Некоторые работы Антона А. Клячко

о конечных и бесконечных группах и других вещах

(в том числе совместные работы с учениками, другими близкими научными родственниками и прочими товарищами)
(совместно с А.М.Мажугой)
 
Вербально замкнутые почти свободные подгруппы
 
Мат. сборник (в печати)
 
arXiv:1702.07761
Теорема Мясникова–Романькова утверждает, что всякая вербально замкнутая подгруппа конечно порождённой свободной группы является ретрактом. Мы доказываем, что все свободные (и многие почти свободные) вербально замкнутые подгруппы являются ретрактами в любых конечно порождённых группах.
(совместно с С.В.Ивановым)
 
Квазипериодические и смешанные коммутаторные разложения в свободных произведениях групп
 
arXiv:1702.01379
В свободной группе, как известно, никакой неединичный коммутатор не является истинной степенью. Мы доказываем одну общую теорему, из которой вытекает несколько любопытных фактов, например, следующее усиление упомянутого выше утверждения: если в свободной группе неединичный коммутатор разложить в произведение нескольких сопряжённых между собой элементов, то все эти элементы обязательно окажутся попарно разными.
(совместно с А.М.Мажугой и А.Н.Понфиленко)
 
Уравновешенные разложения на множители в некоторых алгебрах
 
Мат. просвещение, 21 (2017), 136-144
 
arXiv:1607.01957
Мы доказываем, что во всяком поле характеристики не два и не три, кроме пятиэлементного поля, каждый элемент раскладывается в произведение четырёх множителей, сумма которых равна нулю. Мы также находим все k,n,q такие, что каждая матрица n x n над полем из q элементов раскладывается в произведение k коммутирующих матриц с нулевой суммой. Эту работу можно считать продолжением этой.
(совместно с А.Б.Томом)
 
Новые топологические методы решения уравнений над группами
 
New topological methods to solve equations over groups
 
Algebraic & Geometric Topology, 17:1 (2017), 331-353
 
arXiv:1509.01376
Мы доказываем, что уравнение w(x,y)=1 над гиперлинейной группой (например, над любой конечной группой) G имеет решение в некоторой большей группе H, если слово w(x,y) (в алфавите GU{x±1, y±1} ) таково, что слово, получающееся из него стиранием букв, лежащих в G, не лежит во втором члене нижнего центрального ряда свободной группы F(x,y). Если группа G конечна, то группа H также может быть выбрана конечной.
(совместно с А.А.Мкртчян)
 
Странная делимость в группах и в кольцах
 
Strange divisibility in groups and rings
 
Archiv der Mathematik, 108:5 (2017), 441-451
 
arXiv:1506.08967
Мы доказываем одну общую теорему о делимости, из которой вытекает, например, что в любой группе число порождающих пар (и троек, и четвёрок...) всегда делится на порядок коммутанта этой группы. Другое следствие говорит, что число пифагоровых троек (и четвёрок, и пятёрок...) обратимых элементов в ассоциативном кольце всегда делится на порядок мультипликативной группы этого кольца.
(совместно с А.Н.Васильевым)
 
Уравновешенные разложения на множители
 
Balanced factorizations
 
American Mathematical Monthly, 123:10 (2016), 989-1000
 
arXiv:1506.01571
Всякое рациональное число можно разложить в произведение нескольких рациональных чисел, сумма которых равна нулю. Это простое, но нетривиальное, утверждение предлагалось в качестве задачи на олимпиаде для школьников. Мы полностью решаем аналогичные вопросы в конечных полях и в некоторых других кольцах, например, в алгебрах комплексных и вещественных матриц, а также формулируем несколько открытых вопросов.
(совместно с А.К.Монгуш)
 
Финитно аппроксимируемые алгоритмически конечные группы, их подгруппы и прямые произведения
 
Мат. заметки, 98:3 (2015), 372–377
 
arXiv:1402.0887
Мы строим конечно порождённую бесконечную рекурсивно представленную финитно аппроксимируемую алгоритмически конечную группу G, отвечая тем самым на вопрос Мясникова и Осина. При этом группа G «сильно бесконечна» и «сильно алгоритмически конечна», в том смысле, что G содержит бесконечную абелеву нормальную подгруппу, а все конечные декартовы степени группы G алгоритмически конечны (то есть ни для какого n не существует алгоритма, выписывающего бесконечное число попарно различных элементов группы Gn). Мы формулируем также несколько открытых вопросов на эту тему.
(совместно с М.В.Милентьевой)
 
