Пусть $\Delta$ — неразложимая система корней, и $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}\subset\Delta$ — система простых корней, соответствующая некоторой выбранной камере Вейля $C$, которую будем называть положительной камерой.

Предложение.

Существует единственный корень $\alpha_{\text{max}}\in\Delta^{+}$, для которого $\alpha_{\text{max}}+\alpha\notin\Delta$, $\forall\alpha\in\Delta^+$. Он называется старшим корнем.
$\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$.
$\alpha_{\text{max}}=m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l$, причём $m_i\in\mathbb{N}$.

Доказательство. Высота суммы положительных корней больше высот слагаемых. Поэтому корень максимальной высоты $\alpha_{\text{max}}$ обладает свойством старшего корня. При этом $(\alpha_{\text{max}},\alpha)\ge0$, $\forall\alpha\in\Delta^+$, иначе оказалось бы, что $\alpha_{\text{max}}+\alpha\in\Delta^+$. Это означает, что $\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$.

Корень $\alpha_{\text{max}}$ выражается в виде линейной комбинации простых корней с целыми неотрицательными коэффициентами $m_1,\dots,m_l$. Если среди них есть нулевые, то, в силу связности схемы Дынкина (задача 17.3), мы можем найти два соседних простых корня $\alpha_i,\alpha_j$, для которых $m_i>0$, $m_j=0$. Но тогда $(\alpha_{\text{max}},\alpha_j)\le m_i(\alpha_i,\alpha_j)<0$, что противоречит $\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$.

Если $\beta_{\text{max}}$ — другой старший корень, то $(\alpha_{\text{max}},\beta_{\text{max}})=\sum_im_i(\alpha_i,\beta_{\text{max}})>0$, поскольку все слагаемые в сумме неотрицательны в силу $\beta_{\text{max}}\in\overline{C}$ и не равны $0$ одновременно, ибо $\beta_{\text{max}}\not\perp\Delta$. Следовательно, $\alpha_{\text{max}}-\beta_{\text{max}}\in\Delta^+$ или $\beta_{\text{max}}-\alpha_{\text{max}}\in\Delta^+$, что противоречит свойству старшего корня для $\beta_{\text{max}}$ или $\alpha_{\text{max}}$ соответственно.

Замечание. Если система корней $\Delta$ разложима, то она разлагается в дизъюнктное объединение неразложимых компонент $\Delta=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_s$, и в каждой компоненте $\Delta_i$ есть свой старший корень.

Корень $\alpha_0=-\alpha_{\text{max}}$ называется младшим. Простые корни вместе с младшим корнем образуют расширенную систему простых корней $\widetilde\Pi=\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$. В ней корни расположены друг к другу под неострыми углами и (в согласии с задачей 17.1 б) связаны единственной (с точностью до пропорциональности) линейной зависимостью $$ m_0\alpha_0+m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l=0, $$ где $m_i\in\mathbb{N}$, $m_0=1$. Расширенная система простых корней кодируется расширенной схемой Дынкина по тем же правилам, по которым определяется обыкновенная схема Дынкина.

Пример 1. В системе корней группы $GL_n$ простые корни суть $\alpha_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\dots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n$, $\alpha_{\text{max}}=\varepsilon_1-\varepsilon_n$, а $\alpha_0=\varepsilon_n-\varepsilon_1$. Расширенная схема Дынкина имеет вид цикла длины $n$ с однократными рёбрами.

Определим аффинные гиперплоскости $$ H_{\alpha,k}=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\alpha,\gamma)=k\}\qquad(\alpha\in\Delta,\ k\in\mathbb{Z}), $$ параллельные линейным гиперплоскостям $H_{\alpha}=H_{\alpha,0}$. Они разбивают пространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ на связные области (компоненты связности дополнения к объединению гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$), называемые (открытыми) альковами. Среди них выделяется фундаментальный альков $$ A=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*\mid(\alpha_0,\gamma)>-1,\ (\alpha_i,\gamma)>0,\ i=1,\dots,l\}. $$ Это действительно альков, поскольку никакая гиперплоскость $H_{\alpha,k}$ его не пересекает: считая без ограничения общности $\alpha\in\Delta^-$, имеем $0>(\alpha,\gamma)\ge(\alpha_0,\gamma)>-1$, $\forall\gamma\in A$, т.е. $(\alpha,\gamma)\notin\mathbb{Z}$.

