Некоторые задачи Антона А. Клячко

для школьников, первокурсников и второкурсников

Профессор Наблюдательный
 
Всемехматская студенческая олимпиада, 2021
Прочитав курс из тридцати лекций по теории конечных множеств, профессор Наблюдательный задумался: на каждой лекции, начиная со второй, не менее десяти студентов занимали не те места, на которых они сидели в прошлый раз; означает ли это, что для некоторого множества студентов X множество мест, занятых студентами из X, изменялось на каждой лекции? Можете считать, что число мест совпадает с числом студентов и прогульщиков нет.
(совместно с А.Л.Канунниковым)
 
Важные элементы матрицы
 
XIV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2019
Назовём элемент квадратной матрицы важным, если определитель этой матрицы можно изменить, изменив только этот элемент.
а) Существует ли вещественная матрица сто на сто, содержащая ровно два важных элемента?
б) Сколько существует матриц 6x6 над ℤ2, содержащих ровно пять важных элементов?
Не совсем базисы
 
XIV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2019
Студент Двоечкин убеждён, что вещественные векторы v1,...,vk называются линейно независимыми, если из равенства ∑λivi=0 (где λi∈ℝ) вытекает, что ∑λi=0. Может ли конечное множество векторов содержать меньше базисов, чем Д-базисов (то есть максимальных по включению линейно независимых в смысле Двоечкина подмножеств)?
Мало классов
 
XIV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2019
Покажите, что число неизоморфных конечных групп, содержащих менее миллиона классов сопряжённости, конечно.
 
(Этот факт «широко известен в узких кругах».)
Квадраты только избранным
 
XIV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2019
Покажите, что в каждой неединичной конечной группе найдётся элемент, не сопряжённый своему квадрату.
Целая и ортогональная
 
XIV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2019
Покажите, что целочисленная матрица A подобна (в GLn(ℝ)) ортогональной матрице тогда и только тогда, когда Am=E для некоторого натурального m.
По модулю...
 
X Республиканская студенческая предметная олимпиада (Астана), 2019
Покажите, что система линейных уравнений с целыми коэффициентами разрешима в целых числах тогда и только тогда, когда она разрешима по модулю любого натурального числа. При этом решение в целых числах единственно тогда и только тогда, когда решение единственно по модулю...
Помогите составителям закончить задачку и решите её.
Сколько-сколько элементов порядка сто?!
 
XIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2018
Покажите, что в любой группе число элементов порядка сто делится на сорок. Может ли их быть 80? А 120?
Растопыренные группы
 
XIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2018
Теорема Кэли говорит, что всякая конечная группа G вкладывается в симметрическую группу S|G|. Назовём конечную группу растопыренной, если её нельзя вложить в S|G|-1. Опишите все
а) простые растопыренные группы;
б) абелевы растопыренные группы.
Найдите самую маленькую неабелеву растопыренную группу.
Равномерно вырожденные матрицы
 
XIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2018
Назовём квадратную матрицу равномерно вырожденной, если каждая её строка линейно выражается через остальные строки. Верно ли, что всякая вырожденная матрица раскладывается в произведение невырожденной и равномерно вырожденной?
Сточлен
 
XIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2018
Покажите, что комплексный сточлен от ста переменных либо не имеет корней, все координаты которых по модулю равны единице, либо имеет их бесконечно много. (Сточлен — это многочлен, у которого сто мономов.)
Верхненижнее разложение
 
XII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2017
Верно ли, что всякую комплексную матрицу сто на сто можно разложить в произведение верхнетреугольной и нижнетреугольной?
Всё сопряжено
 
XII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2017
Покажите, что в конечной группе, в которой любые два коммутирующих элемента порядка 2017 сопряжены, все элементы порядка 2017 сопряжены.
Двенадцатый коммутант
 
XII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2017
Найдите, наименьший порядок группы G такой, что
а) G'≠{1}.
б) G''≠{1}.
в) G'''≠{1}.
г) G''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''≠{1}.
(Символом X' мы обозначаем коммутант группы X.)
Автоморфизм возведения в степень
 
XII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2017
Покажите, что если отображение возведение в куб, является автоморфизмом группы, то группа абелева. Верно ли аналогичное утверждение для отображения возведение в минус третью степень?
 
Эту задачу я позаимствовал здесь.
Единственный элемент порядка 2017
 
XII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2017
Сколько существует таких натуральных n, что в группе невырожденных матриц nxn над полем рациональных чисел все неединичные решения уравнения X2017=E подобны? (E — это единичная матрица.)
(совместно с Б.А.Высокановым)
 
Списывающим позор!
 
