Естественная задача — классифицировать автоморфизмы полупростой алгебраической группы $G$ с точностью до эквивалентности. Два автоморфизма $\varphi,\varphi'\in\operatorname{Aut}(G)$ следует считать эквивалентными, если один из них превращается в другой, когда группа $G$ подвергается некоторому автоморфизму $\psi$, т.е. имеет место коммутативная диаграмма \begin{align} G &\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}G \\ {\scriptstyle\psi}\downarrow&\hphantom{\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}}\downarrow{\scriptstyle\psi} \\[-1ex] G &\stackrel{\varphi'}{\longrightarrow}G \end{align} Другими словами, $\varphi'=\psi\cdot\varphi\cdot\psi^{-1}$, т.е. $\varphi$ и $\varphi'$ должны быть сопряжены в группе $\operatorname{Aut}(G)$. Более тонкая эквивалентность — сопряжённость в группе $\operatorname{Inn}(G)$.

Будем рассматривать автоморфизмы конечного порядка. Всякий автоморфизм $\theta\in\operatorname{Aut}(G)$, $\theta^m=\mathrm{id}$, действует на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ периодическим линейным оператором и задаёт разложение $$ \tag{1} \mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{\bar0}\oplus\mathfrak{g}_{\bar1}\oplus\dots\oplus\mathfrak{g}_{\overline{m-1}} $$ в прямую сумму собственных подпространств $\mathfrak{g}_{\bar{k}}$ оператора $d\theta$ с собственными значениями $e^{2\pi{k}\boldsymbol{i}/m}$, где $k=0,1,\dots,m-1$ или пробегает любую другую полную систему вычетов $\bmod m$, а $\bar{k}\in\mathbb{Z}_m$ обозначает класс вычетов числа $k$ по модулю $m$. Поскольку $d\theta$ — автоморфизм алгебры Ли, разложение (1) является градуировкой по модулю $m$, т.е. $$ \tag{2} [\mathfrak{g}_{\bar{p}},\mathfrak{g}_{\bar{q}}]\subseteq\mathfrak{g}_{\overline{p+q}},\qquad\forall\bar{p},\bar{q}\in\mathbb{Z}_m. $$ Обратно, каждая периодическая градуировка алгебры Ли $\mathfrak{g}$ задаёт её автоморфизм конечного порядка, который можно проинтегрировать до автоморфизма группы $G$ в случае, если $G$ — односвязная или присоединённая группа.

Из (2) и задачи 22.1 следует, что $\mathfrak{g}_{\bar0}\subset\mathfrak{g}$ — подалгебра Ли, на которой форма Киллинга невырождена. Поэтому соответствующая подгруппа $$ G^{\theta}=\{g\in G\mid\theta(g)=g\} $$ редуктивна.

Теорема 1. Если $G$ односвязна, то $G^{\theta}$ связна.

Теперь органичимся рассмотрением внутренних автоморфизмов конечного порядка. Если $G=G_1\cdots G_s$ — разложение в почти прямое произведение простых алгебраических групп, то $\operatorname{Inn}(G)=\operatorname{Inn}(G_1)\times\dots\times\operatorname{Inn}(G_s)$. Поэтому можно считать группу $G$ простой.

Автоморфизм $\theta\in\operatorname{Inn}(G)$ имеет вид $\theta=\operatorname{Inn}(t)$, $t\in G$. Если $\theta^m=\mathrm{id}$, то $t^m=Z(G)$, а поскольку $Z(G)$ — конечная группа, элемент $t$ имеет конечный порядок.