Альковы суть аффинные аналоги камер Вейля. Аналогом группы Вейля является аффинная группа Вейля, определяемая следующим образом.

Рассмотрим в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ решётку корней $Q$, порождённую множеством корней $\Delta$; её базисом служит множество простых корней $\Pi$. Также рассмотрим решётку дуальных корней (или кокорней) $Q^{\vee}$, порождённую множеством дуальных корней $\Delta^{\vee}$. Это действительно решётка, поскольку она содержится в решётке ковесов $P^{\vee}$, двойственной к решётке корней (т.е. состоящей из векторов, лежащих в линейной оболочке корней и имеющих целочисленные скалярные произведения с любым корнем). Её базисом служит множество $\Pi^{\vee}$ (задача 19.1).

Решётку $Q^{\vee}$ можно интерпретировать как дискретную группу параллельных переносов пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$. Она сохраняет конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$: для любого корня $\beta\in\Delta$ $$ H_{\alpha,k}+\beta^{\vee}=H_{\alpha,k+\langle\alpha\mid\beta\rangle}. $$ Линейное действие группы Вейля $W$ на пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ сохраняет как решётку $Q^{\vee}$, так и конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$. Возникает группа $$ \widetilde{W}=W\rightthreetimes Q^{\vee} $$ аффинных преобразований пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, называемая аффинной группой Вейля. Она сохраняет конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$ и переставляет альковы.

Пример 2. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Гиперплоскости $H_{\alpha,k}$, соответствующие корням $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$, задаются уравнением $x_i=x_j+k$, где $x_1,\dots,x_n$ — координаты в базисе $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$. Альковы задаются (совместными) системами неравенств вида $$ k_{ij} < x_i-x_j < k_{ij}+1,\qquad 1\le i < j\le n, $$ где $k_{ij}$ — некоторые целые числа. Фундаментальный альков $A$ задаётся неравенствами $$ x_1 > x_2 > \dots > x_n, \qquad x_1-x_n < 1. $$

Решётка $Q^{\vee}=Q$ задаётся условиями $$ x_1,\dots,x_n\in\mathbb{Z}, \qquad x_1+\dots+x_n=0. $$ Группа $\widetilde{W}$ действует в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, переставляя координаты $x_1,\dots,x_n$ и добавляя к ним целые числа так, что $x_1+\dots+x_n$ сохраняется.

Теорема.

Группа $\widetilde{W}$ порождается отражениями $r_{\alpha,k}$ относительно гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$ и даже отражениями $r_{\alpha_0,-1},r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}$ относительно стенок фундаментального алькова $A$.
$\widetilde{W}$ действует на множестве альковов просто транзитивно.
Замыкание $\overline{A}$ фундаментального алькова есть фундаментальная область для действия $\widetilde{W}$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$.

Доказательство. Очевидно, что $\widetilde{W}$ порождается отражениями $r_{\alpha}$ и параллельными переносами $t_{\alpha^{\vee}}$ на векторы $\alpha^{\vee}$ по всем $\alpha\in\Delta$. Для доказательства первого утверждения теоремы остаётся заметить, что $t_{k\alpha^{\vee}}=r_{\alpha,k}\cdot r_{\alpha}$, из чего видно, что все отражения $r_{\alpha,k}$ лежат в группе $\widetilde{W}$ и её порождают.

Все остальные утверждения теоремы доказываются аналогично теореме про обыкновенную группу Вейля из прошлого семинара.

