Нормализатор $N_G(T)$ максимального тора $T\subset G$ действует на $T$ сопряжениями. Это действие индуцирует действия $N_G(T)$ на $\mathfrak{t}$ и $\mathfrak{t}^*$, сохраняющие $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, и $\mathfrak{X}(T)$. Ядро неэффективности этих действий — централизатор $Z_G(T)$. Можно доказать, что $Z_G(T)=T$ (по крайней мере, на уровне алгебр Ли это вытекает из корневого разложения).

Определение. Факторгруппа $W=N_G(T)/Z_G(T)$ называется группой Вейля редуктивной группы $G$ относительно максимального тора $T$.

Если $n\in N_G(T)$, и $w\in W$ — соответствующий элемент группы Вейля, то легко видеть, что $$ \operatorname{Ad}(n)\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathfrak{g}_{w\alpha}. $$ Следовательно, $W$ можно рассматривать как подгруппу в ортогональной группе $O(\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*)$, сохраняющую решётку $\mathfrak{X}(T)$ и множество корней $\Delta$.

Пример 1. Для группы $G=GL_n$ или $SL_n$ максимальный тор $T$ состоит из всех диагональных матриц в $G$, а его нормализатор $N_G(T)$ — из всех мономиальных матриц, действующих на $\mathbb{C}^n$ перестановками координатных прямых. Группа Вейля $W\simeq S_n$ — симметрическая группа. Она действует на $T$ перестановками диагональных элементов матрицы, а на решётке $\mathfrak{X}(T)$ — перестановками порождающих элементов $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$.

В частности, для $G=SL_2$ получаем, что $W$ — циклическая группа порядка 2, порождённая элементом $r$, соответствующим элементу $$ n\in \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in N_G(T), $$ который действует на $T$ инверсией, а на $\mathfrak{t},\mathfrak{t}^*,\mathfrak{t}(\mathbb{R}),\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*,\mathfrak{X}(T)$ — умножением на $-1$.

С каждым корнем $\alpha\in\Delta$ связана 3-мерная подалгебра Ли $\langle e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}\rangle\simeq\mathfrak{sl}_2$ в $\mathfrak{g}$. Это вложение $\mathfrak{sl}_2\hookrightarrow\mathfrak{g}$ определяет гомоморфизм $\varphi_{\alpha}:SL_2\to G$ (не обязательно инъективный, но с конечным ядром). Положим $n_{\alpha}=\varphi_{\alpha}(n)$.

Свойства:

$\operatorname{Ad}(n_{\alpha})h_{\alpha}=-h_{\alpha}$;
$\operatorname{Ad}(n_{\alpha})=\mathrm{id}$ на $\operatorname{Ker}(d\alpha)$;
$n_{\alpha}\in N_G(T)$, и соответствующий элемент $r_{\alpha}\in W$ — ортогональное отражение вдоль корня $\alpha$.

Первое свойство вытекает из соответствующего свойства для $n$ в $SL_2$, второе — из того, что $\mathfrak{sl}_2$-тройка $e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}$, а значит, и группа $\varphi_{\alpha}(SL_2)$ коммутирует с $\operatorname{Ker}(d\alpha)$. Ну а третье свойство сразу следует из двух первых.

Теорема.

Группа $W$ порождается корневыми отражениями $r_{\alpha}$ по всем $\alpha\in\Delta$ и даже отражениями $r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}$ вдоль простых корней (относительно фиксированного выбора системы положительных корней).
$\Delta=W\Pi$.
$W$ действует на множестве камер Вейля (или систем простых корней) просто транзитивно.

Замыкание $\overline{C}$ фиксированной камеры Вейля есть фундаментальная область для действия $W$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ (т.е. каждая $W$-орбита пересекает $\overline{C}$ в единственной точке).