Рассмотрим односвязное накрытие $\widetilde{G}\to G$ и прообраз $\tilde{t}$ элемента $t$. Он также имеет конечный порядок, поскольку ядро накрытия $\Gamma\subseteq Z(\widetilde{G})$ — конечная группа. Централизатор $\widetilde{H}=Z_{\widetilde{G}}(\tilde{t})=\widetilde{G}^{\theta}$ редуктивен и связен (по теореме 1). Поэтому $\tilde{t}\in Z(\widetilde{H})\subseteq\widetilde{S}\subseteq\widetilde{T}$, где $\widetilde{S}$ — максимальный тор в $\widetilde{H}$, а $\widetilde{T}$ — содержащий его максимальный тор в $\widetilde{G}$. Отсюда следует, что $t\in T$, где $T=\widetilde{T}/\Gamma$ — максимальный тор в $G$. Поскольку все максимальные торы в $G$ сопряжены, можно органичиться рассмотрением элементов фиксированного максимального тора $T$.

Лемма 1. Элементы $t,t'\in T$ сопряжены в группе $G$ тогда и только тогда, когда они сопряжены в группе $N_G(T)$, т.е. лежат в одной орбите группы Вейля $W=N_G(T)/Z_G(T)$.

Доказательство. Пусть $t=gt'g^{-1}$. Элемент $t$ принадлежит двум максимальным торам $T$ и $T'=gTg^{-1}$ редуктивной группы $H=Z_G(t)$. Найдётся такой $h\in H$, что $T=hT'h^{-1}$. Тогда $n=hg\in N_G(T)$ и $t=nt'n^{-1}$.

Таким образом, задача классификации элементов конечного порядка в группе $G$ с точностью до сопряжённости сводится к классификации элементов конечного порядка в $T$ с точностью до действия группы Вейля. Решим эту задачу.

Тор $T\simeq(\mathbb{C}^{\times})^l$ имеет разложение $T=T^+\times T^{\text{comp}}$, где $T^+\simeq(\mathbb{R}^+)^l$, $T^{\text{comp}}\simeq(S^1)^l$ — наибольшая компактная подгруппа в $T$, и их касательные алгебры Ли суть $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ и $\boldsymbol{i}\mathfrak{t}(\mathbb{R})$, соответственно. Элементы конечного порядка лежат в компактной части $T^{\text{comp}}$. Отображение \begin{align} \mathfrak{t}(\mathbb{R})&\longrightarrow T^{\text{comp}},&x\mapsto t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x) \end{align} является универсальным накрытием и гомоморфизмом групп Ли. Его ядро — решётка $\mathfrak{X}(T)^*$. Действие группы $W$ на $T^{\text{comp}}$ накрывается действием группы $W\rightthreetimes\mathfrak{X}(T)^*$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ аффинными преобразованиями, причём $W$ действует линейными преобразованиями, а $\mathfrak{X}(T)^*$ — сдвигами.

Рассмотрим вначале случай, когда $G$ односвязна. В этом случае $\mathfrak{X}(T)^*=Q^{\vee}$ — решётка кокорней, а $W\rightthreetimes\mathfrak{X}(T)^*=\widetilde{W}$ — аффинная группа Вейля. Фундаментальной областью действия $\widetilde{W}$ на $\mathfrak{t}(\mathbb{R})$ является замыкание фундаментального алькова $\bar{A}$.

Введём барицентрические координаты точки $x\in\mathfrak{t}(\mathbb{R})$: $$ x_i=\alpha_i(x)\quad(i=1,\dots,l),\quad x_0=\alpha_0(x)+1. $$ Они удовлетворяют условию $$ m_0x_0+m_1x_1+\dots+m_lx_l=1, $$ где $m_i\in\mathbb{N}$ — коэффициенты линейной зависимости между корнями в $\widetilde\Pi$. Тогда $\bar{A}$ — замкнутый симплекс, задаваемый неравенствами $x_0,x_1,\dots,x_l\ge0$. Его вершинами являются точки $$ 0,\frac{\omega_1^{\vee}}{m_1},\dots,\frac{\omega_l^{\vee}}{m_l} $$ с барицентрическими координатами $x_i=1/m_i$ и $x_j=0$ при $j\ne i$ ($i=0,1,\dots,l$).

Рассмотрим решётку ковесов $P^{\vee}$. Её точки характеризуются условием $x_0,x_1,\dots,x_l\in\mathbb{Z}$.