Возвращаясь к произвольной связной редуктивной алгебраической группе $G$ с системой корней $\Delta$ относительно максимального тора $T\subset G$, мы имеем три возможности:

А) $\Delta$ неразложима и порождает комплексное векторное пространство $\mathfrak{t}^*$ или вещественное векторное пространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$.

В этом случае $G$ — простая алгебраическая группа, т.е. связна и может иметь лишь конечные нетривиальные нормальные подгруппы, а её касательная алгебра $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли. Камеры Вейля являются симплициальными конусами (т.е. порождаются базисами пространства), а альковы — симплексами.

Б) $\Delta$ разложима и порождает $\mathfrak{t}^*$.

В этом случае $G$ — полупростая алгебраическая группа, т.е. $G=G_1\cdot\ldots\cdot G_s$ — почти прямое произведение простых алгебраических групп $G_i$. (Почти прямое произведение групп характеризуется тем, что сомножители являются нормальными подгруппами, коммутируют между собой, но, в отличие от прямого произведения, каждый сомножитель может пересекаться с произведением остальных по конечной подгруппе.)

Алгебра Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_s$ — прямая сумма простых идеалов (см. задачу 19.4), являющихся касательными алгебрами подгрупп $G_i$. Максимальный тор $T=T_1\cdot\ldots\cdot T_s$ — почти прямое произведение максимальных торов $T_i\subset G_i$.

Система корней $\Delta=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_s$ разлагается на неразложимые компоненты $\Delta_i$, являющиеся системами корней групп $G_i$ относительно $T_i$. Решётка (ко)корней разлагается в прямую сумму решёток (ко)корней групп $G_i$, а (аффинная) группа Вейля — в прямое произведение (аффинных) групп Вейля для $G_i$ относительно $T_i$. Камеры Вейля являются симплициальными конусами, а альковы — произведениями симплексов.

В) $\Delta$ разложима и порождает собственное подпространство в $\mathfrak{t}^*$.

В этом случае $G=Z\cdot(G,G)$ — почти прямое произведение тора (положительной размерности) на коммутант группы $G$, являющийся полупростой алгебраической группой. Тор $Z$ содержится в (любом) максимальном торе $T$. Для касательной алгебры Ли имеем соответствующее разложение в прямую сумму идеалов $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$. При этом (см. задачу 19.4) \begin{align} \mathfrak{z}&=\bigcap_{\alpha\in\Delta}\operatorname{Ker}d\alpha,& [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]&=\mathfrak{z}^{\perp}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha},& \mathfrak{z}^{\perp}&=\langle h_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta\rangle\subset\mathfrak{t}. \end{align} Решётки (ко)корней и группы Вейля (обыкновенные и аффинные) для $G$ и $(G,G)$ совпадают, а камеры Вейля и альковы для $G$ получаются из камер Вейля и альковов для $(G,G)$ прямым произведением на $\Delta^{\perp}\simeq\mathfrak{z}(\mathbb{R})^*$.

