Пусть $G$ — полупростая алгебраическая группа. Среди классических (связных) матричных групп полупростыми являются $SL_n$, $SO_n$ (при $n>2$), $Sp_{2n}$, но не $GL_n$.

С системой корней $\Delta$ группы $G$ относительно максимального тора $T\subset G$ связано несколько решёток:

решётка корней $Q$ с базисом $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$;
решётка кокорней $Q^{\vee}$ с базисом $\Pi^{\vee}=\{\alpha_1^{\vee},\dots,\alpha_l^{\vee}\}$;
решётка весов $P$, двойственная решётке кокорней, с базисом $\{\omega_1,\dots,\omega_l\}$ (фундаментальные веса), двойственным базису $\Pi^{\vee}$;
решётка ковесов $P^{\vee}$, двойственная решётке корней, с базисом $\{\omega_1^{\vee},\dots,\omega_l^{\vee}\}$ (фундаментальные ковеса), двойственным базису $\Pi$.

Все эти решётки имеют ранг $l=\dim T=:\operatorname{rk}G=\operatorname{rk}\mathfrak{g}$, называемый рангом полупростой группы $G$ или алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Ранее мы рассматривали все решётки в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, но более естественно считать, что $P,Q\subset\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, а $P^{\vee},Q^{\vee}\subset\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ (что мы имеем право делать, поскольку $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ и $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ отождествляются друг с другом посредством инвариантного скалярного умножения). При этом дуальным корням $\alpha^{\vee}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$ соответствуют элементы $h_{\alpha}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ из $\mathfrak{sl}_2$-троек. Фундаментальные (ко)веса задаются условиями $$ \langle\omega_i,\alpha_j^{\vee}\rangle=\langle\alpha_i,\omega_j^{\vee}\rangle= \begin{cases} 1, & i=j, \\ 0, & i\ne j. \end{cases} $$ Имеют место следующие вложения решёток: \begin{gather} Q \subseteq\mathfrak{X}(T)\hphantom{{}^*} \subseteq P,\\ P^{\vee}\supseteq\mathfrak{X}(T)^*\supseteq Q^{\vee}. \end{gather}

В терминах этих решёток можно описать различные инварианты полупростой алгебраической группы.

Лемма 1. $Z(G)\subset T$.

Это следует из $Z_G(T)=T$.

Поскольку $Z(G)$ совпадает с ядром присоединённого представления, для $t\in T$ имеем $$ t\in Z(G) \iff\operatorname{Ad}(t)=\mathrm{id} \iff t^{\alpha}=1,\forall\alpha\in\Delta \iff t^{\lambda}=1,\ \forall\lambda\in Q. $$ Отсюда вытекает

Предложение 1. $Z(G)\simeq\mathfrak{X}(T)/Q\simeq P^{\vee}/\mathfrak{X}(T)^*$.

Для доказательства достаточно выбрать согласованные базисы решёток $\mathfrak{X}(T)$ и $Q$, и записать $Z(G)$ в соответствующей системе координат на торе $T$.

Образ присоединённого представления $G_{\text{ad}}:=\operatorname{Ad}(G)\subseteq\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$, изоморфный $G/Z(G)$, называется присоединённой группой или группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Её касательная алгебра Ли $\operatorname{ad}(\mathfrak{g})\subseteq\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ называется алгеброй внутренних дифференцирований. В случае полупростой алгебры Ли она изоморфна $\mathfrak{g}$, и $G_{\text{ad}}$ — "наименьшая" полупростая алгебраическая группа с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Максимальным тором в ней является $T_{\text{ad}}:=\operatorname{Ad}(T)\simeq T/Z(G)$.

Теперь рассмотрим другой крайний случай — универсальное накрытие $\widetilde{G}\to G$. На пространстве $\widetilde{G}$ можно ввести структуру группы Ли так, что отображение накрытия будет гомоморфизмом с дискретным ядром $\Gamma\subseteq Z(\widetilde{G})$. Можно показать, что $\widetilde{G}$ является алгебраической группой, и максимальный тор $\widetilde{T}\subset\widetilde{G}$, накрывающий $T$, имеет максимально возможную решётку характеров $P$.

