Напомним, что всякий автоморфизм конечного порядка полупростой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ задаёт её периодическую градуировку. Градуировки, отвечающие внутренним автоморфизмам, будем называть периодическими градуировками внутреннего типа. Присоединённое действие группы $G$ (алгебры $\mathfrak{g}$) на $\mathfrak{g}$ задаёт линейные представления \begin{align} R_{\bar{k}}:G_{\bar0}&\longrightarrow GL(\mathfrak{g}_{\bar{k}}),\\ dR_{\bar{k}}:\mathfrak{g}_{\bar0}&\longrightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}_{\bar{k}}), \end{align} где $G_{\bar0}\subset G$ — связная подгруппа, соответствующая подалгебре $\mathfrak{g}_{\bar0}\subset\mathfrak{g}$. Из задачи 22.1 следует, что линейные представления $R_{\bar{k}}$ и $R_{-\bar{k}}$ двойственны друг другу. Линейные группы вида $\operatorname{Im}R_{\bar{k}}$ принято называть $\theta$-группами.

Как определить группу $G_{\bar0}$ и её представления $R_{\bar{k}}$ в в пространствах $\mathfrak{g}_{\bar{k}}$ по схеме Каца внутреннего автоморфизма $\theta$ порядка $m$?

Поскольку $d\theta=\operatorname{Ad}(t)$ ($t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)\in T$, $x\in\bar{A}$) действует на $\mathfrak{t}$ тривиально, имеем $\mathfrak{t}\subseteq\mathfrak{g}_{\bar{0}}$.

На корневом подпространстве $\mathfrak{g}_{\alpha_i}$ ($i=0,\dots,l$) автоморфизм $d\theta$ действует умножением на $$t^{\alpha_i}=e^{2\pi\boldsymbol{i}\,\alpha_i(x)}=e^{2\pi\boldsymbol{i}\,n_i/m},$$ т.е. $\mathfrak{g}_{\alpha_i}\subseteq\mathfrak{g}_{\overline{n_i}}$. Аналогично, для любого корня $\alpha=k_1\alpha_1+\dots+k_l\alpha_l$ имеем $\mathfrak{g}_{\alpha}\subseteq\mathfrak{g}_{\overline{k}}$, где $k=k_1n_1+\dots+k_ln_l$.

Предложение. Множество $$\Pi_0=\{\alpha_i\in\widetilde\Pi\mid n_i=0\}$$ образует систему простых корней редуктивной группы $G_{\bar0}$, и $$ Z(G_{\bar0})=\{t\in T\mid t^{\alpha_i}=1,\ \forall\alpha_i\in\Pi_0\}. $$ В частности, $G_{\bar0}$ полупроста тогда и только тогда, когда $|\Pi_0|=l$.

С помощью схемы Каца можно описать также и представления $R_{\bar{k}}$.

В примере из прошлого семинара матричные схемы описывают также действие автоморфизма $\theta$ на алгебру Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$. Подпространства $\mathfrak{g}_{\bar{k}}$ состоят из матриц, у которых ненулевые блоки возможны лишь на тех местах, где записан соответствующий множитель $e^{2\pi\boldsymbol{i}k/m}$.

предыдущий семинар	14 апреля 2017 г.	следующий семинар
Тема 23 Периодические градуировки внутреннего типа Напомним, что всякий автоморфизм конечного порядка полупростой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ задаёт её периодическую градуировку. Градуировки, отвечающие внутренним автоморфизмам, будем называть периодическими градуировками внутреннего типа. Присоединённое действие группы $G$ (алгебры $\mathfrak{g}$) на $\mathfrak{g}$ задаёт линейные представления \begin{align} R_{\bar{k}}:G_{\bar0}&\longrightarrow GL(\mathfrak{g}_{\bar{k}}),\\ dR_{\bar{k}}:\mathfrak{g}_{\bar0}&\longrightarrow\mathfrak{gl}(\mathfrak{g}_{\bar{k}}), \end{align} где $G_{\bar0}\subset G$ — связная подгруппа, соответствующая подалгебре $\mathfrak{g}_{\bar0}\subset\mathfrak{g}$. Из задачи 22.1 следует, что линейные представления $R_{\bar{k}}$ и $R_{-\bar{k}}$ двойственны друг другу. Линейные группы вида $\operatorname{Im}R_{\bar{k}}$ принято называть $\theta$-группами. Как определить группу $G_{\bar0}$ и её представления $R_{\bar{k}}$ в в пространствах $\mathfrak{g}_{\bar{k}}$ по схеме Каца внутреннего автоморфизма $\theta$ порядка $m$? Поскольку $d\theta=\operatorname{Ad}(t)$ ($t=\exp(2\pi\boldsymbol{i}x)\in T$, $x\in\bar{A}$) действует на $\mathfrak{t}$ тривиально, имеем $\mathfrak{t}\subseteq\mathfrak{g}_{\bar{0}}$. На корневом подпространстве $\mathfrak{g}_{\alpha_i}$ ($i=0,\dots,l$) автоморфизм $d\theta$ действует умножением на $$t^{\alpha_i}=e^{2\pi\boldsymbol{i}\,\alpha_i(x)}=e^{2\pi\boldsymbol{i}\,n_i/m},$$ т.е. $\mathfrak{g}_{\alpha_i}\subseteq\mathfrak{g}_{\overline{n_i}}$. Аналогично, для любого корня $\alpha=k_1\alpha_1+\dots+k_l\alpha_l$ имеем $\mathfrak{g}_{\alpha}\subseteq\mathfrak{g}_{\overline{k}}$, где $k=k_1n_1+\dots+k_ln_l$. Предложение. Множество $$\Pi_0=\{\alpha_i\in\widetilde\Pi\mid n_i=0\}$$ образует систему простых корней редуктивной группы $G_{\bar0}$, и $$ Z(G_{\bar0})=\{t\in T\mid t^{\alpha_i}=1,\ \forall\alpha_i\in\Pi_0\}. $$ В частности, $G_{\bar0}$ полупроста тогда и только тогда, когда $\|\Pi_0\|=l$. С помощью схемы Каца можно описать также и представления $R_{\bar{k}}$. В примере из прошлого семинара матричные схемы описывают также действие автоморфизма $\theta$ на алгебру Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$. Подпространства $\mathfrak{g}_{\bar{k}}$ состоят из матриц, у которых ненулевые блоки возможны лишь на тех местах, где записан соответствующий множитель $e^{2\pi\boldsymbol{i}k/m}$. Задачи Задача 23.1. Доказать предложение. Задача 23.2. Описать группу $G_{\bar0}$ и её представление в пространстве $\mathfrak{g}_{\bar{1}}$ для внутренних градуировок периода $2$ и $3$ алгебры Ли a) $\mathfrak{so}_{2n}$ б) $\mathfrak{so}_{2n+1}$ в) $\mathfrak{sp}_{2n}$.