Большое и симметричное:
теорема Макаренко–Хухро о тождествах — без тождеств

 
Large and symmetric: The Khukhro–Makarenko theorem on laws — without laws
 
Journal of Algebra, 424 (2015), 222-241
 
arXiv:1309.0571
Предлагается обобщение теоремы Макаренко–Хухро о больших характеристических подгруппах с тождеством. Из этой обобщённой теоремы выводятся новые результаты о группах, алгебрах, графах и других структурах. Например, про группы мы получаем факт, в некотором смысле двойственный теореме Макаренко–Хухро. А про графы мы получаем аналог этой теоремы, в котором планарность играет роль полилинейного тождества. Мы отвечаем также на один вопрос Макаренко и Шумяцкого.
(совместно с Е.В.Френкель)
 
Коммутатор не может быть степенью в группе без кручения с метрическим условием малого сокращения
 
arXiv:1210.7908
Неединичный коммутатор не может быть истинной степенью в группе без кручения с условием малого сокращения C'(λ) при достаточно маленьких λ.
(совместно с А.Ю.Ольшанским и Д.В.Осиным)
 
О топологизируемых и нетопологизируемых группах
 
On topologizable and non-topologizable groups
 
Topology and its Applications, 160:16 (2013), 2104-2120
 
arXiv:1210.7895
Группа называется наследственно нетопологизируемой, если никакая её секция (то есть факторгруппа подгруппы) не допускает недискретной отделимой групповой топологии. Мы строим первые примеры бесконечных наследственно нетопологизируемых групп. Это, в частности, означает, что c-компактность не влечёт компактность для топологических групп. Мы также отвечаем на несколько других вопросов Дикраняна и Успенского о c-компактности. С другой стороны, мы предлагаем метод построения топологизируемых групп, основанный на генерических свойствах в пространстве помеченных k-порождённых групп. В качестве приложения мы строим недискретную квазициклическую топологическую группу конечного периода, отвечая тем самым на вопрос Морриса и Образцова.
(совместно с И.В.Аржанцевым, В.В.Батыревым, Е.И.Буниной, Е.С.Голодом, А.Э.Гутерманом, М.В.Зайцевым, А.И.Зобниным, В.Т.Марковым, А.А.Нечаевым, А.Ю.Ольшанским, Е.А.Поршневым и Ю.Г.Прохоровым)
 
Студенческие олимпиады по алгебре на мехмате МГУ
 
МЦНМО, 2012
В эту книжку вошли задачи первых пяти олимпиад (2006–2010) и их решения.
(совместно с А.А.Мкртчян и с дополнением Д.В.Трушина)
 
Сколько наборов элементов группы обладает данным свойством?
 
How many tuples of group elements have a given property? With an appendix by Dmitrii V. Trushin
 
International Journal of Algebra and Computation, 24:4 (2014), 413-428
 
arXiv:1205.2824
Теорема Гордона–Родригеса-Виллегаса, обобщающая теорему Соломона, говорит, что в любой группе число решений системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если ранг матрицы, составленной из сумм показателей степеней при i-м неизвестном в j-м уравнении, меньше числа неизвестных. Мы обобщаем эту теорему в двух направлениях: во-первых, мы рассматриваем уравнения с коэффициентами, а во-вторых, мы рассматриваем не только системы уравнений, но и произвольные формулы первого порядка в групповом языке (с константами). Из нашей теоремы можно вывести разные забавные факты. Например, число элементов группы, квадраты которых лежат в данной подгруппе, делится на порядок этой подгруппы.
(совместно с В.Брагиным и А.Б.Скопенковым)
 
Когда любая группа из n элементов циклическая?
 
arXiv:1108.5406
В этой заметке, предназначенной для старшеклассников и младшекурсников, совсем элементарными средствами доказывается известный факт: все группы порядка n являются циклическими тогда и только тогда, когда n взаимно просто с φ(n).
(совместно с Е.В.Меньшовой)
 
Тождества аддитивной двоичной арифметики
 
The identities of additive binary arithmetics
 
Electronic Journal of Combinatorics, 19 (2012), #P40
 
arXiv:1102.5555
Операции произвольной арности, выражающиеся через сложение по модулю 2n и побитовое сложение по модулю 2, допускают простое описание. Тождества, связывающие эти два сложения, имеют конечный базис. Более того, универсальная алгебра Z/2nZ с этими двумя операциями рационально эквивалентна нильпотентному кольцу и, следовательно, порождает шпехтово многообразие.
(совместно с Д.В.Барановым)
 