Элемент $t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)$ имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда $t^n=\exp(2\pi\boldsymbol{i}nx)=1$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$, т.е. $nx\in Q^{\vee}$. Поскольку решётка $Q^{\vee}$ имеет конечный индекс в $P^{\vee}$, это условие равносильно $x\in\frac1mP^{\vee}$ для некоторого $m\in\mathbb{N}$, т.е. $x_0,x_1,\dots,x_l\in\mathbb{Q}$. Положим $$ \bar{A}(\mathbb{Q})=\{x\in\bar{A}\mid x_0,x_1,\dots,x_l\in\mathbb{Q}\}. $$ Мы доказали следующую теорему.

Теорема 2. Соответствие $x\mapsto\tilde{t}=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)$ устанавливает биекцию $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{классы сопряжённости элементов} \\ \text{конечного порядка в $\widetilde{G}$} \end{array} \right\} \longleftrightarrow\bar{A}(\mathbb{Q}) $$ (здесь $\exp$ рассматривается как отображение $\mathfrak{g}\to\widetilde{G}$).

Вернёмся к произвольной простой алгебраической группе $G$.

Действие группы $\widetilde{W}$ заменяется действием большей группы $\widetilde{\widetilde{W}}=W\rightthreetimes\mathfrak{X}(T)^*$. Она тоже сохраняет конфигурацию гиперплоскостей $H_{\alpha,k}$ (поскольку $\mathfrak{X}(T)^*\subseteq P^{\vee}$) и переставляет альковы.

Возникает естественное действие факторгруппы $\widetilde{\widetilde{W}}/\widetilde{W}\simeq\mathfrak{X}(T)^*/Q^{\vee}\simeq\Gamma$ на $\bar{A}$: элемент группы $\widetilde{\widetilde{W}}$ переводит $\bar{A}$ в другой замкнутый альков, который мы затем возвращаем на исходное место с помощью единственного элемента группы $\widetilde{W}$. Всякий элемент группы $\Gamma$ представляется вектором $\gamma\in\mathfrak{X}(T)^*$, который действует на точку $x\in\bar{A}$ следующим образом: $x\mapsto x'=x+\gamma\mapsto x''$, где $x''\in\bar{A}$ — единственная точка, для которой $x''-x'\in Q^{\vee}$. В самом деле, корневое отражение, а значит, и любой элемент группы $\widetilde{W}$ сдвигает каждую точку на некоторый вектор из $Q^{\vee}$.

Группа $\Gamma$ действует на симплекс $\bar{A}$ аффинными изометриями и, следовательно, переставляет барицентрические координаты в соответствии с (некоторыми) автоморфизмами расширенной схемы Дынкина $\widetilde{\mathcal{D}}$, которая кодирует метрическую структуру фундаментального алькова. Мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Соответствие $x\mapsto t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)$ устанавливает биекцию $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{классы сопряжённости элементов} \\ \text{конечного порядка в $G$} \end{array} \right\} \longleftrightarrow\bar{A}(\mathbb{Q})/\Gamma $$ (здесь $\exp$ рассматривается как отображение $\mathfrak{g}\to G$).

В частности, для присоединённой группы получаем биекцию $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{классы сопряжённости элементов} \\ \text{конечного порядка в $G_{\text{ad}}$} \end{array} \right\} \longleftrightarrow\bar{A}(\mathbb{Q})/\Gamma_{\text{ad}}, $$ где $\Gamma_{\text{ad}}=P^{\vee}/Q^{\vee}$. Это также даёт классификацию внутренних автоморфизмов конечного порядка с точностью до сопряжённости в группе $\operatorname{Inn}(G)$.

Заметим, что $\bar{A}\cap P^{\vee}=\{0\}\cup\{\omega_i^{\vee}\mid m_i=1\}$ содержится в множестве вершин фундаментального алькова.