Пример 2. Для $G=GL_n$ отражение вдоль корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ в группе Вейля $W\simeq S_n$ соответствует транспозиции номеров $i,j$ в симметрической группе. Как известно, симметрическая группа порождается транспозициями, и даже транспозициями соседних номеров, соответствующими простым корням. Корень $\alpha$ получается из простого корня $\alpha_k=\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1}$ подходящей перестановкой $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$. Камеры Вейля задаются неравенствами вида $x_{i_1}>x_{i_2}>\dots>x_{i_n}$, и группа перестановок координат действует на их множестве просто транзитивно. Наконец, замыкание одной из камер Вейля задаётся неравенствами $x_1\ge x_2\ge \dots\ge x_n$, и любая орбита симметрической группы пересекает его в единственной точке.

Доказательство. 1) Тот факт, что $W$ порождается корневыми отражениями, мы оставим без доказательства (для него нужно глубже изучить структуру редуктивных групп). В теории абстрактных систем корней это свойство принимается за определение группы Вейля.

2) $W$ действует на множестве камер Вейля транзитивно.

Для доказательства соединим точку $\gamma$ из фиксированной камеры Вейля $C$ с точкой $\gamma'$ из другой камеры Вейля $C'$ гладкой кривой $\Gamma$, которую при необходимости можно пошевелить так, чтобы она не проходила через грани камер коразмерности $>1$ и пересекала грани коразмерности $1$ (стенки камер) трансверсально конечное число раз. При движении по кривой $\Gamma$ переход через стенку камеры ведёт в соседнюю камеру Вейля, которая получается из предыдущей отражением относительно этой стенки. Таким образом, мы попадаем из $C$ в $C'$ по цепочке переходов в соседние камеры, т.е. с помощью элемента группы $W$, равного произведению соответствующих корневых отражений.

3) $\Delta=W\Pi$.

В самом деле, для всякого корня $\alpha\in\Delta$ ортогональная ему гиперплоскость $H_{\alpha}$ служит стенкой некоторой камеры Вейля $C'$. При этом можно считать $\alpha$ лежащим по ту же сторону от $H_{\alpha}$, что и $C'$ (заменив при необходимости $C'$ на $-C'$), т.е. принадлежащим соответствующей системе простых корней $\Pi'$. Для некоторого $w\in W$ имеем $C'=wC$, $\Pi'=w\Pi$ (где камера $C$ соответствует системе простых корней $\Pi$), а значит, $\alpha=w\alpha_i$ для некоторого $\alpha_i\in\Pi$.

4) $W=\langle r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}\rangle$.

Обозначим временно группу, порождённую отражениями вдоль простых корней, через $W_{\Pi}$. Достаточно доказать, что $r_{\alpha}\in W_{\Pi}$, $\forall\alpha\in\Delta$.

Как и в предыдущем пункте, можно считать, что $\alpha\in\Pi'$, где $\Pi'$ — другая система простых корней, соответствующая камере $C'$. Построим элемент $w\in W$, переводящий $C$ в $C'$ по цепочке переходов в соседние камеры Вейля, как в пункте 2), и покажем индукцией по длине цепочки, что $w\in W_{\Pi}$. Из этого будет следовать, что $\alpha=w\alpha_i$ для некоторого $\alpha_i\in\Pi$, и тогда $r_{\alpha}=wr_{\alpha_i}w^{-1}\in W_{\Pi}$, что и требуется доказать.

Предположим, что камера $C'$ получается на последнем шаге из камеры $C''$ отражением относительно её стенки $H_{\beta}$. По предположению индукции, $w=r_{\beta}w'$, $w'\in W_{\Pi}$, $C''=w'C$. Но тогда $\beta\in w'\Pi$, откуда, как и выше, $r_{\beta}\in W_{\Pi}$, а значит, и $w\in W_{\Pi}$.

5) Любой элемент $w\in W$ получается конструкцией из пункта 2).

В самом деле: \begin{multline} w=r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_n}}=w_{n-1}^{\strut}r_{\alpha_{i_n}}w_{n-1}^{-1}\cdot \underbrace{r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_{n-1}}}}_{\textstyle w_{n-1}}=\dots\\= \underbrace{w_{n-1}^{\strut}r_{\alpha_{i_n}}w_{n-1}^{-1}}_{\textstyle r_n}\cdot \underbrace{w_{n-2}^{\strut}r_{\alpha_{i_{n-1}}}w_{n-2}^{-1}}_{\textstyle r_{n-1}}\cdot\dots\cdot \underbrace{w_1^{\strut}r_{\alpha_{i_2}}w_1^{-1}}_{\textstyle r_2}\cdot\underbrace{r_{\alpha_{i_1}}}_{\textstyle r_1}, \end{multline} где $w_k=r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_k}}=r_k\cdots r_1$, и каждое $r_k$ — отражение относительно стенки камеры $w_{k-1}C$.

