Как устроена группа $\operatorname{Aut}(G)$ автоморфизмов полупростой алгебраической группы $G$?

Сопоставляя каждому автоморфизму $\varphi\in\operatorname{Aut}(G)$ его дифференциал $d\varphi$, получаем вложение $\operatorname{Aut}(G)\hookrightarrow\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$. Оно является изоморфизмом (т.е. каждый автоморфизм алгебры Ли интергрируется до автоморфизма группы), если группа $G$ — односвязная или присоединённая. В общем случае $\operatorname{Aut}(G)\subseteq\operatorname{Aut}(\widetilde{G})\simeq\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$ состоит из автоморфизмов, сохраняющих конечную центральную подгруппу $\Gamma\simeq\pi_1(G)$ в $\widetilde{G}$, для которой $G=\widetilde{G}/\Gamma$.

В группе $\operatorname{Aut}(G)$ имеется нормальная подгруппа внутренних автоморфизмов $\operatorname{Inn}(G)\simeq G_{\text{ad}}$. Однако бывают и внешние автоморфизмы.

Пример 1. Автоморфизм $\varphi(g)=(g^{\top})^{-1}$ группы $G=SL_n$ не является внутренним, поскольку внутренние автоморфизмы сохраняют множество собственных значений матрицы $g\in SL_n$, а $\varphi$ — вообще говоря, нет.

Насколько различаются группы $\operatorname{Aut}(G)$ и $\operatorname{Inn}(G)$?

Произвольный автоморфизм $\varphi\in\operatorname{Aut}(G)$ отображает фиксированный максимальный тор $T\subset G$ в другой максимальный тор $T'=\varphi(T)$. Поскольку все максимальные торы в $G$ сопряжены, существует внутренний автоморфизм $\operatorname{Inn}(g)$ (сопряжение с элементом $g\in G$), возвращающий тор $T'$ обратно в $T$. Тогда $\psi=\operatorname{Inn}(g)\cdot\varphi$ сохраняет $T$.

По задачам 21.1 и 21.2, $\psi$ действует на $\mathfrak{t}$ и $\mathfrak{t}^*$ ортогональным преобразованием, сохраняя $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, $\mathfrak{t}(\mathbb{R})^*$, $\mathfrak{X}(T)$, $\Delta$, и переставляя камеры Вейля.

Зафиксируем положительную камеру Вейля $C$. Автоморфизм $\psi$ переводит её в другую камеру $C'=\psi(C)$. Существует единственный элемент группы Вейля $w\in W$, возвращающий камеру $C'$ на место: $w(C')=C$. Выберем его представитель $n\in N_G(T)$. Тогда автоморфизм $\theta=\operatorname{Inn}(n)\cdot\psi$ сохраняет $T$, $C$ и соответствующее множество простых корней $\Pi$, а значит, задаёт автоморфизм схемы Дынкина $\mathcal{D}$.

Лемма. $\theta\in\operatorname{Inn}(G)\iff\theta$ действует на $\mathcal{D}$ тривиально.

Доказательство. Если $\theta=\operatorname{Inn}(t)$, то $t\in N_G(T)$, и даже, поскольку действие группы Вейля на множестве камер Вейля просто транзитивно, $t\in Z_G(T)$. Следовательно, $\theta$ тривиально действует на $\mathfrak{X}(T)\supset\Pi$.

Обратно, если $\theta$ задаёт тривиальный автоморфизм схемы Дынкина, то он действует тривиально на $\mathfrak{X}(T)$, а значит, и на $T$. Рассмотрим $\mathfrak{sl}_2$-тройки $e_{\alpha_i},f_{\alpha_i},h_{\alpha_i}$, отвечающие простым корням $\alpha_1,\dots,\alpha_l$. Автоморфизм $\theta$ действует на них так: \begin{align} d\theta(e_{\alpha_i})&=t_ie_{\alpha_i},& d\theta(f_{\alpha_i})&=t_i^{-1}f_{\alpha_i},& d\theta(h_{\alpha_i})&=h_{\alpha_i}& (t_1,\dots,t_l&\in\mathbb{C}^{\times}). \end{align} Рассмотрим элемент $t\in T$ c $t^{\alpha_i}=t_i$ ($i=1,\dots,l$). Тогда $\operatorname{Ad}(t)$ действует на вышеуказанных $\mathfrak{sl}_2$-тройках так же, как и $\theta$, а поскольку эти тройки порождают алгебру Ли $\mathfrak{g}$, $d\theta=\operatorname{Ad}(t)$, откуда $\theta=\operatorname{Inn}(t)$.

Получаем точную последовательность групп: $$ \tag{$*$} 1\to\operatorname{Inn}(G)\longrightarrow\operatorname{Aut}(G)\longrightarrow\operatorname{Aut}(\mathcal{D}) $$

Теорема. Если группа $G$ — односвязная или присоединённая, то $\operatorname{Aut}(G)\simeq\operatorname{Inn}(G)\leftthreetimes\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$. В общем случае $\operatorname{Aut}(G)\simeq\operatorname{Inn}(G)\leftthreetimes\mathcal{A}$, где $\mathcal{A}\subseteq\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$ состоит из преобразований, сохраняющих решётку $\mathfrak{X}(T)$.

