предыдущий семинар 3 марта 2017 г. следующий семинар

Тема 17

Положительные и простые корни. Камеры Вейля.

Сохраняя обозначения предыдущих семинаров, мы рассматриваем систему корней $\Delta$ в евклидовом пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$.

Выберем в $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ произвольную гиперплоскость $H$, проходящую через начало координат и не содержащую корней. Она разбивает пространство на два (открытых) полупространства $H^{\pm}$. Возникает разбиение $\Delta=\Delta^+\sqcup\Delta^-$ системы корней на подмножества $\Delta^{\pm}=\Delta\cap H^{\pm}$ положительных и отрицательных корней. Отметим, что $\Delta^-=-\Delta^+$.

Положительные корни, не представимые в виде суммы нескольких положительных корней, называются простыми; их множество обозначим $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_{l}\}$. Всякий положительный корень представляется в виде суммы нескольких простых корней. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в полупространстве $H^+$ вектор $\gamma$ нормали к гиперплоскости $H$. Тогда каждому корню $\alpha\in\Delta^+$ можно сопоставить его высоту $(\gamma,\alpha)>0$. При разложении $\alpha$ в сумму нескольких положительных корней высоты слагаемых будут меньше высоты $\alpha$, и рано или поздно процесс должен будет остановиться на разложении в сумму простых корней.

Свойства простых корней:

  1. Любые два простых корня $\alpha_i,\alpha_j$ расположены друг к другу под неострым углом.
В противном случае, по следствию леммы 2 из прошлого семинара $\alpha_i-\alpha_j$ или $\alpha_j-\alpha_i$ был бы положительным корнем, что противоречило бы простоте $\alpha_i$ или $\alpha_j$, соответственно.
  1. Множество $\Pi$ линейно независимо.
Это следует из задачи 17.1 а).
  1. Для любого корня $\alpha\in\Delta$ существует единственное разложение $\alpha=k_1\alpha_1+\dots+k_l\alpha_l$, причём все коэффициенты $k_i$ целые одного знака.

Геометрию взаимного расположения простых корней кодирует схема Дынкина — граф, вершины которого нумеруются простыми корнями, а рёбра (возможно, кратные и с направлением) рисуются по следующему правилу:

    если $\langle\alpha_i|\alpha_j\rangle\ne0$, то соответствующие вершины соединяются ребром, кратность которого равна наибольшему из модулей чисел Картана $\langle\alpha_i|\alpha_j\rangle$ и $\langle\alpha_j|\alpha_i\rangle$, а направление — от более длинного корня к более короткому.
Другими словами, если $|\langle\alpha_i|\alpha_j\rangle|=d\ge|\langle\alpha_j|\alpha_i\rangle|=1$, то $\alpha_i$ с $\alpha_j$ соединяются ребром кратности $d$, направленным к $\alpha_j$ в случае $d>1$.

Схема Дынкина связна тогда и только тогда, когда система простых корней $\Pi$ неразложима (см. также задачу 17.3). В этом случае схема Дынкина определяет множество векторов $\Pi$ в евклидовом пространстве однозначно с точностью до подобия.

Гиперплоскости $H_{\alpha}$, проходящие через начало координат и ортогональные корням $\alpha\in\Delta$, разбивают пространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ на связные области (т.е. компоненты связности дополнения $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\setminus\bigcup_{\alpha\in\Delta}H_{\alpha}$), называемые (открытыми) камерами Вейля.

Если $C$ — камера Вейля, и $\gamma\in C$, то гиперплоскость $H\ni0$, ортогональная к $\gamma$, не содержит корней и задаёт разбиение корней на положительные и отрицательные, а значит, и множество простых корней. Множества $\Delta^{\pm}$ и $\Pi$ не зависят от выбора $\gamma\in C$, а лишь от самой камеры $C$. Обратно, камера Вейля восстанавливается по положительным или простым корням как $$ C=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\gamma,\alpha)>0,\ \forall\alpha\in\Delta^+\} =\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\gamma,\alpha_i)>0,\ i=1,\dots,l\}. $$ Из последней формулы видно, что любая камера Вейля является косимплициальным конусом, т.е. задаётся линейно независимым набором линейных неравенств.

Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие: $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{камеры}\\ \text{Вейля} \end{array} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{системы}\\ \text{положительных}\\ \text{корней} \end{array} \right\} \longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{системы}\\ \text{простых}\\ \text{корней} \end{array} \right\} $$

Пример. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Для корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ гиперплоскость $H_{\alpha}$ задаётся уравнением $x_i=x_j$, где $x_1,\dots,x_n$ — координаты в базисе $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$. Каждая камера Вейля $C$ задаётся набором неравенств $$x_{i_1}>x_{i_2}>\dots>x_{i_n},$$ где $(i_1,\dots i_n)$ — некоторая перестановка номеров $1,\dots,n$.

Возьмем, к примеру, тривиальную перестановку $(1,\dots,n)$. Тогда положительными (относительно выбранной камеры $C$) корнями являются $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ при $i< j$, а простыми корнями — $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$ ($i=1,\dots,n-1$). На схеме Дынкина корни $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ последовательно соединены однократными ненаправленными рёбрами в цепочку. Такая схема обозначается символом $\mathsf{A}_{n-1}$.


Задачи

Задача 17.1. Пусть $v_1,\dots,v_k$ — система ненулевых векторов евклидова пространства $E$, расположенных друг к другу под неострыми углами.

а) Если $v_1,\dots,v_k$ лежат в некотором открытом полупространстве $E^+\subset E$, то они линейно независимы.

б) Если систему $\{v_1,\dots,v_k\}$ нельзя разложить в объединение ортогональных друг другу подсистем (такие системы векторов будем называть неразложимыми), то между векторами $v_1,\dots,v_k$ существует не более одной линейной зависимости (с точностью до пропорциональности), причём все коэффициенты в ней ненулевые и одного знака.

Задача 17.2. а) Для любого $\alpha\in\Delta^+$ существует $\alpha_i\in\Pi$, расположенный к $\alpha$ под острым углом.

б) Разложение положительного корня $\alpha$ в сумму простых корней можно записать в виде $$\alpha=\alpha_{i_1}+\dots+\alpha_{i_n}$$ так, что $\alpha_{i_1}+\dots+\alpha_{i_k}\in\Delta$, $\forall k\le n$.

Задача 17.3. Система корней $\Delta$ неразложима тогда и только тогда, когда подсистема простых корней $\Pi$ неразложима.

Задача 17.4. Найти камеры Вейля и (для одной из них) положительные и простые корни, а также схему Дынкина для системы корней группы а) $SO_{2n}$ б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$.