6) $wC=C\implies w=\mathrm{id}$.

Воспользовавшись предыдущим пунктом и положив в пункте 2) $C'=C$, $\gamma'=\gamma$, получим петлю $\Gamma$ в точке $\gamma$, задающую элемент $w$ в том смысле, что каждому переходу кривой $\Gamma$ через стенку камеры Вейля отвечает корневое отражение $r_k$ в разложении $w$. Стянем эту петлю в точку $\gamma$. При этом можно считать, что все кривые $\Gamma_t$ в процессе деформации гладки, не задевают граней камер Вейля коразмерности $>2$, пересекают грани коразмерности $2$ трансверсально, а грани коразмерности $1$ — трансверсально или по касательной (не переходя в соседнюю камеру) конечное число раз. Построим по каждой петле $\Gamma_t$ элемент $w_t\in W$ и проследим за его изменением в процессе деформации.

Элемент $w_t$ не будет меняться, пока кривая $\Gamma_t$ не пройдёт через точку касания с гранью коразмерности 1 или пересечения с гранью коразмерности 2. В первом случае до (или после) момента касания $\Gamma_t$ пересекала грань дважды, а после (или до) — ни разу в окрестности точки касания. Поэтому $w_t$ изменится от $w'r^2w''$ к $w'w''$ (или наоборот), где $r$ — отражение относительно этой грани, т.е. останется прежним.

Во втором случае можно локально спроектировать деформацию на нормальную плоскость к грани коразмерности 2 в точке пересечения и увидеть, что до пересечения кривая $\Gamma_t$ обходила эту точку с одной стороны, а после — с другой стороны. Поэтому $w_t$ изменится от $w'r_1r_2\cdots r_mw''$ к $w'r_mr_{m-1}\cdots r_1w''$, где $r_1,\dots,r_m$ — отражения относительно всех гиперплоскостей $H_{\alpha}$, содержащих данную грань коразмерности 2, в определённом порядке обхода вокруг грани (т.е. ровно половина отражений относительно стенок камер, примыкающих к этой грани). Поскольку $(r_1r_2\cdots r_m)^2=\mathrm{id}$ (полный оборот вокруг грани), $w_t$ снова не изменится.

На конечных стадиях деформации $\Gamma_t\subset C\implies w_t=\mathrm{id}\implies w=\mathrm{id}$.

7) $\gamma=w\gamma'\in\overline{C},\ \gamma'\in\overline{C},\ w\in W\implies\gamma=\gamma'$.

В самом деле, $\gamma\in\overline{C}\cap w\overline{C}$. Построим по $w$ путь из $C$ в $C'=wC$ в соответствии с пунктом 5) и продолжим его до петли в точке $\gamma$. Стянув эту петлю в точку, как в пункте 6) (можно добиться выполнения тех же условий на точки пересечения с гранями, кроме самой точки $\gamma$), мы получим, что на конечных стадиях деформации элемент $w_t$ разлагается в произведение отражений лишь относительно гиперплоскостей $H_{\alpha}$, содержащих $\gamma$. Отсюда $w\gamma=\gamma\implies\gamma=w^{-1}\gamma=\gamma'$.

