Пусть $\mathfrak{g}$ — полупростая алгебра Ли.

Определение 1. Подалгебра $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ называется регулярной, если она нормализуется некоторой подалгеброй Картана $\mathfrak{t}$ алгебры $\mathfrak{g}$, т.е. если $[\mathfrak{t},\mathfrak{h}]\subset\mathfrak{h}$.

В частности, всякая подалгебра, содержащая картановскую подалгебру алгебры $\mathfrak{g}$, является регулярной. Такие подалгебры называются подалгебрами максимального ранга.

В дальнейшем мы будем считать картановскую подалгебру $\mathfrak{t}$ фиксированной.

Рассмотрим корневое разложение $$\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}.$$ Очевидно, что всякая регулярная подалгебра $\mathfrak{h}$ имеет вид $$\mathfrak{h}=\mathfrak{s}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Gamma}\mathfrak{g}_{\alpha},$$ где $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{t}$ — некоторое подпространство, а $\Gamma\subset\Delta$ — подмножество, обладающее свойством $$\tag{1} \alpha,\beta\in\Gamma,\ \alpha+\beta\in\Delta \implies \alpha+\beta\in\Gamma.$$ Кроме того, $$\tag{2} \alpha, -\alpha\in\Gamma \implies h_{\alpha}\in\mathfrak{s}.$$

По задаче 24.1, полупростые регулярные подалгебры соответствуют подмножествам $\Gamma$ системы корней $\Delta$, замкнутым (в $\Delta$) относительно сложения и умножения на $-1$. Такие подмножества $\Gamma$ будем называть подсистемами корней системы $\Delta$, а соответствующие полупростые регулярные подалгебры будем обозначать через $\mathfrak{g}(\Gamma)$.

Имеются два основных способа построения полупростых регулярных подалгебр.

Первый способ. Пусть $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$ — какая-либо система простых корней алгебры $\mathfrak{g}$. Для произвольного подмножества $I\subset\{1,\dots,l\}$ положим $$\Gamma(I)=\Delta\cap\langle\alpha_i\mid i\in I\rangle.$$

Очевидно, что $\Gamma(I)$ — подсистема корней.

Получаемые таким образом полупростые регулярные подалгебры называются (полупростыми) подалгебрами Леви. Системой простых корней подалгебры $\mathfrak{g}(\Gamma(I))$ является $\{\alpha_i\mid i\in I\}.$

Второй способ. Пусть алгебра $\mathfrak{g}$ простая, $\widetilde\Pi=\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$ — расширенная система её простых корней. Как известно, она удовлетворяет линейной зависимости $$\alpha_0+m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l=0 \qquad (m_i \in\mathbb{N}).$$ Возьмём какой-нибудь простой корень $\alpha_s$ с $m_s\ne 1$ и положим $$\Gamma_s=\left\{\strut\alpha=k_1\alpha_1+\dots+k_l\alpha_l\in\Delta\,\right|\,\left.\strut m_s|k_s\right\}.$$ (На самом деле возможны только случаи $k_i=0$ или $\pm m_i$.) Очевидно, что $\Gamma_s$ — подсистема корней.

Одной из систем простых корней алгебры $\mathfrak{g}(\Gamma_s)$ является множество $\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\not{\!\alpha_s},\dots,\alpha_l\}$ (задача 24.2). Будем говорить, что алгебра $\mathfrak{g}(\Gamma_s)$ получается из $\mathfrak{g}$ заменой Дынкина (простого корня $\alpha_s$ на младший корень $\alpha_0$).

Примеры.

Всякая подалгебра Леви алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ есть подалгебра $\mathfrak{sl}_{n_1}\oplus\dots\oplus\mathfrak{sl}_{n_k}$ ($n_1+\dots+n_k=n$) блочно-диагональных матриц.
Для $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ имеем $m_1=\dots=m_l=1$, так что нетривиальных замен Дынкина нет.