Доказательство. Всякий автоморфизм схемы Дынкина $\tau\in\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$ можно продолжить до автоморфизма алгебры Ли $\mathfrak{g}$. На $\mathfrak{sl}_2$-тройках, отвечающих простым корням, он определяется правилами \begin{align} e_{\alpha_i}&\mapsto e_{\tau(\alpha_i)},& f_{\alpha_i}&\mapsto f_{\tau(\alpha_i)},& h_{\alpha_i}&\mapsto h_{\tau(\alpha_i)}& (i&=1,\dots,l). \end{align} Это соответствие однозначно продолжается до автоморфизма алгебры $\mathfrak{g}$ (этот нетривиальный факт мы оставим без доказательства).

Такие автоморфизмы называются диаграммными. Они образуют подгруппу в $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$, изоморфную $\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$ и расщепляющую точную последовательность ($*$). Диаграммный автоморфизм можно проинтегрировать до автоморфизма односвязной группы $\widetilde{G}$. Полученный автоморфизм спускается на группу $G=\widetilde{G}/\Gamma$ тогда и только тогда, когда он сохраняет подгруппу $\Gamma$, задаваемую уравнениями $$ \tilde{t}^{\lambda}=1,\quad\forall\lambda\in\mathfrak{X}(T), $$ в максимальном торе $\widetilde{T}\subset\widetilde{G}$. Это эквивалентно тому, что $\tau$, рассматриваемый как автоморфизм решётки весов $P=\mathfrak{X}(\widetilde{T})$, сохраняет подрешётку $\mathfrak{X}(T)$.

Пример 2. Опишем автоморфизмы группы $G=SL_n$.

Группа внутренних автоморфизмов $\operatorname{Inn}(G)=PSL_n$ — проективная линейная группа. Из вида схемы Дынкина ясно, что $\operatorname{Aut}(\mathcal{D})=\mathbb{Z}_2$: нетривиальный автоморфизм 2-го порядка обращает порядок в цепочке простых корней $\varepsilon_1-\varepsilon_2,\varepsilon_2-\varepsilon_3,\dots,\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n$. Из примера 1 и предыдущей теоремы следует, что $\operatorname{Aut}(SL_n)=PSL_n\leftthreetimes\langle\varphi\rangle_2$.

Внешний автоморфизм $\varphi$ из примера 1 действует на алгебре Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ по формуле $d\varphi(X)=-X^{\top}$. Также он сохраняет максимальный тор $T$ диагональных матриц и действует на нём инверсией: $\varphi(t)=t^{-1}$. Следовательно, $\varphi$ действует на $\mathfrak{t}$ и $\mathfrak{t}^*$ умножением на $-1$. Он переводит положительную камеру Вейля $C$, задаваемую неравенствами $x_1>\dots>x_n$, в противоположную камеру $-C$, задаваемую неравенствами $x_1< \dots< x_n$.

Единственный элемент $w\in W\simeq S_n$, переводящий $-C$ в $C$, действует перестановкой координат $x_1,\dots,x_n$ в обратном порядке. В группе $N_G(T)$ он представлен матрицами вида $$ n=\begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & t_n \\ & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & \\ & t_2 & & \\ t_1 & & & \mathrm{O} \\ \end{pmatrix}. $$ Автоморфизм $\theta=\operatorname{Inn}(n)\cdot\varphi$ сохраняет $C$ и действует на простых корнях $\alpha_i=\varepsilon_i-\varepsilon_{i+1}$, переставляя их в обратном порядке, а на соответствующих корневых векторах по формуле $$ e_{\alpha_i}=E_{i,i+1}\mapsto-\frac{t_{i+1}}{t_i}E_{n-i,n-i+1}. $$ Следовательно, $\theta$ является диаграммным автоморфизмом при $$ n=\begin{pmatrix} \mathrm{O} & & & & \!\!\!\!(-1)^{n-1} \\ & & & {}_{\textstyle.}\cdot\strut^{\textstyle.} & \\ & & 1 & & \\ & \!\!\!\!\!\!-1 & & & \\ 1 & & & & \mathrm{O} \\ \end{pmatrix}. $$

Задача 21.1. Пусть $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_1\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_s$ — разложение полупростой алгебры Ли в прямую сумму простых идеалов.

а) Идеалы $\mathfrak{g}_i$ ортогональны друг другу относительно любого инвариантного скалярного умножения на $\mathfrak{g}$. Указание: рассмотреть $([\mathfrak{g}_i,\mathfrak{g}_i],\mathfrak{g}_j)$.

б) Все ненулевые инвариантные скалярные умножения на $\mathfrak{g}_i$ невырождены и пропорциональны друг другу. Указание: рассмотреть $\operatorname{Ker}[(\cdot,\cdot)_1-\lambda(\cdot,\cdot)_2]$.

Задача 21.2. Форма Киллинга $(X,Y)=\operatorname{tr}\operatorname{ad}(X)\operatorname{ad}(Y)$ на полупростой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ а) невырождена, б) инвариантна относительно $\operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$.

Задача 21.3. Описать все автоморфизмы группы а) $SO_n$ б) $Sp_{2n}$.