предыдущий семинар	10 марта 2017 г.	следующий семинар
Тема 18 Группа Вейля Нормализатор $N_G(T)$ максимального тора $T\subset G$ действует на $T$ сопряжениями. Это действие индуцирует действия $N_G(T)$ на $\mathfrak{t}$ и $\mathfrak{t}^$, сохраняющие $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$, и $\mathfrak{X}(T)$. Ядро неэффективности этих действий — централизатор $Z_G(T)$. Можно доказать, что $Z_G(T)=T$ (по крайней мере, на уровне алгебр Ли это вытекает из корневого разложения). Определение. Факторгруппа $W=N_G(T)/Z_G(T)$ называется группой Вейля редуктивной группы $G$ относительно максимального тора $T$. Если $n\in N_G(T)$, и $w\in W$ — соответствующий элемент группы Вейля, то легко видеть, что $$ \operatorname{Ad}(n)\mathfrak{g}_{\alpha}=\mathfrak{g}_{w\alpha}. $$ Следовательно, $W$ можно рассматривать как подгруппу в ортогональной группе $O(\mathfrak{t}(\mathbb{R})^)$, сохраняющую решётку $\mathfrak{X}(T)$ и множество корней $\Delta$. Пример 1. Для группы $G=GL_n$ или $SL_n$ максимальный тор $T$ состоит из всех диагональных матриц в $G$, а его нормализатор $N_G(T)$ — из всех мономиальных матриц, действующих на $\mathbb{C}^n$ перестановками координатных прямых. Группа Вейля $W\simeq S_n$ — симметрическая группа. Она действует на $T$ перестановками диагональных элементов матрицы, а на решётке $\mathfrak{X}(T)$ — перестановками порождающих элементов $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$. В частности, для $G=SL_2$ получаем, что $W$ — циклическая группа порядка 2, порождённая элементом $r$, соответствующим элементу $$ n\in \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in N_G(T), $$ который действует на $T$ инверсией, а на $\mathfrak{t},\mathfrak{t}^,\mathfrak{t}(\mathbb{R}),\mathfrak{t}(\mathbb{R})^,\mathfrak{X}(T)$ — умножением на $-1$. С каждым корнем $\alpha\in\Delta$ связана 3-мерная подалгебра Ли $\langle e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}\rangle\simeq\mathfrak{sl}_2$ в $\mathfrak{g}$. Это вложение $\mathfrak{sl}_2\hookrightarrow\mathfrak{g}$ определяет гомоморфизм $\varphi_{\alpha}:SL_2\to G$ (не обязательно инъективный, но с конечным ядром). Положим $n_{\alpha}=\varphi_{\alpha}(n)$. Свойства: $\operatorname{Ad}(n_{\alpha})h_{\alpha}=-h_{\alpha}$; $\operatorname{Ad}(n_{\alpha})=\mathrm{id}$ на $\operatorname{Ker}(d\alpha)$; $n_{\alpha}\in N_G(T)$, и соответствующий элемент $r_{\alpha}\in W$ — ортогональное отражение вдоль корня $\alpha$. Первое свойство вытекает из соответствующего свойства для $n$ в $SL_2$, второе — из того, что $\mathfrak{sl}_2$-тройка $e_{\alpha},f_{\alpha},h_{\alpha}$, а значит, и группа $\varphi_{\alpha}(SL_2)$ коммутирует с $\operatorname{Ker}(d\alpha)$. Ну а третье свойство сразу следует из двух первых. Теорема. Группа $W$ порождается корневыми отражениями $r_{\alpha}$ по всем $\alpha\in\Delta$ и даже отражениями $r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}$ вдоль простых корней (относительно фиксированного выбора системы положительных корней). $\Delta=W\Pi$. $W$ действует на множестве камер Вейля (или систем простых корней) просто транзитивно. Замыкание $\overline{C}$ фиксированной камеры Вейля есть фундаментальная область* для действия $W$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ (т.