предыдущий семинар	17 марта 2017 г.	следующий семинар
Тема 19 Расширенная система простых корней и аффинная группа Вейля Пусть $\Delta$ — неразложимая система корней, и $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}\subset\Delta$ — система простых корней, соответствующая некоторой выбранной камере Вейля $C$, которую будем называть положительной камерой. Предложение. Существует единственный корень $\alpha_{\text{max}}\in\Delta^{+}$, для которого $\alpha_{\text{max}}+\alpha\notin\Delta$, $\forall\alpha\in\Delta^+$. Он называется старшим корнем. $\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$. $\alpha_{\text{max}}=m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l$, причём $m_i\in\mathbb{N}$. Доказательство. Высота суммы положительных корней больше высот слагаемых. Поэтому корень максимальной высоты $\alpha_{\text{max}}$ обладает свойством старшего корня. При этом $(\alpha_{\text{max}},\alpha)\ge0$, $\forall\alpha\in\Delta^+$, иначе оказалось бы, что $\alpha_{\text{max}}+\alpha\in\Delta^+$. Это означает, что $\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$. Корень $\alpha_{\text{max}}$ выражается в виде линейной комбинации простых корней с целыми неотрицательными коэффициентами $m_1,\dots,m_l$. Если среди них есть нулевые, то, в силу связности схемы Дынкина (задача 17.3), мы можем найти два соседних простых корня $\alpha_i,\alpha_j$, для которых $m_i>0$, $m_j=0$. Но тогда $(\alpha_{\text{max}},\alpha_j)\le m_i(\alpha_i,\alpha_j)<0$, что противоречит $\alpha_{\text{max}}\in\overline{C}$. Если $\beta_{\text{max}}$ — другой старший корень, то $(\alpha_{\text{max}},\beta_{\text{max}})=\sum_im_i(\alpha_i,\beta_{\text{max}})>0$, поскольку все слагаемые в сумме неотрицательны в силу $\beta_{\text{max}}\in\overline{C}$ и не равны $0$ одновременно, ибо $\beta_{\text{max}}\not\perp\Delta$. Следовательно, $\alpha_{\text{max}}-\beta_{\text{max}}\in\Delta^+$ или $\beta_{\text{max}}-\alpha_{\text{max}}\in\Delta^+$, что противоречит свойству старшего корня для $\beta_{\text{max}}$ или $\alpha_{\text{max}}$ соответственно. Замечание. Если система корней $\Delta$ разложима, то она разлагается в дизъюнктное объединение неразложимых компонент $\Delta=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_s$, и в каждой компоненте $\Delta_i$ есть свой старший корень. Корень $\alpha_0=-\alpha_{\text{max}}$ называется младшим. Простые корни вместе с младшим корнем образуют расширенную систему простых корней $\widetilde\Pi=\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$. В ней корни расположены друг к другу под неострыми углами и (в согласии с задачей 17.1 б) связаны единственной (с точностью до пропорциональности) линейной зависимостью $$ m_0\alpha_0+m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l=0, $$ где $m_i\in\mathbb{N}$, $m_0=1$. Расширенная система простых корней кодируется расширенной схемой Дынкина по тем же правилам, по которым определяется обыкновенная схема Дынкина. Пример 1. В системе корней группы $GL_n$ простые корни суть $\alpha_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\dots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n$, $\alpha_{\text{max}}=\varepsilon_1-\varepsilon_n$, а $\alpha_0=\varepsilon_n-\varepsilon_1$. Расширенная схема Дынкина имеет вид цикла длины $n$ с однократными рёбрами. Определим аффинные гиперплоскости $$ H_{\alpha,k}=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^\mid(\alpha,\gamma)=k\}\qquad(\alpha\in\Delta,\ k\in\mathbb{Z}), $$ параллельные линейным гиперплоскостям $H_{\alpha}=H_{\alpha,0}$. Они разбивают пространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ на связные области (компоненты связности дополнения к объединению гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$), называемые (открытыми) альковами. Среди них выделяется фундаментальный альков $$ A=\{\gamma\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^\mid(\alpha_0,\gamma)>-1,\ (\alpha_i,\gamma)>0,\ i=1,\dots,l\}. $$ Это действительно альков, поскольку никакая гиперплоскость $H_{\alpha,k}$ его не пересекает: считая без ограничения общности $\alpha\in\Delta^-$, имеем $0>(\alpha,\gamma)\ge(\alpha_0,\gamma)>-1$, $\forall\gamma\in A$, т.