Для $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$ имеем \begin{gather} \alpha_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ \dots\ ,\ \alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n,\ \alpha_n=\varepsilon_n,\ \alpha_0=-\varepsilon_1-\varepsilon_2,\\ m_1=1,\ m_2=\dots=m_{n-1}=m_n=2, \end{gather} где $\varepsilon_i(X)=x_i$ — координатные функции на картановской подалгебре $\mathfrak{t}$, состоящей из матриц вида $$X=\operatorname{diag}(x_1,\dots,x_n,0,-x_n,\dots,-x_1)$$ (см. задачи 14.2 а и 19.3 б). При замене Дынкина $\alpha_k\rightsquigarrow\alpha_0$ $(k\ge 2)$ получаем подалгебру Ли, изоморфную $\mathfrak{so}_{2k}\oplus\mathfrak{so}_{2(n-k)+1}$. Она реализуется как подалгебра блочно-диагональных матриц в соответствующем базисе пространства $\mathbb{C}^{2n+1}$ (задача 24.3).

Определение 2. Подмножество $\mathrm{P}\subset\Delta$ называется $\Pi$-системой, если оно линейно независимо и $\alpha-\beta\notin\Delta$ при $\alpha,\beta\in\mathrm{P}$.

В частности, всякая система простых корней является $\Pi$-системой.

Теорема. Пусть $\mathrm{P}=\{\beta_1,\dots,\beta_k\}\subset\Delta$ — $\Pi$-система, $\mathfrak{h}_+$ (соответственно $\mathfrak{h}_-$) — подалгебра алгебры $\mathfrak{g}$, порождённая корневыми векторами $e_{\beta_i}$ (соответственно $f_{\beta_i}=e_{-\beta_i}$) и $\mathfrak{s}=\langle h_{\beta_1},\dots,h_{\beta_k}\rangle$. Тогда

$\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_-\oplus\mathfrak{s}\oplus\mathfrak{h}_+$ — полупростая регулярная подалгебра, $\mathfrak{s}$ — её картановская подалгебра, и $\mathrm{P}$ — возможная система простых корней алгебры $\mathfrak{h}$.
Система корней $\Gamma$ алгебры $\mathfrak{h}$ совпадает с $\langle\mathrm{P}\rangle_{\mathbb{Z}}\cap\Delta$.

Доказательство второй части теоремы. Нужно доказать, что если $\alpha=p_1\beta_1+\dots+p_k\beta_k\in\Delta$, то $\alpha\in\Gamma$. Докажем это индукцией по $\sum_i|p_i|$. Имеем $$0<(\alpha,\alpha)=\sum_i p_i(\alpha,\beta_i).$$ Следовательно, существует такое $i$, что либо $p_i>0$ и $(\alpha,\beta_i)>0$, либо $p_i<0$ и $(\alpha,\beta_i)<0$. В первом случае $\alpha-\beta_i\in\Delta$ и по предположению индукции $\alpha-\beta_i\in\Gamma$, а значит $\alpha=(\alpha-\beta_i)+\beta_i\in\Gamma$. Второй случай рассматривается аналогично.