е. каждая $W$-орбита пересекает $\overline{C}$ в единственной точке). Пример 2. Для $G=GL_n$ отражение вдоль корня $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ в группе Вейля $W\simeq S_n$ соответствует транспозиции номеров $i,j$ в симметрической группе. Как известно, симметрическая группа порождается транспозициями, и даже транспозициями соседних номеров, соответствующими простым корням. Корень $\alpha$ получается из простого корня $\alpha_k=\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1}$ подходящей перестановкой $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$. Камеры Вейля задаются неравенствами вида $x_{i_1}>x_{i_2}>\dots>x_{i_n}$, и группа перестановок координат действует на их множестве просто транзитивно. Наконец, замыкание одной из камер Вейля задаётся неравенствами $x_1\ge x_2\ge \dots\ge x_n$, и любая орбита симметрической группы пересекает его в единственной точке. Доказательство.* 1) Тот факт, что $W$ порождается корневыми отражениями, мы оставим без доказательства (для него нужно глубже изучить структуру редуктивных групп). В теории абстрактных систем корней это свойство принимается за определение группы Вейля. 2) $W$ действует на множестве камер Вейля транзитивно. Для доказательства соединим точку $\gamma$ из фиксированной камеры Вейля $C$ с точкой $\gamma'$ из другой камеры Вейля $C'$ гладкой кривой $\Gamma$, которую при необходимости можно пошевелить так, чтобы она не проходила через грани камер коразмерности $>1$ и пересекала грани коразмерности $1$ (стенки камер) трансверсально конечное число раз. При движении по кривой $\Gamma$ переход через стенку камеры ведёт в соседнюю камеру Вейля, которая получается из предыдущей отражением относительно этой стенки. Таким образом, мы попадаем из $C$ в $C'$ по цепочке переходов в соседние камеры, т.е. с помощью элемента группы $W$, равного произведению соответствующих корневых отражений. 3) $\Delta=W\Pi$. В самом деле, для всякого корня $\alpha\in\Delta$ ортогональная ему гиперплоскость $H_{\alpha}$ служит стенкой некоторой камеры Вейля $C'$. При этом можно считать $\alpha$ лежащим по ту же сторону от $H_{\alpha}$, что и $C'$ (заменив при необходимости $C'$ на $-C'$), т.е. принадлежащим соответствующей системе простых корней $\Pi'$. Для некоторого $w\in W$ имеем $C'=wC$, $\Pi'=w\Pi$ (где камера $C$ соответствует системе простых корней $\Pi$), а значит, $\alpha=w\alpha_i$ для некоторого $\alpha_i\in\Pi$. 4) $W=\langle r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}\rangle$. Обозначим временно группу, порождённую отражениями вдоль простых корней, через $W_{\Pi}$. Достаточно доказать, что $r_{\alpha}\in W_{\Pi}$, $\forall\alpha\in\Delta$. Как и в предыдущем пункте, можно считать, что $\alpha\in\Pi'$, где $\Pi'$ — другая система простых корней, соответствующая камере $C'$. Построим элемент $w\in W$, переводящий $C$ в $C'$ по цепочке переходов в соседние камеры Вейля, как в пункте 2), и покажем индукцией по длине цепочки, что $w\in W_{\Pi}$. Из этого будет следовать, что $\alpha=w\alpha_i$ для некоторого $\alpha_i\in\Pi$, и тогда $r_{\alpha}=wr_{\alpha_i}w^{-1}\in W_{\Pi}$, что и требуется доказать. Предположим, что камера $C'$ получается на последнем шаге из камеры $C''$ отражением относительно её стенки $H_{\beta}$. По предположению индукции, $w=r_{\beta}w'$, $w'\in W_{\Pi}$, $C''=w'C$. Но тогда $\beta\in w'\Pi$, откуда, как и выше, $r_{\beta}\in W_{\Pi}$, а значит, и $w\in W_{\Pi}$. 5) Любой элемент $w\in W$ получается конструкцией из пункта 2). В самом деле: \begin{multline} w=r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_n}}=w_{n-1}^{\strut}r_{\alpha_{i_n}}w_{n-1}^{-1}\cdot \underbrace{r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_{n-1}}}}_{\textstyle w_{n-1}}=\dots\\= \underbrace{w_{n-1}^{\strut}r_{\alpha_{i_n}}w_{n-1}^{-1}}_{\textstyle r_n}\cdot \underbrace{w_{n-2}^{\strut}r_{\alpha_{i_{n-1}}}w_{n-2}^{-1}}_{\textstyle r_{n-1}}\cdot\dots\cdot \underbrace{w_1^{\strut}r_{\alpha_{i_2}}w_1^{-1}}_{\textstyle r_2}\cdot\underbrace{r_{\alpha_{i_1}}}_{\textstyle r_1}, \end{multline} где $w_k=r_{\alpha_{i_1}}\cdots r_{\alpha_{i_k}}=r_k\cdots r_1$, и каждое $r_k$ — отражение относительно стенки камеры $w_{k-1}C$. 