным корнем. Числа Картана можно переписать в виде $$ \langle\lambda|\alpha\rangle=(\lambda,\alpha^{\vee})=2\frac{(\lambda,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}. $$ В предыдущем примере $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ — ортонормированный базис пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, поэтому $(\alpha,\alpha)=2$ для любого $\alpha\in\Delta$, и $\alpha^{\vee}=\alpha$.

Лемма 1. Для любых двух корней $\alpha,\beta\in\Delta$ пара чисел Картана $\langle\alpha|\beta\rangle$ и $\langle\beta|\alpha\rangle$ может принимать лишь следующие значения, с точностью до перестановки: $$ (0,0),\quad(\pm1,\pm1),\quad(\pm2,\pm1),\quad(\pm3,\pm1),\quad(\pm2,\pm2) $$ (знаки согласованы), причём в первом случае $\alpha\perp\beta$, а в последнем $\alpha=\pm\beta$.

Для доказательства нужно заметить, что $|\,\langle\alpha|\beta\rangle\cdot\langle\beta|\alpha\rangle\,|\le4$ по неравенству Коши–Буняковского, и воспользоваться целочисленностью скобки Картана и отстутствием пропорциональных корней, кроме противоположных друг другу.

Ещё одно применение теории представлений $\mathfrak{sl}_2$ — описание структуры $\alpha$-серии корней, т.е. множества корней вида $\gamma=k\alpha+\beta$ ($k\in\mathbb{Z}$, где $\alpha,\beta$ — фиксированные корни, не пропорциональные друг другу.

Лемма 2. Любая $\alpha$-серия корней образует "связный отрезок" $-p\le k\le q$, где $p,q$ — некоторые неотрицательные целые числа.

Доказательство основано на том, что сумма корневых подпространств $\mathfrak{g}_{\gamma}$ по всем $\gamma$ из $\alpha$-серии инвариантна относительно присоединённого действия подалгебры Ли $\langle e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}\rangle\simeq\mathfrak{sl}_2$, причём $h_{\alpha}$ действует с весами $\langle\gamma|\alpha\rangle$, которые (согласно теории представлений $\mathfrak{sl}_2$) должны быть расположены симметрично относительно $0$ с интервалом не более $2$. На самом деле, это представление даже неприводимо, поскольку веса однократны и идут с интервалом $2$.

Следствие (доказательства). Если $\alpha,\beta$ расположены друг к другу под острым (тупым) углом, то $\alpha-\beta\in\Delta$ ($\alpha+\beta\in\Delta$, соответственно).


Задачи

Задача 16.1. а) В обозначениях леммы 2, $p-q=\langle\beta|\alpha\rangle$.
б) Длина любой $\alpha$-серии корней не превосходит 4.