Один из наиболее известных результатов теории особенностей — классификация простых ростков аналитических функций, полученная В.И. Арнольдом в 1972 году. Простые ростки — это такие ростки функций, некоторая окрестность которых в пространстве ростков с критической точкой пересекает только конечное число орбит группы аналитических замен координат. Иными словами, класс эквивалентности (относительно замен координат) такого ростка при малой деформации может поменяться только на один из конечного числа классов, примыкающих к нему. Примером такого ростка может служить росток с невырожденной критической точкой — при малой деформации критическая точка остаётся невырожденной, и в соответствии с леммой Морса продеформированный росток после подходящей замены координат равен исходному.

Задача о классификации ростков функций получила дальнейшее развитие в виде задачи о классификации простых ростков, инвариантных относительно действия некоторой группы. Эта проблема оказалась весьма сложной — у любой группы существует сколь угодно много неэквивалентных действий, и даже для фиксированного действия, вообще говоря, не понятно, функции какого порядка начинают иметь модули. По-видимому, наиболее общие результаты по классификации простых инвариантных ростков получены в работах С.М. Гусейн-Заде и А.-М. Раух.

Оказалось, однако, что классификации поддаются «самые простые из простых» особенностей — так называемые устойчивые ростки. В случае тривиального (или вещественного) действия группы устойчивым ростком является росток с невырожденной критической точкой, а при рассмотрении различных действий группы мы получаем целый зоопарк различных устойчивых ростков.

Задача о классификации и критериях существования простых и устойчивых ростков допускает переформулировку в чисто алгебраических терминах: для некоторого действия простые ростки существуют в том и только том случае, когда существует такой инвариантный полином, что идеал, порождённый его частными производными первого порядка, содержит идеал, порождённый всеми инвариантами положительной степени. В этом случае такой полином является устойчивым ростком.

В докладе планируется обсудить ряд результатов о классификации и существовании простых и устойчивых инвариантных ростков, а также открытые вопросы чисто алгебраического характера, возникающие в связи с данной задачей.

Литература:

В.И. Арнольд, «Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля $A_k$, $D_k$, $E_k$ и лагранжевы особенности», Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 3–25.
В.И. Арнольд, «Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек», УМН, 29:2(176) (1974), 11–49.
С.М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, «О простых $\mathbb{Z}_2$-инвариантных и угловых ростках функций», Матем. заметки, 107:6 (2020), 855–864.
С.М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, «О простых $\mathbb{Z}_3$-инвариантных ростках функций», Функц. анализ и его прил., 55:1 (2021), 56–64.

	3 декабря 2026 г.
Иван Проскурнин (НИУ ВШЭ) Простые и устойчивые инвариантные ростки функций Один из наиболее известных результатов теории особенностей — классификация простых ростков аналитических функций, полученная В.И. Арнольдом в 1972 году. Простые ростки — это такие ростки функций, некоторая окрестность которых в пространстве ростков с критической точкой пересекает только конечное число орбит группы аналитических замен координат. Иными словами, класс эквивалентности (относительно замен координат) такого ростка при малой деформации может поменяться только на один из конечного числа классов, примыкающих к нему. Примером такого ростка может служить росток с невырожденной критической точкой — при малой деформации критическая точка остаётся невырожденной, и в соответствии с леммой Морса продеформированный росток после подходящей замены координат равен исходному. Задача о классификации ростков функций получила дальнейшее развитие в виде задачи о классификации простых ростков, инвариантных относительно действия некоторой группы. Эта проблема оказалась весьма сложной — у любой группы существует сколь угодно много неэквивалентных действий, и даже для фиксированного действия, вообще говоря, не понятно, функции какого порядка начинают иметь модули. По-видимому, наиболее общие результаты по классификации простых инвариантных ростков получены в работах С.М. Гусейн-Заде и А.-М. Раух. Оказалось, однако, что классификации поддаются «самые простые из простых» особенностей — так называемые устойчивые ростки. В случае тривиального (или вещественного) действия группы устойчивым ростком является росток с невырожденной критической точкой, а при рассмотрении различных действий группы мы получаем целый зоопарк различных устойчивых ростков. Задача о классификации и критериях существования простых и устойчивых ростков допускает переформулировку в чисто алгебраических терминах: для некоторого действия простые ростки существуют в том и только том случае, когда существует такой инвариантный полином, что идеал, порождённый его частными производными первого порядка, содержит идеал, порождённый всеми инвариантами положительной степени. В этом случае такой полином является устойчивым ростком. В докладе планируется обсудить ряд результатов о классификации и существовании простых и устойчивых инвариантных ростков, а также открытые вопросы чисто алгебраического характера, возникающие в связи с данной задачей. Литература: В.И. Арнольд, «Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических точек, группы Вейля $A_k$, $D_k$, $E_k$ и лагранжевы особенности», Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 3–25. В.И. Арнольд, «Нормальные формы функций в окрестности вырожденных критических точек», УМН, 29:2(176) (1974), 11–49. С.М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, «О простых $\mathbb{Z}_2$-инвариантных и угловых ростках функций», Матем. заметки, 107:6 (2020), 855–864. С.М. Гусейн-Заде, А.-М. Я. Раух, «О простых $\mathbb{Z}_3$-инвариантных ростках функций», Функц. анализ и его прил., 55:1 (2021), 56–64.