Предложение 2. Фундаментальная группа $\pi_1(G)$ изоморфна $\Gamma\simeq P/\mathfrak{X}(T)\simeq\mathfrak{X}(T)^*/Q^{\vee}$.

Утверждение про фундаментальную группу — общий факт теории групп Ли, а описание группы $\Gamma$ вытекает из того, что $T=\widetilde{T}/\Gamma$ и, значит, $\Gamma\subset\widetilde{T}$ задаётся уравнениями $$ \tilde{t}^{\lambda}=1,\quad\forall\lambda\in\mathfrak{X}(T). $$

Факторизуя односвязную группу $\widetilde{G}$ по всевозможным (конечным) центральным подгруппам $\Gamma$, можно получить все полупростые группы $G$ с касательной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Имеют место накрывающие гомоморфизмы \begin{gather} \widetilde{G}\longrightarrow G\longrightarrow G_{\text{ad}},\\ \widetilde{T}\longrightarrow T\longrightarrow T_{\text{ad}}, \end{gather} где левая стрелка — факторизация по $\Gamma$, а правая — факторизация по "оставшейся части" центра $Z(\widetilde{G})/\Gamma\simeq Z(G)$. С учётом теорем 1 и 2 семинара 14, в итоге получается

Теорема. Имеется взаимно однозначное соответствие между следующими классами объектов:

полупростые алгебраические группы с данной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ (с точностью до изоморфизма);
промежуточные решётки между $P$ и $Q$;
промежуточные решётки между $P^{\vee}$ и $Q^{\vee}$;
подгруппы в конечной абелевой группе $P/Q\simeq P^{\vee}/Q^{\vee}$.

Пример. Рассмотрим $G=SL_n$. Простые корни суть $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$, а дуальные простые корни соответствуют матрицам $h_{\alpha_i}=E_{i,i}-E_{i+1,i+1}$. Фундаментальные веса суть $$\omega_i=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i\qquad (i=1,\dots,n-1).$$ Решётка весов $P=\langle\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\rangle_{\mathbb{Z}}$ совпадает с решёткой характеров $\mathfrak{X}(T)=\langle\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\rangle_{\mathbb{Z}}$. Поэтому $G=SL_n(\mathbb{C})$ односвязна.

Для вычисления факторгруппы $P/Q$ выразим базис решётки корней через базис решётки весов: $$ \alpha_i=\sum_{j=1}^{n-1}a_{ij}\omega_j,\qquad a_{ij}=d\alpha_i(h_{\alpha_j})=\langle\alpha_i|\alpha_j\rangle. $$ Коэффициенты в этих выражениях образуют матрицу Картана системы корней; для $G=SL_n$ она равна $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & & & \smash{\mathrm{O}} \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & 1 & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\smash\ddots & \\[-0.5ex] & & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ \smash{\mathrm{O}} & & & \!\!\!1 & \!\!2 \end{pmatrix}. $$ Приведя её целочисленными элементарными преобразованиями строк и стообцов к диагональному виду, получаем матрицу $\operatorname{diag}(1,\dots,1,n)$. Поэтому $P/Q\simeq\mathbb{Z}_n$. С другой стороны, $Z(G)$ состоит из скалярных матриц с $\det=1$, т.е. матриц вида $\operatorname{diag}(z,\dots,z)$, $z^n=1$, и тоже изоморфен $\mathbb{Z}_n$. Присоединённая группа $G_{\text{ad}}=PSL_n$ — проективная линейная группа.

