Теорема 1. Всякая $\Pi$-система $\mathrm{P}$ содержится в некоторой $\Pi$-системе мощности $l=\operatorname{rk}\mathfrak{g}$.

Доказательство. Если $|\mathrm{P}|< l$, то существует корень $\alpha\in\Delta$, не принадлежащий $\langle\mathrm{P}\rangle$. Вычитая из него корни из $\mathrm{P}$ до тех пор, пока это возможно, в конце концов получаем такой корень $\beta$, что $\mathrm{P}\cup\{\beta\}$ — $\Pi$-система. Повторяя процедуру необходимое число раз, придём к $\Pi$-системе максимального ранга.

Следствие. Всякая регулярная полупростая подалгебра является подалгеброй Леви в некоторой полупростой подалгебре максимального ранга.

Напомним, что система ненулевых векторов $\{\alpha_1,\dots,\alpha_k\}$ евклидова пространства называется тупоугольной, если $(\alpha_i,\alpha_j)\le 0$ для любых различных $i,j$. Всякая тупоугольная система однозначно разлагается в объединение попарно ортогональных (тупоугольных) систем. Всякая неразложимая тупоугольная система либо линейно независима, либо связана единственным (с точностью до пропорциональности) линейным соотношением с положительными коэффициентами (задача 17.1 б).

Теорема 2. Всякая $\Pi$-система $P$ максимального ранга может быть получена из системы простых корней системы $\Delta$ несколькими последовательными заменами Дынкина. (Если на каком-то шаге получается разложимая $\Pi$-система, то замена Дынкина применяется к одной из её неразложимых компонент.)

Доказательство этой теоремы использует одно следствие классификации неразложимых тупоугольных систем векторов $P$, удовлетворяющих условию $$ \tag{$*$} \langle\alpha|\beta\rangle\in\mathbb{Z},\qquad \forall \alpha,\beta\in P. $$ Линейно независимые системы векторов такого вида — это в точности системы простых корней простых алгебр Ли, так что их классификация равнозначна классификации простых алгебр Ли. Это элементарная задача линейной алгебры, сводящаяся к вычислению некоторых определителей.

Линейно зависимые системы векторов такого вида также могут быть классифицированы. Это в точности расширенные системы простых корней простых алгебр Ли, а также системы, схемы Дынкина которых получаются из расширенных схем Дынкина произвольной заменой направлений кратных рёбер (если таковые имеются). Нам понадобится следующий факт, являющийся следствием этой классификации.

Факт. Всякая линейно зависимая неразложимая тупоугольная система векторов, удовлетворяющая условию $(*)$, связана линейной зависимостью с положительными целыми коэффициентами, хотя бы один из которых равен единице. Иначе говоря, хотя один из этих векторов является целочисленной линейной комбинацией остальных.

Доказательство теоремы 2. Пусть $P$ — $\Pi$-система максимального ранга. Если $\Delta\subset\langle P\rangle_{\mathbb{Z}}$, то по теореме предыдущего семинара $P$ — система простых корней системы $\Delta$.

В противном случае возьмём какой-нибудь корень, не принадлежащий подсистеме $\Gamma=\langle P\rangle_{\mathbb{Z}}\cap\Delta$, и будем последовательно вычитать из него корни из $P$, как в доказательстве теоремы 1. В конце концов получим такой корень $\alpha\in\Delta$ (также не принадлежащий $\Gamma$), что $\alpha-\beta\notin\Delta$ для любого $\beta\in P$. Тогда $P\cup\{\alpha\}$ — тупоугольная система векторов, удовлетворяющая условию $(*)$, неразложимая компонента которой, содержащая $\alpha$, линейно зависима.

Пусть $\alpha_0$ — корень из этой компоненты, являющийся целочисленной линейной комбинацией остальных. Тогда $P'=(P\setminus\{\alpha_0\})\cup\{\alpha\}$ — $\Pi$-система, причём соответствующая система корней $\Gamma'=\langle P'\rangle_{\mathbb{Z}}\cap\Delta$ строго содержит $\Gamma$.

Обратный переход от $P'$ к $P$ — это замена Дынкина. Если $\Gamma'\ne\Delta$, то повторим описанную процедуру и рано или поздно обратными заменами Дынкина придём к системе простых корней системы $\Delta$.

В качестве упражнения можно показать, что простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_8$ (её схема Дынкина получается из схемы $\mathsf{A}_7$ добавлением одной вершины, соединённой с 3-й вершиной схемы $\mathsf{A}_7$ однократным ребром) содержит (регулярную) подалгебру типа $8\mathsf{A}_1$, а простая алгебра Ли типа $\mathsf{E}_6$ (чья схема Дынкина получается аналогичным способом из схемы $\mathsf{A}_5$) не содержит подалгебры типа $6\mathsf{A}_1$.

Простой ответ на вопрос, когда простая алгебра Ли ранга $l$ содержит подалгебру типа $l\mathsf{A}_1$, основанный на других соображениях, даётся в задачах 25.1 и 25.2. В них используется следующее

Определение. Корни $\alpha,\beta\in\Delta$ называются строго ортогональными, если $\alpha\pm\beta\notin\Delta\cup\{0\}$ (и тогда автоматически $(\alpha,\beta)=0$).

Задача 25.1. Доказать, что всякий элемент $w$ группы Вейля, удовлетворяющий условию $w^2=E$, можно представить в виде произведения отражений относительно попарно строго ортогональных корней в количестве, равном кратности собственного значения $-1$ оператора $w$.

Задача 25.2. Доказать, что простая алгебра Ли ранга $l$ содержит подалгебру типа $l\mathsf{A}_1$ тогда и только тогда, когда её группа Вейля содержит $-E$.