Лемма 2. Группа $\Gamma_{\text{ad}}$ действует на множестве $\bar{A}\cap P^{\vee}$ просто транзитивно.

Если мы хотим классифицировать внутренние автоморфизмы конечного порядка с точностью до сопряжённости в группе $\operatorname{Aut}(G)$, то нужно ещё учесть действие группы диаграммных автоморфизмов $\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$. Она переставляет барицентрические координаты $x_1,\dots,x_l$, оставляя на месте координату $x_0$. Из леммы 2 легко вытекает, что $\operatorname{Aut}(\mathcal{D})\rightthreetimes\Gamma_{\text{ad}}=\operatorname{Aut}(\widetilde{\mathcal{D}})$. Получается

Теорема 4. Соответствие $x\mapsto\theta=\operatorname{Inn}(t)$, $t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)$, устанавливает биекцию $$ \left\{ \begin{array}{c} \text{классы сопряжённости внутренних автоморфизмов} \\ \text{конечного порядка в группе $\operatorname{Aut}(G)$} \end{array} \right\} \longleftrightarrow\bar{A}(\mathbb{Q})/\operatorname{Aut}(\widetilde{\mathcal{D}}), $$ если $G$ — односвязная или присоединённая группа. В общем случае нужно заменить $\operatorname{Aut}(\widetilde{\mathcal{D}})$ на подгруппу $\mathcal{A}\rightthreetimes\Gamma_{\text{ad}}$ (см. теорему из прошлого семинара). На самом деле $\mathcal{A}$ совпадает с $\operatorname{Aut}(\mathcal{D})$ за исключением двух серий групп $G$ с алгебрами Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{4n}$ (так называемые полуспинорные группы), для которых она тривиальна.

Замечание. Если автоморфизм $\theta$ имеет порядок $m$, то $mx\in\mathfrak{X}(T_{\text{ad}})^*=P^{\vee}$, т.е. $x_0,x_1,\dots,x_l\in\frac1m\mathbb{Z}$. Поэтому вместо барицентрических координат удобнее рассматривать целые неотрицательные числа $n_i=mx_i$ ($i=0,1,\dots,l$). Они называются отметками Каца автоморфизма $\theta$ и удовлетворяют условию $$ m_0n_0+m_1n_1+\dots+m_ln_l=m. $$ Кроме того, числа $n_0,n_1,\dots,n_l$ взаимно просты в совокупности (иначе автоморфизм $\theta$ имел бы порядок меньше $m$). Расширенная схема Дынкина с отметками Каца называется схемой Каца.

Пример. Опишем с точностью до эквивалентности автоморфизмы порядков $m=2,3$ группы $G=SL_n$. Напомним, что расширенная схема Дынкина имеет вид цикла длины $n$ с однократными рёбрами, и все $m_i$ равны $1$.

m=2. Отметки Каца автоморфизма $\theta$ порядка $2$ имеют вид $n_i=n_j=1$, $n_k=0$ при $k\ne i,j$. С точностью до действия группы $\operatorname{Aut}(\widetilde{\mathcal{D}})$ можно считать, что $j=0$, $i\le n/2$. Соответствующая точка замкнутого фундаментального алькова имеет вид $$ x=\operatorname{diag}(\underbrace{\strut a,\dots,a}_i,\underbrace{a-\tfrac12,\dots,a-\tfrac12}_{n-i}),\qquad\operatorname{tr}(x)=0\implies a=\tfrac{n-i}{2n}. $$ С точностью до эквивалентности, $\theta$ есть сопряжение с элементом $$ t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)=\operatorname{diag}(\underbrace{b,\dots,b}_i,\underbrace{-b,\dots,-b}_{n-i}),\qquad b=e^{2\pi\boldsymbol{i}a}, $$ или с матрицей $$ \operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_i,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n-i}) $$ (которая, хоть и не лежит в $SL_n$, но задаёт ту же операцию сопряжения). Действие автоморфизма $\theta$ можно изобразить схемой $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \strut1 & -1 \\ \hline -1 & \strut1 \\ \hline \end{array}, $$ где в каждом блоке матрицы записан множитель, на который умножаются матричные элементы, и блоки по диагонали имеют размеры $i\times i$ и $(n-i)\times(n-i)$.