предыдущий семинар	21 апреля 2017 г.	следующий семинар
Тема 24 Регулярные подалгебры полупростых алгебр Ли Пусть $\mathfrak{g}$ — полупростая алгебра Ли. Определение 1. Подалгебра $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ называется регулярной, если она нормализуется некоторой подалгеброй Картана $\mathfrak{t}$ алгебры $\mathfrak{g}$, т.е. если $[\mathfrak{t},\mathfrak{h}]\subset\mathfrak{h}$. В частности, всякая подалгебра, содержащая картановскую подалгебру алгебры $\mathfrak{g}$, является регулярной. Такие подалгебры называются подалгебрами максимального ранга. В дальнейшем мы будем считать картановскую подалгебру $\mathfrak{t}$ фиксированной. Рассмотрим корневое разложение $$\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Delta}\mathfrak{g}_{\alpha}.$$ Очевидно, что всякая регулярная подалгебра $\mathfrak{h}$ имеет вид $$\mathfrak{h}=\mathfrak{s}\oplus\bigoplus_{\alpha\in\Gamma}\mathfrak{g}_{\alpha},$$ где $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{t}$ — некоторое подпространство, а $\Gamma\subset\Delta$ — подмножество, обладающее свойством $$\tag{1} \alpha,\beta\in\Gamma,\ \alpha+\beta\in\Delta \implies \alpha+\beta\in\Gamma.$$ Кроме того, $$\tag{2} \alpha, -\alpha\in\Gamma \implies h_{\alpha}\in\mathfrak{s}.$$ По задаче 24.1, полупростые регулярные подалгебры соответствуют подмножествам $\Gamma$ системы корней $\Delta$, замкнутым (в $\Delta$) относительно сложения и умножения на $-1$. Такие подмножества $\Gamma$ будем называть подсистемами корней системы $\Delta$, а соответствующие полупростые регулярные подалгебры будем обозначать через $\mathfrak{g}(\Gamma)$. Имеются два основных способа построения полупростых регулярных подалгебр. Первый способ. Пусть $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$ — какая-либо система простых корней алгебры $\mathfrak{g}$. Для произвольного подмножества $I\subset\{1,\dots,l\}$ положим $$\Gamma(I)=\Delta\cap\langle\alpha_i\mid i\in I\rangle.$$ Очевидно, что $\Gamma(I)$ — подсистема корней. Получаемые таким образом полупростые регулярные подалгебры называются (полупростыми) подалгебрами Леви. Системой простых корней подалгебры $\mathfrak{g}(\Gamma(I))$ является $\{\alpha_i\mid i\in I\}.$ Второй способ. Пусть алгебра $\mathfrak{g}$ простая, $\widetilde\Pi=\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l\}$ — расширенная система её простых корней. Как известно, она удовлетворяет линейной зависимости $$\alpha_0+m_1\alpha_1+\dots+m_l\alpha_l=0 \qquad (m_i \in\mathbb{N}).$$ Возьмём какой-нибудь простой корень $\alpha_s$ с $m_s\ne 1$ и положим $$\Gamma_s=\left\{\strut\alpha=k_1\alpha_1+\dots+k_l\alpha_l\in\Delta\,\right\|\,\left.\strut m_s\|k_s\right\}.$$ (На самом деле возможны только случаи $k_i=0$ или $\pm m_i$.) Очевидно, что $\Gamma_s$ — подсистема корней. Одной из систем простых корней алгебры $\mathfrak{g}(\Gamma_s)$ является множество $\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\not{\!