IX Республиканская студенческая предметная олимпиада (Астана), 2017
Некоторые участники математической олимпиады списали решения некоторых задач у своих товарищей. Докажите, что можно выгнать с позором часть участников так, чтобы получилось, что более четверти от общего числа списанных решений было списано выгнанными участниками у не выгнанных.
Коммутаторы и степени
 
IX Республиканская студенческая предметная олимпиада (Астана), 2017
Докажите, что в любой группе квадрат произведения двух элементов порядка два и куб произведения двух элементов порядка три всегда являются коммутаторами.
(Для высших степеней аналогичное утверждение неверно, но это уже значительно более трудный вопрос.)
Студенты и преподаватели
 
XI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2016
Покажите, что следующие два подмножества симметрической группы S100 не пересекаются: {CTYDEHT | C,D,E,H,T,Y — транспозиции} и {ΠPEΠΩΔ | Δ,E,Π,P,Ω — транспозиции}. В каком из них больше элементов?
Цикличность группы
 
XI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2016
Назовём цикличностью группы сумму порядков её циклических подгрупп. Суперкомпьютерные вычисления показали, что у всех 49487365422-х групп порядка 1024 цикличность одинаковая. Существует ли какое-нибудь рациональное объяснение у этого мистического совпадения?
(Идею этой задачки я позаимствовал здесь.)
Всё изоморфно
 
XI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2016
Покажите, что если
  • в некоторой группе все неединичные собственные подгруппы изоморфны, то количество этих подгрупп либо бесконечно, либо равно одному из чисел: 0, 1, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, ...
  • в некотором ассоциативном кольце с единицей все ненулевые собственные подкольца изоморфны, то этих подколец может быть лишь ноль, одно или три.
Конечно порождённые поля
 
XI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2016
Покажите, что у бесконечного поля ни аддитивная, ни мультипликативная группа не может быть конечно порождена.
(Да и вообще, бесконечное поле не может быть конечно порождено как кольцо.)
Максималист и минималист
 
VIII Республиканская студенческая предметная олимпиада (Астана), 2016
Максималист и минималист по очереди вписывают по одному вещественному числу в таблицу размера n x n (последовательно, строчка за строчкой, слева направо и сверху вниз). Каким окажется ранг получившейся матрицы, если максималист изо всех сил старается его максимизировать, а минималист — минимизировать? (Ответ может зависеть от n и от того, кто делает первый ход.)
(совместно с Е.В.Френкель)
 
Третьим будешь?
 
LXXIX Московская математическая олимпиада, 2016
Сорок студентов скинулись и купили десять литров кваса. Выпивать они решили только собираясь по трое, причём во время каждого распития все три участника должны пить поровну. А суммарно i-й студент желает выпить ровно ai литров. Верно ли, что это возможно тогда и только тогда, когда ∑ai=10 и никакое ai не превосходит 10/3 ?
Простые элементы групп
 
X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015
Назовём элемент группы простым, если его нельзя разложить в произведение двух неединичных коммутирующих элементов. Покажите, что если в конечной группе есть простые элементы, то
а) её порядок есть удвоенное нечётное число;
б) каждый элемент раскладывается в произведение нескольких простых.
Полюшко-поле
 
X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015
Назовём необязательно ассоциативное и необязательно коммутативное кольцо с единицей полюшком, если в нём все ненулевые элементы обратимы. Покажите, что число элементов в конечном полюшке обязательно является степенью простого числа, а полюшко из двадцати пяти элементов — это поле.
Представители прямых
 
X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015
Над какими конечными полями можно выбрать в аффинной плоскости подмножество, пересекающее каждую прямую ровно
а) по одной точке?
б) по двум точкам?
Корни из перестановок
 
X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015
Верно ли, что если перестановка является квадратом некоторой перестановки и кубом некоторой перестановки, то она является шестой степенью некоторой перестановки?
Следы степеней
 
X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015
Покажите, что если у комплексной матрицы A все натуральные степени (то есть A, A2, A3,...) имеют одинаковый след, то этот след является целым числом.
Диагонализация взаимно обратных матриц
 
IX студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014
Докажите, что вещественные взаимно обратные матрицы A и A–1 можно одновременно привести к диагональному виду элементарными преобразованиями строк и столбцов, если A4=E. Покажите, что для ортогональных матриц A верно и обратное утверждение. (Одновременно означает, что к данным двум матрицам применяются одни и те же преобразования.)
Антиподгруппы
 
IX студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014
Подмножество A некоторой группы назовём антиподгруппой, если произведение двух элементов из A никогда не лежит в A. Покажите, что антиподгруппа не может содержать больше половины элементов группы; причём в любой абелевой группе чётного порядка обязательно найдётся антиподгруппа, содержащая половину элементов группы, а в простой неабелевой группе такой большой антиподгруппы быть не может.
Открытие Вандермонда
 
VIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014
Ваня Дермондин написал на бумажках сто выражений:
, , , ..., , ..., , , , ...,
и пытается разложить их так, чтобы получить квадратную матрицу D(x0,...,x9), обладающую приятным свойством: D(c0,...,c9) невырождена тогда и только тогда, когда комплексные числа ck попарно различны. Сколькими способами это можно сделать?
Вырожденность и некоммутативность
 
VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012
Покажите, что квадратная матрица над полем вырождена тогда и только тогда, когда её можно разложить в произведение нескольких квадратных матриц, произведение которых в некотором другом порядке равно нулевой матрице.
Обмен шпаргалками
 
VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012
Несколько студентов менялись шпаргалками. Произошло сто обменов «одну на одну» и в итоге все шпаргалки вернулись к своим первоначальным хозяевам. В скольких максимум руках могла побывать отдельно взятая шпаргалка?
Общее прошлое и общее будущее
 
VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012
Из двух многочленов со старшим коэффициентом один можно получить один и тот же путём возведения в степени (fk=gl) тогда и только тогда, когда их можно получить из одного и того же путём возведения в степени (f=hi, g=hj). При каких n в Zn[x] это так для любых многочленов?
Ещё один критерий вырожденности
 
VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011
Покажите, что вещественная матрица A размера 2011х2011 вырождена тогда и только тогда, когда её можно превратить в –A элементарными преобразованиями вида прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
Змей Горыныч за шахматной доской
 
VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011
Какие бы вещественные числа Змей Горыныч ни написал на чёрных клетках шахматной доски, Иванушка-дурачок может заполнить белые клетки так, что получится матрица ранга r. Для каких r это возможно?
Многочлены, сохраняющий корни из единицы
 
VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011
Покажите, что каждый многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами, отображающий все корни из единицы в корни из единицы, является одночленом.
(совместно с Б.Ф.Мельниковым)
 
Идеальные компании
 
XXXII Турнир городов (устный тур), 2011
Подмножество студенческой группы назовём идеальной компанией, если
1) в этом подмножестве все девушки нравятся всем юношам;
2) в это подмножество нельзя никого добавить, не нарушив условие 1).
В 105 группе учатся 9 студенток и 15 студентов. Кто кому нравится, мы не знаем. Найдите наибольшее возможное число идеальных компаний в этой ситуации.
(совместно с А.А.Нечаевым)
 
Автоморфизмы, сохраняющие модуль
 
V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010
Может ли подкольцо поля комплексных чисел (не обязательно содержащее единицу) иметь больше двух автоморфизмов, сохраняющих модуль?
Стойкие элементы
 
V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010
Назовём элемент группы стойким, если он остаётся на месте под действием всех автоморфизмов. Опишите все конечные группы, в которых стойких элементов не меньше половины.
Антитела
 
V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010
Назовeм ассоциативное кольцо с единицей антителом, если оно не содержит неединичных обратимых элементов. Докажите следующую «антитеорему Веддербёрна»: все конечные антитела коммутативны.
(совместно с Е.В.Френкель)
 
Богатыри на дороге
 
LXXIII Московская математическая олимпиада и XXXI Турнир городов, 2010
Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
О, алгебра!
 
IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009
Найдите ранг матрицы, зависящей от комплексного параметра X:
Нежные матрицы
 
IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009
Назовем матрицу нежной, если её ранг изменяется при любом изменении любого из её элементов. Каких рангов бывают нежные матрицы 2009х2009
а) над полем комплексных чисел?
б) над полем из двух элементов?
Волшебные кольца
 
IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009
Конечное ненулевое ассоциативное коммутативное кольцо (возможно, без единицы) назовём волшебным, если произведение всех его ненулевых элементов не равно ни нулю, ни минус единице. Отыщите все волшебные кольца!
Тараканы в общежитии
 
IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009
Число тараканов, живущих в каждой комнате стокомнатного общежития, равно среднему арифметическому количеств тараканов, живущих в соседних комнатах. Из этого фундаментального закона есть только два исключения: комната студента Д., в которой живёт (100!)! тараканов, и комната студентки О., где тараканов совсем нет. Докажите, что, какой бы ни была архитектура общежития, эта система уравнений имеет целочисленное решение. (Теоретически, у комнаты может быть от одной до шести соседних.)
Угрюмые элементы
 
IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009
Назовём элемент группы угрюмым, если он не коммутирует ни с кем, кроме самого себя и единицы. Покажите, что в неединичной группе угрюмых элементов либо ровно половина, либо вовсе нет.
Влюблённые элементы
 
