3 марта 2017 г. | ||
Тема 17 Положительные и простые корни. Камеры Вейля. Сохраняя обозначения предыдущих семинаров, мы рассматриваем систему корней $\Delta$ в евклидовом пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$. Выберем в $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ произвольную гиперплоскость $H$, проходящую через начало координат и не содержащую корней. Она разбивает пространство на два (открытых) полупространства $H^{\pm}$. Возникает разбиение $\Delta=\Delta^+\sqcup\Delta^-$ системы корней на подмножества $\Delta^{\pm}=\Delta\cap H^{\pm}$ положительных и отрицательных корней. Отметим, что $\Delta^-=-\Delta^+$. Положительные корни, не представимые в виде суммы нескольких положительных корней, называются простыми; их множество обозначим $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_{l}\}$. Всякий положительный корень представляется в виде суммы нескольких простых корней. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в полупространстве $H^+$ вектор $\gamma$ нормали к гиперплоскости $H$. Тогда каждому корню $\alpha\in\Delta^+$ можно сопоставить его высоту $(\gamma,\alpha)>0$. При разложении $\alpha$ в сумму нескольких положительных корней высоты слагаемых будут меньше высоты $\alpha$, и рано или поздно процесс должен будет остановиться на разложении в сумму простых корней. Свойства простых корней:
Геометрию взаимного расположения простых корней кодирует схема Дынкина — граф, вершины которого нумеруются простыми корнями, а рёбра (возможно, кратные и с направлением) рисуются по следующему правилу:
Схема Дынкина связна тогда и только тогда, когда система простых корней $\Pi$ неразложима (см. также задачу 17.3). В этом случае схема Дынкина определяет множество векторов $\Pi$ в евклидовом пространстве однозначно с точностью до подобия. Если $C$ — камера Вейля, и $\gamma\in C$, то гиперплоскость $H\ni0$, ортогональная к $\gamma$, не содержит корней и задаёт разбиение корней на положительные и отрицательные, а значит, и множество простых корней. Множества $\Delta^{\pm}$ и $\Pi$ не зависят от выбора $\gamma\in C$, а лишь от самой камеры $C$. Обратно, камера Вейля восстанавливается по положительным или простым корням как $$ C=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\gamma,\alpha)>0,\ \forall\alpha\in\Delta^+\} =\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\gamma,\alpha_i)>0,\ i=1,\dots,l\}. $$ Из последней формулы видно, что любая камера Вейля является косимплициальным конусом, т.е. задаётся линейно независимым набором линейных неравенств. Пример. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Для корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ гиперплоскость $H_{\alpha}$ задаётся уравнением $x_i=x_j$, где $x_1,\dots,x_n$ — координаты в базисе $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$. Каждая камера Вейля $C$ задаётся набором неравенств $$x_{i_1}>x_{i_2}>\dots>x_{i_n},$$ где $(i_1,\dots i_n)$ — некоторая перестановка номеров $1,\dots,n$. Возьмем, к примеру, тривиальную перестановку $(1,\dots,n)$. Тогда положительными (относительно выбранной камеры $C$) корнями являются $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ при $i< j$, а простыми корнями — $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$ ($i=1,\dots,n-1$). На схеме Дынкина корни $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ последовательно соединены однократными ненаправленными рёбрами в цепочку. Такая схема обозначается символом $\mathsf{A}_{n-1}$.
Задача 17.1.
Пусть $v_1,\dots,v_k$ — система ненулевых векторов евклидова пространства $E$, расположенных друг к другу под неострыми углами.
Задача 17.2.
а) Для любого $\alpha\in\Delta^+$ существует $\alpha_i\in\Pi$, расположенный к $\alpha$ под острым углом.
Задача 17.3. Система корней $\Delta$ неразложима тогда и только тогда, когда подсистема простых корней $\Pi$ неразложима. Задача 17.4. Найти камеры Вейля и (для одной из них) положительные и простые корни, а также схему Дынкина для системы корней группы а) $SO_{2n}$ б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$. |