е. $(\alpha,\gamma)\notin\mathbb{Z}$. Альковы суть аффинные аналоги камер Вейля. Аналогом группы Вейля является аффинная группа Вейля, определяемая следующим образом. Рассмотрим в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ решётку корней $Q$, порождённую множеством корней $\Delta$; её базисом служит множество простых корней $\Pi$. Также рассмотрим решётку дуальных корней (или кокорней) $Q^{\vee}$, порождённую множеством дуальных корней $\Delta^{\vee}$. Это действительно решётка, поскольку она содержится в решётке ковесов $P^{\vee}$, двойственной к решётке корней (т.е. состоящей из векторов, лежащих в линейной оболочке корней и имеющих целочисленные скалярные произведения с любым корнем). Её базисом служит множество $\Pi^{\vee}$ (задача 19.1). Решётку $Q^{\vee}$ можно интерпретировать как дискретную группу параллельных переносов пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$. Она сохраняет конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$: для любого корня $\beta\in\Delta$ $$ H_{\alpha,k}+\beta^{\vee}=H_{\alpha,k+\langle\alpha\mid\beta\rangle}. $$ Линейное действие группы Вейля $W$ на пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ сохраняет как решётку $Q^{\vee}$, так и конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$. Возникает группа $$ \widetilde{W}=W\rightthreetimes Q^{\vee} $$ аффинных преобразований пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$, называемая аффинной группой Вейля. Она сохраняет конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$ и переставляет альковы. Пример 2. Рассмотрим систему корней группы $G=GL_n$. Гиперплоскости $H_{\alpha,k}$, соответствующие корням $\alpha=\varepsilon_i-\varepsilon_j$, задаются уравнением $x_i=x_j+k$, где $x_1,\dots,x_n$ — координаты в базисе $\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n$ пространства $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$. Альковы задаются (совместными) системами неравенств вида $$ k_{ij} < x_i-x_j < k_{ij}+1,\qquad 1\le i < j\le n, $$ где $k_{ij}$ — некоторые целые числа. Фундаментальный альков $A$ задаётся неравенствами $$ x_1 > x_2 > \dots > x_n, \qquad x_1-x_n < 1. $$ Решётка $Q^{\vee}=Q$ задаётся условиями $$ x_1,\dots,x_n\in\mathbb{Z}, \qquad x_1+\dots+x_n=0. $$ Группа $\widetilde{W}$ действует в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$, переставляя координаты $x_1,\dots,x_n$ и добавляя к ним целые числа так, что $x_1+\dots+x_n$ сохраняется. Теорема. Группа $\widetilde{W}$ порождается отражениями $r_{\alpha,k}$ относительно гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$ и даже отражениями $r_{\alpha_0,-1},r_{\alpha_1},\dots,r_{\alpha_l}$ относительно стенок фундаментального алькова $A$. $\widetilde{W}$ действует на множестве альковов просто транзитивно. Замыкание $\overline{A}$ фундаментального алькова есть фундаментальная область для действия $\widetilde{W}$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$. Доказательство. Очевидно, что $\widetilde{W}$ порождается отражениями $r_{\alpha}$ и параллельными переносами $t_{\alpha^{\vee}}$ на векторы $\alpha^{\vee}$ по всем $\alpha\in\Delta$. Для доказательства первого утверждения теоремы остаётся заметить, что $t_{k\alpha^{\vee}}=r_{\alpha,k}\cdot r_{\alpha}$, из чего видно, что все отражения $r_{\alpha,k}$ лежат в группе $\widetilde{W}$ и её порождают. Все остальные утверждения теоремы доказываются аналогично теореме про обыкновенную группу Вейля из прошлого семинара. Возвращаясь к произвольной связной редуктивной алгебраической группе $G$ с системой корней $\Delta$ относительно максимального тора $T\subset G$, мы имеем три возможности: А) $\Delta$ неразложима и порождает комплексное векторное пространство $\mathfrak{t}^$ или вещественное векторное пространство $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$. В этом случае $G$ — простая алгебраическая группа, т.