Студенческая олимпиады по алгебре на мехмате МГУ, МЦНМО, 2012

 
(Упражнение к решению предыдущей задачи)
Назовём элемент группы влюблённым, если, кроме самого себя, он коммутирует лишь с одним неединичным элементом. Покажите, что в группе порядка большего чем два влюблённых элементов либо ровно одна треть, либо ровно две трети, либо вовсе нет, причём все три возможности реализуются. Докажите, что неединичный элемент, коммутирующий с влюблённым, сам влюблён; другими словами, любовь всегда взаимна (в этой задаче).
Тараканы в комнате
 
III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008
По комнате, имеющей форму параллелепипеда, ползают тараканы. В полночь каждый таракан переползает на одну из четырёх граней, соседних с той, на которой он находился (например, все тараканы, находившиеся на полу, заползают на стены); причём в результате число тараканов на каждой грани остаётся постоянным. В этой задаче 24 неизвестных: количество тараканов, переползших с каждой грани на каждую из соседних с ней граней. А сколько у этой задачи линейно независимых решений? Найдите фундаментальную систему решений.
Мех-мат и ВМК
 
III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008
Покажите, что неравенство rk(MEX–MAT)>rk(BMK), где A,B,E,K,M,T,X — неизвестные матрицы 3x3 над полем из 101 элемента, имеет больше решений, чем противоположное строгое неравенство.
Уравновешенные группы
 
III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008
Назовём конечную абелеву группу уравновешенной, если сумма всех её элементов равна нулю. Каких абелевых групп порядка, не превосходящего 2008, больше: уравновешенных или неуравновешенных?
Ненормальные подгруппы
 
III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008
Помогите доценту Н. Е. Нормальному доказать следующий важный результат:
Теорема 3.Если группа содержит ровно 3 ненормальные подгруппы, то её порядок делится на 3.
Можно ли здесь тройки заменить на двойки? А на четвёрки?
Транспонирование и возведение в степень
 
III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008
Покажите, что для вещественных матриц A справедлива импликация:
если A2008=AT, то A2010=A.
Компьютерная алгебра
 
II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007
Студент Д. решил возвести все матрицы 17х17 над полем из семнадцати элементов в сотую степень, сложить результаты и посмотреть, что получится. Но в этот момент у студента сломался компьютер. Помогите ему.
Плохие оценки
 
II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007
Проверив сто контрольных по алгебре, Иван Владимирович обнаружил, что из полученных оценок нельзя составить невырожденную матрицу. Иван Владимирович очень расстроился, исправил одну из единиц на двойку, составил из оценок матрицу с определителем сто шестьдесят два, успокоился и лёг спать. Какие оценки получили студенты? (Теоретически, оценки бывают такие: 1, 2, 3, 4 и 5.)
Дюжинные кольца
 
II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007
Назовём коммутативное ассоциативное кольцо с единицей дюжинным, если каждое отображение из этого кольца в себя задаётся многочленом 12-й степени над этим кольцом. Опишите все дюжинные кольца.
Большое задание
 
I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006
Студенту Д. задали на дом решить все системы из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными над полем из пяти элементов (всего 530 систем). Сколько из этих систем является совместными? Сколько является определёнными?
Практически обратимые матрицы
 
I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006
Студент Д. называет квадратную вещественную матрицу A практически обратимой, если найдётся такая матрица B, что элементы матрицы C=AB отличаются от соответствующих элементов единичной матрицы не более чем на 10–10. Существуют ли практически обратимые необратимые матрицы?
Практически алгебраически замкнутые поля
 
I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006
Студент Д. называет поле практически алгебраически замкнутым, если в этом поле каждый многочлен положительной степени, не превосходящей 10000000000, имеет корень. Может ли практически алгебраически замкнутое поле
a) быть конечным?
б) не быть алгебраически замкнутым?
Приведённые здесь формулировки несколько отличаются от опубликованных.

Здесь вы видите только задачи, автором которых считает себя Клячко. Другие задачи по алгебре (в том числе, очень красивые) можно найти на странице олимпиад.

Есть ещё лемма о столкновениях (car-crash lemma), которая была использована в качестве задачи в «Кванте» и в других   местах, включая LXXIV Московскую математическую олимпиаду (без моего ведома):
Муравьи на мячике
 
A funny property of sphere and equations over groups
Comm. Algebra, 7:21 (1993), 2555-2575
По границе каждой грани выпуклого многогранника ползёт муравей, обходя границу своей грани против часовой стрелки. Скорости могут быть непостоянными, но никогда не меньше чем 1 мм/сек. Покажите, что какие-то два муравья обязательно встретятся.