предыдущий семинар	24 марта 2017 г.	следующий семинар
Тема 20 Полупростые группы с данной алгеброй Ли Пусть $G$ — полупростая алгебраическая группа. Среди классических (связных) матричных групп полупростыми являются $SL_n$, $SO_n$ (при $n>2$), $Sp_{2n}$, но не $GL_n$. С системой корней $\Delta$ группы $G$ относительно максимального тора $T\subset G$ связано несколько решёток: решётка корней $Q$ с базисом $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$; решётка кокорней $Q^{\vee}$ с базисом $\Pi^{\vee}=\{\alpha_1^{\vee},\dots,\alpha_l^{\vee}\}$; решётка весов $P$, двойственная решётке кокорней, с базисом $\{\omega_1,\dots,\omega_l\}$ (фундаментальные веса), двойственным базису $\Pi^{\vee}$; решётка ковесов $P^{\vee}$, двойственная решётке корней, с базисом $\{\omega_1^{\vee},\dots,\omega_l^{\vee}\}$ (фундаментальные ковеса), двойственным базису $\Pi$. Все эти решётки имеют ранг $l=\dim T=:\operatorname{rk}G=\operatorname{rk}\mathfrak{g}$, называемый рангом полупростой группы $G$ или алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Ранее мы рассматривали все решётки в пространстве $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$, но более естественно считать, что $P,Q\subset\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$, а $P^{\vee},Q^{\vee}\subset\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ (что мы имеем право делать, поскольку $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ и $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ отождествляются друг с другом посредством инвариантного скалярного умножения). При этом дуальным корням $\alpha^{\vee}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})^$ соответствуют элементы $h_{\alpha}\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ из $\mathfrak{sl}_2$-троек. Фундаментальные (ко)веса задаются условиями $$ \langle\omega_i,\alpha_j^{\vee}\rangle=\langle\alpha_i,\omega_j^{\vee}\rangle= \begin{cases} 1, & i=j, \\ 0, & i\ne j. \end{cases} $$ Имеют место следующие вложения решёток: \begin{gather} Q \subseteq\mathfrak{X}(T)\hphantom{{}^} \subseteq P,\\ P^{\vee}\supseteq\mathfrak{X}(T)^\supseteq Q^{\vee}. \end{gather} В терминах этих решёток можно описать различные инварианты полупростой алгебраической группы. Лемма 1. $Z(G)\subset T$. Это следует из $Z_G(T)=T$. Поскольку $Z(G)$ совпадает с ядром присоединённого представления, для $t\in T$ имеем $$ t\in Z(G) \iff\operatorname{Ad}(t)=\mathrm{id} \iff t^{\alpha}=1,\forall\alpha\in\Delta \iff t^{\lambda}=1,\ \forall\lambda\in Q. $$ Отсюда вытекает Предложение 1. $Z(G)\simeq\mathfrak{X}(T)/Q\simeq P^{\vee}/\mathfrak{X}(T)^$. Для доказательства достаточно выбрать согласованные базисы решёток $\mathfrak{X}(T)$ и $Q$, и записать $Z(G)$ в соответствующей системе координат на торе $T$. Образ присоединённого представления $G_{\text{ad}}:=\operatorname{Ad}(G)\subseteq\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$, изоморфный $G/Z(G)$, называется присоединённой группой* или группой внутренних автоморфизмов алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Её касательная алгебра Ли $\operatorname{ad}(\mathfrak{g})\subseteq\operatorname{Der}(\mathfrak{g})$ называется алгеброй внутренних дифференцирований. В случае полупростой алгебры Ли она изоморфна $\mathfrak{g}$, и $G_{\text{ad}}$ — "наименьшая" полупростая алгебраическая группа с алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Максимальным тором в ней является $T_{\text{ad}}:=\operatorname{Ad}(T)\simeq T/Z(G)$. Теперь рассмотрим другой крайний случай — универсальное накрытие $\widetilde{G}\to G$. На пространстве $\widetilde{G}$ можно ввести структуру группы Ли так, что отображение накрытия будет гомоморфизмом с дискретным ядром $\Gamma\subseteq Z(\widetilde{G})$. Можно показать, что $\widetilde{G}$ является алгебраической группой, и максимальный тор $\widetilde{T}\subset\widetilde{G}$, накрывающий $T$, имеет максимально возможную решётку характеров $P$. Предложение 2. Фундаментальная группа $\pi_1(G)$ изоморфна $\Gamma\simeq P/\mathfrak{X}(T)\simeq\mathfrak{X}(T)^/Q^{\vee}$. Утверждение про фундаментальную группу — общий факт теории групп Ли, а описание группы $\Gamma$ вытекает из того, что $T=\widetilde{T}/\Gamma$ и, значит, $\Gamma\subset\widetilde{T}$ задаётся уравнениями $$ \tilde{t}^{\lambda}=1,\quad\forall\lambda\in\mathfrak{X}(T). $$ Факторизуя односвязную группу $\widetilde{G}$ по всевозможным (конечным) центральным подгруппам $\Gamma$, можно получить все полупростые группы $G$ с касательной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Имеют место накрывающие гомоморфизмы \begin{gather} \widetilde{G}\longrightarrow G\longrightarrow G_{\text{ad}},\\ \widetilde{T}\longrightarrow T\longrightarrow T_{\text{ad}}, \end{gather} где левая стрелка — факторизация по $\Gamma$, а правая — факторизация по "оставшейся части" центра $Z(\widetilde{G})/\Gamma\simeq Z(G)$. С учётом теорем 1 и 2 семинара 14, в итоге получается Теорема. Имеется взаимно однозначное соответствие между следующими классами объектов: полупростые алгебраические группы с данной алгеброй Ли $\mathfrak{g}$ (с точностью до изоморфизма); промежуточные решётки между $P$ и $Q$; промежуточные решётки между $P^{\vee}$ и $Q^{\vee}$; подгруппы в конечной абелевой группе $P/Q\simeq P^{\vee}/Q^{\vee}$. Пример. Рассмотрим $G=SL_n$. Простые корни суть $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$, а дуальные простые корни соответствуют матрицам $h_{\alpha_i}=E_{i,i}-E_{i+1,i+1}$. Фундаментальные веса суть $$\omega_i=\varepsilon_1+\dots+\varepsilon_i\qquad (i=1,\dots,n-1).$$ Решётка весов $P=\langle\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{n-1}\rangle_{\mathbb{Z}}$ совпадает с решёткой характеров $\mathfrak{X}(T)=\langle\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n\rangle_{\mathbb{Z}}$. Поэтому $G=SL_n(\mathbb{C})$ односвязна. Для вычисления факторгруппы $P/Q$ выразим базис решётки корней через базис решётки весов: $$ \alpha_i=\sum_{j=1}^{n-1}a_{ij}\omega_j,\qquad a_{ij}=d\alpha_i(h_{\alpha_j})=\langle\alpha_i\|\alpha_j\rangle. $$ Коэффициенты в этих выражениях образуют матрицу Картана* системы корней; для $G=SL_n$ она равна $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & & & \smash{\mathrm{O}} \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & 1 & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\smash\ddots & \\[-0.5ex] & & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!\!\!\smash\ddots & \!\!1 \\ \smash{\mathrm{O}} & & & \!\!\!1 & \!\!2 \end{pmatrix}. $$ Приведя её целочисленными элементарными преобразованиями строк и стообцов к диагональному виду, получаем матрицу $\operatorname{diag}(1,\dots,1,n)$. Поэтому $P/Q\simeq\mathbb{Z}_n$. С другой стороны, $Z(G)$ состоит из скалярных матриц с $\det=1$, т.е. матриц вида $\operatorname{diag}(z,\dots,z)$, $z^n=1$, и тоже изоморфен $\mathbb{Z}_n$. Присоединённая группа $G_{\text{ad}}=PSL_n$ — проективная линейная группа. Задачи Задача 20.1. Найти решётки (ко)корней и (ко)весов, центр и фундаментальную группу для группы а) $SO_{2n}$ ($n>1$) б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$.