е. связна и может иметь лишь конечные нетривиальные нормальные подгруппы, а её касательная алгебра $\mathfrak{g}$ — простая алгебра Ли. Камеры Вейля являются симплициальными конусами (т.е. порождаются базисами пространства), а альковы — симплексами. Б) $\Delta$ разложима и порождает $\mathfrak{t}^$. В этом случае $G$ — полупростая* алгебраическая группа, т.е. $G=G_1\cdot\ldots\cdot G_s$ — почти прямое произведение простых алгебраических групп $G_i$. (Почти прямое произведение групп характеризуется тем, что сомножители являются нормальными подгруппами, коммутируют между собой, но, в отличие от прямого произведения, каждый сомножитель может пересекаться с произведением остальных по конечной подгруппе.) Алгебра Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_s$ — прямая сумма простых идеалов (см. задачу 19.4), являющихся касательными алгебрами подгрупп $G_i$. Максимальный тор $T=T_1\cdot\ldots\cdot T_s$ — почти прямое произведение максимальных торов $T_i\subset G_i$. Система корней $\Delta=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_s$ разлагается на неразложимые компоненты $\Delta_i$, являющиеся системами корней групп $G_i$ относительно $T_i$. Решётка (ко)корней разлагается в прямую сумму решёток (ко)корней групп $G_i$, а (аффинная) группа Вейля — в прямое произведение (аффинных) групп Вейля для $G_i$ относительно $T_i$. Камеры Вейля являются симплициальными конусами, а альковы — произведениями симплексов. В) $\Delta$ разложима и порождает собственное подпространство в $\mathfrak{t}^$. В этом случае $G=Z\cdot(G,G)$ — почти прямое произведение тора (положительной размерности) на коммутант группы $G$, являющийся полупростой алгебраической группой. Тор $Z$ содержится в (любом) максимальном торе $T$. Для касательной алгебры Ли имеем соответствующее разложение в прямую сумму идеалов $\mathfrak{g}=\mathfrak{z}\oplus[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$. При этом (см. задачу 19.4) \begin{align} \mathfrak{z}&=\bigcap_{\alpha\in\Delta}\operatorname{Ker}d\alpha,& [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]&=\mathfrak{z}^{\perp}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha},& \mathfrak{z}^{\perp}&=\langle h_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta\rangle\subset\mathfrak{t}. \end{align} Решётки (ко)корней и группы Вейля (обыкновенные и аффинные) для $G$ и $(G,G)$ совпадают, а камеры Вейля и альковы для $G$ получаются из камер Вейля и альковов для $(G,G)$ прямым произведением на $\Delta^{\perp}\simeq\mathfrak{z}(\mathbb{R})^$. Задачи Задача 19.1. Множество $\Pi^{\vee}=\{\alpha_1^{\vee},\dots,\alpha_l^{\vee}\}$ является базисом решётки дуальных корней $Q^{\vee}$. Задача 19.2. Проверить непосредственно для группы $GL_n$, что а) аффинная группа Вейля действует на множестве альковов просто транзитивно, и б) замыкание фундаментального алькова является фундаментальной областью для действия аффинной группы Вейля в соответствующем евклидовом пространстве. Задача 19.3. Найти расширенную систему простых корней, расширенную диаграмму Дынкина, фундаментальный альков и аффинную группу Вейля для группы а) $SO_{2n}$ ($n\ne1,2$) б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$. Задача 19.4. Пусть $G$ — редуктивная алгебраическая группа с максимальным тором $T$ и системой корней $\Delta$. Разложим систему корней на неразложимые компоненты: $\Delta=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_s$. Доказать, что имеет место разложение касательной алгебры Ли в ортогональную (относительно инвариантного скалярного умножения) прямую сумму $$ \mathfrak{g}=\mathfrak{z}\oplus\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_s, $$ где $\mathfrak{z}=\bigcap_{\alpha\in\Delta}\operatorname{Ker}d\alpha$ — центр алгебры $\mathfrak{g}$, а $\mathfrak{g}_i=\langle e_{\alpha},h_{\alpha}\mid \alpha\in\Delta_i\rangle$ — простые идеалы.