6) $wC=C\implies w=\mathrm{id}$. Воспользовавшись предыдущим пунктом и положив в пункте 2) $C'=C$, $\gamma'=\gamma$, получим петлю $\Gamma$ в точке $\gamma$, задающую элемент $w$ в том смысле, что каждому переходу кривой $\Gamma$ через стенку камеры Вейля отвечает корневое отражение $r_k$ в разложении $w$. Стянем эту петлю в точку $\gamma$. При этом можно считать, что все кривые $\Gamma_t$ в процессе деформации гладки, не задевают граней камер Вейля коразмерности $>2$, пересекают грани коразмерности $2$ трансверсально, а грани коразмерности $1$ — трансверсально или по касательной (не переходя в соседнюю камеру) конечное число раз. Построим по каждой петле $\Gamma_t$ элемент $w_t\in W$ и проследим за его изменением в процессе деформации. Элемент $w_t$ не будет меняться, пока кривая $\Gamma_t$ не пройдёт через точку касания с гранью коразмерности 1 или пересечения с гранью коразмерности 2. В первом случае до (или после) момента касания $\Gamma_t$ пересекала грань дважды, а после (или до) — ни разу в окрестности точки касания. Поэтому $w_t$ изменится от $w'r^2w''$ к $w'w''$ (или наоборот), где $r$ — отражение относительно этой грани, т.е. останется прежним. Во втором случае можно локально спроектировать деформацию на нормальную плоскость к грани коразмерности 2 в точке пересечения и увидеть, что до пересечения кривая $\Gamma_t$ обходила эту точку с одной стороны, а после — с другой стороны. Поэтому $w_t$ изменится от $w'r_1r_2\cdots r_mw''$ к $w'r_mr_{m-1}\cdots r_1w''$, где $r_1,\dots,r_m$ — отражения относительно всех гиперплоскостей $H_{\alpha}$, содержащих данную грань коразмерности 2, в определённом порядке обхода вокруг грани (т.е. ровно половина отражений относительно стенок камер, примыкающих к этой грани). Поскольку $(r_1r_2\cdots r_m)^2=\mathrm{id}$ (полный оборот вокруг грани), $w_t$ снова не изменится. На конечных стадиях деформации $\Gamma_t\subset C\implies w_t=\mathrm{id}\implies w=\mathrm{id}$. 7) $\gamma=w\gamma'\in\overline{C},\ \gamma'\in\overline{C},\ w\in W\implies\gamma=\gamma'$. В самом деле, $\gamma\in\overline{C}\cap w\overline{C}$. Построим по $w$ путь из $C$ в $C'=wC$ в соответствии с пунктом 5) и продолжим его до петли в точке $\gamma$. Стянув эту петлю в точку, как в пункте 6) (можно добиться выполнения тех же условий на точки пересечения с гранями, кроме самой точки $\gamma$), мы получим, что на конечных стадиях деформации элемент $w_t$ разлагается в произведение отражений лишь относительно гиперплоскостей $H_{\alpha}$, содержащих $\gamma$. Отсюда $w\gamma=\gamma\implies\gamma=w^{-1}\gamma=\gamma'$. Задачи Задача 18.1. Найти нормализатор максимального тора, группу Вейля и корневые отражения для группы а) $SO_{2n}$ б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$. Задача 18.2. Группа Вейля задаётся образующими $r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}$ и соотношениями $r_{\alpha_i}^2=1$ и $(r_{\alpha_i}r_{\alpha_j})^{m_{ij}}=1$, где $m_{ij}=3,4,6$ или $2$, в зависимости от того, соединены ли $\alpha_i$ и $\alpha_j$ однократным, двукратным или трёхкратным ребром, или вообще не соединены на схеме Дынкина. Задача 18.3. Пусть $\gamma\in\overline{C}$. Тогда стабилизатор $W_{\gamma}$ порождён отражениями относительно стенок камеры $C$, содержащих $\gamma$.