m=3. Ненулевые отметки Каца автоморфизма $\theta$ порядка $3$ имеют вид $n_i=2$, $n_j=1$ или $n_i=n_j=n_k=1$. С точностью до действия группы $\operatorname{Aut}(\widetilde{\mathcal{D}})$ можно считать, что $i=0$. Соответствующая точка замкнутого фундаментального алькова имеет вид $$ x=\operatorname{diag}(\underbrace{\strut a,\dots,a}_j,\underbrace{a-\tfrac13,\dots,a-\tfrac13}_{n-j}) \quad\text{или}\quad \operatorname{diag}(\underbrace{\strut a,\dots,a}_j,\underbrace{a-\tfrac13,\dots,a-\tfrac13}_{k-j},\underbrace{a-\tfrac23,\dots,a-\tfrac23}_{n-k}). $$ С точностью до эквивалентности, $\theta$ есть сопряжение с элементом $$ t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)=\operatorname{diag}(\underbrace{b,\dots,b}_j,\underbrace{b\varepsilon^{-1},\dots,b\varepsilon^{-1}}_{n-j}) \quad\text{или}\quad \operatorname{diag}(\underbrace{\strut b,\dots,b}_j,\underbrace{b\varepsilon^{-1},\dots,b\varepsilon^{-1}}_{k-j}, \underbrace{b\varepsilon^{-2},\dots,b\varepsilon^{-2}}_{n-k}), $$ где $b=e^{2\pi\boldsymbol{i}a}$ и $\varepsilon=e^{2\pi\boldsymbol{i}/3}$. Сопрягающий элемент $t$ можно заменить на матрицу $$ \operatorname{diag}(\underbrace{\varepsilon,\dots,\varepsilon}_j,\underbrace{1,\dots,1}_{n-j}) \quad\text{или}\quad \operatorname{diag}(\underbrace{\varepsilon,\dots,\varepsilon}_j,\underbrace{1,\dots,1}_{k-j}, \underbrace{\varepsilon^{-1},\dots,\varepsilon^{-1}}_{n-k}), $$ соответственно. Действие автоморфизма $\theta$ изображается схемой $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \strut1 & \varepsilon \\ \hline \varepsilon^2 & \strut1 \\ \hline \end{array} \quad\text{или}\quad \begin{array}{|c|c|c|} \hline \strut1 & \varepsilon & \varepsilon^2 \\ \hline \varepsilon^2 & \strut1 & \varepsilon \\ \hline \varepsilon & \varepsilon^2 & \strut1 \\ \hline \end{array}, $$ где блоки по диагонали имеют размеры $j\times j$ и $(n-j)\times(n-j)$, или $j\times j$, $(k-j)\times(k-j)$ и $(n-k)\times(n-k)$, соответственно.

Задача 22.1. В периодически градуированной полупростой алгебре Ли $\mathfrak{g}$ однородные компоненты $\mathfrak{g}_{\bar{p}}$ и $\mathfrak{g}_{\bar{q}}$ ортогональны друг другу, кроме случая $\bar{q}=-\bar{p}$, а пространства $\mathfrak{g}_{\bar{p}}$ и $\mathfrak{g}_{-\bar{p}}$ двойственны друг другу относительно формы Киллинга.

Задача 22.2. Доказать лемму 2.

Задача 22.3. Дать описание внутренних автоморфизмов порядка $2$ с помощью схем Каца и в явном виде для группы a) $SO_n$ б) $Sp_{2n}$.

Задача 22.4. Сколько имеется внутренних автоморфизмов порядка $3$, с точностью до эквивалентности, для группы a) $SO_{2n}$ б) $SO_{2n+1}$ в) $Sp_{2n}$?