\alpha_s},\dots,\alpha_l\}$ (задача 24.2). Будем говорить, что алгебра $\mathfrak{g}(\Gamma_s)$ получается из $\mathfrak{g}$ заменой Дынкина (простого корня $\alpha_s$ на младший корень $\alpha_0$). Примеры. Всякая подалгебра Леви алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ есть подалгебра $\mathfrak{sl}_{n_1}\oplus\dots\oplus\mathfrak{sl}_{n_k}$ ($n_1+\dots+n_k=n$) блочно-диагональных матриц. Для $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n$ имеем $m_1=\dots=m_l=1$, так что нетривиальных замен Дынкина нет. Для $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}_{2n+1}$ имеем \begin{gather} \alpha_1=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ \dots\ ,\ \alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n,\ \alpha_n=\varepsilon_n,\ \alpha_0=-\varepsilon_1-\varepsilon_2,\\ m_1=1,\ m_2=\dots=m_{n-1}=m_n=2, \end{gather} где $\varepsilon_i(X)=x_i$ — координатные функции на картановской подалгебре $\mathfrak{t}$, состоящей из матриц вида $$X=\operatorname{diag}(x_1,\dots,x_n,0,-x_n,\dots,-x_1)$$ (см. задачи 14.2 а и 19.3 б). При замене Дынкина $\alpha_k\rightsquigarrow\alpha_0$ $(k\ge 2)$ получаем подалгебру Ли, изоморфную $\mathfrak{so}_{2k}\oplus\mathfrak{so}_{2(n-k)+1}$. Она реализуется как подалгебра блочно-диагональных матриц в соответствующем базисе пространства $\mathbb{C}^{2n+1}$ (задача 24.3). Определение 2. Подмножество $\mathrm{P}\subset\Delta$ называется $\Pi$-системой, если оно линейно независимо и $\alpha-\beta\notin\Delta$ при $\alpha,\beta\in\mathrm{P}$. В частности, всякая система простых корней является $\Pi$-системой. Теорема. Пусть $\mathrm{P}=\{\beta_1,\dots,\beta_k\}\subset\Delta$ — $\Pi$-система, $\mathfrak{h}_+$ (соответственно $\mathfrak{h}_-$) — подалгебра алгебры $\mathfrak{g}$, порождённая корневыми векторами $e_{\beta_i}$ (соответственно $f_{\beta_i}=e_{-\beta_i}$) и $\mathfrak{s}=\langle h_{\beta_1},\dots,h_{\beta_k}\rangle$. Тогда $\mathfrak{h}=\mathfrak{h}_-\oplus\mathfrak{s}\oplus\mathfrak{h}_+$ — полупростая регулярная подалгебра, $\mathfrak{s}$ — её картановская подалгебра, и $\mathrm{P}$ — возможная система простых корней алгебры $\mathfrak{h}$. Система корней $\Gamma$ алгебры $\mathfrak{h}$ совпадает с $\langle\mathrm{P}\rangle_{\mathbb{Z}}\cap\Delta$. Доказательство второй части теоремы. Нужно доказать, что если $\alpha=p_1\beta_1+\dots+p_k\beta_k\in\Delta$, то $\alpha\in\Gamma$. Докажем это индукцией по $\sum_i\|p_i\|$. Имеем $$0<(\alpha,\alpha)=\sum_i p_i(\alpha,\beta_i).$$ Следовательно, существует такое $i$, что либо $p_i>0$ и $(\alpha,\beta_i)>0$, либо $p_i<0$ и $(\alpha,\beta_i)<0$. В первом случае $\alpha-\beta_i\in\Delta$ и по предположению индукции $\alpha-\beta_i\in\Gamma$, а значит $\alpha=(\alpha-\beta_i)+\beta_i\in\Gamma$. Второй случай рассматривается аналогично. Задачи Задача 24.1. Регулярная подалгебра $\mathfrak{h}$ является полупростой тогда и только тогда, когда подмножество $\Gamma\subset\Delta$ вместе со всяким корнем $\alpha$ содержит $-\alpha$, и подпространство $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{t}$ порождается элементами $h_{\alpha}$ из $\mathfrak{sl}_2$-троек, соответствующих корням $\alpha\in\Gamma$. При этом $\Gamma$ (точнее, $\Gamma\|_{\mathfrak{s}}$) является системой корней алгебры $\mathfrak{h}$ (относительно картановской подалгебры $\mathfrak{s}$). Задача 24.2. Доказать, что множество $\{\alpha_0,\alpha_1,\dots,\not{\!\alpha_s},\dots,\alpha_l\}$ является системой простых корней алгебры $\mathfrak{g}(\Gamma_s)$. Задача 24.3. Регулярная подалгебра в примере 3 описывается как совокупность кососимметрических операторов, сохраняющих разложение пространства $\mathbb{C}^{2n+1}$ в ортогональную прямую сумму подпространств размерностей $2k$ и $2(n-k)+1$. Задача 24.4. Доказать первую часть теоремы.