Экономное присоединение квадратных корней к группам
 
Сибирский мат. журнал, 53:2 (2012), 250-257
 
arXiv:1101.3019
Насколько нужно увеличить группу, чтобы в получившейся группе все элементы исходной группы являлись квадратами? Мы даём довольно точный ответ на этот вопрос (наилучшая возможная оценка сверху отличается от полученной оценки не более, чем в два раза) и формулируем несколько открытых вопросов на эту тему.
(совместно с Д.Е.Лурье)
 
Относительная гиперболичность и близкие свойства относительных копредставлений с одним дополнительным образующим и одним соотношением, являющимся истинной степенью унимодулярного слова
 
Relative hyperbolicity and similar properties of one-generator one-relator relative presentations with powered unimodular relator
 
Journal of Pure and Applied Algebra, 216:3 (2012), 524-534
 
arXiv:1010.4220
Если к нетривиальной группе добавить один образующий и одно соотношение, являющееся истинной степенью слова с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то полученная группа будет содержать в качестве подгруппы свободный квадрат исходной группы, а также почти всегда (кроме одного очевидного исключения) будет содержать неабелеву свободную подгруппу. Если исходная группа не имеет инволюций или соотношение является по крайней мере третьей степенью, то полученная группа относительно гиперболична относительно исходной группы и SQ-универсальна.
Комбинаторная теория групп и геометрия
 
Мат. просвещение, 13 (2009), 18-32
В этой статье, предназначенной для детей от пятнадцати до девяноста девяти лет, в популярной форме рассказывается о некоторых связях между комбинаторной теорией групп и геометрией: о геометрической интерпретации вывода следствий из соотношений и о теории малых сокращений.
(совместно с Н.Ю.Макаренко, Ю.Б.Мельниковой и Е.И.Хухро)
 
Инвариантность относительно автоморфизмов и тождества
 
Automorphism invariance and identities
 
Bull. London Math. Soc., 41:5 (2009), 804-816
 
arXiv:0812.1359
Если внешнее (полилинейное) коммутаторное тождество выполняется в большой подгруппе некоторой группы, то оно выполняется также в некоторой большой характеристической подгруппе. Аналогичные утверждения справедливы для алгебр и их идеалов или подпространств. Варьируя значение слова «большой», мы получаем много интересных фактов. Для произвольных (неполилинейных) тождеств аналогичные утверждения, вообще говоря, неверны. В качестве приложения полученных результатов мы получаем неулучшаемую оценку на ступень почти разрешимости расширений почти разрешимых групп при помощи почти разрешимых.
(совместно с Ю.Б.Мельниковой)
 
Короткое доказательство теоремы Макаренко–Хухро о больших характеристических подгруппах с тождеством
 
Мат. сборник, 200:5 (2009), 33-36
 
arXiv:0805.2747
Предлагается короткое доказательство и некоторое усиление теоремы Макаренко–Хухро о том, что каждая группа, почти удовлетворяющая внешнему коммутаторному тождеству, содержит характеристическую подгруппу конечного индекса, удовлетворяющую этому тождеству. Мы получаем также оценку для индекса такой характеристической подгруппы.
Автоморфизмы и изоморфизмы групп и алгебр Шевалле
 
Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras
 
Journal of Algebra, 324:10 (2010), 2608-2619
 
arXiv:0708.2256
Присоединённая группа Шевалле ранга большего единицы над Q-алгеброй (или похожим кольцом), её элементарная подгруппа и соответствующее кольцо Ли имеют одинаковые группы автоморфизмов. Эти автоморфизмы явно описаны.
Строение относительных копредставлений с одним соотношением и их центры
 
The structure of one-relator relative presentations and their centres
 
Journal of Group Theory, 12:6 (2009), 923-947
 
arXiv:math.GR/0701308
Пусть G — нетривиальная группа без кручения и w — слово в алфавите GU{x1±1,..., xn±1} такое, что слово w', получающееся из w стиранием букв, лежащих в G, не является истинной степенью в свободной группе F(x1,..., xn). Мы показываем как свести изучение относительного копредставления H=<G, x1,..., xn | w=1> к случаю n=1. Оказывается, что «n-мерная» группа H может быть построена из аналогичных «одномерных» групп при помощи некоторой явной конструкции, отдалённо напоминающей сплетение. В качестве иллюстрации мы доказываем, что при n>1 центр группы H всегда тривиален. При n=1 центр группы H также почти всегда оказывается тривиальным; имеется несколько исключений и все они известны.
SQ-универсальность относительных копредставлений с одним соотношением
 
Мат. сборник, 197:10 (2006), 87-108
 
arXiv:math.GR/0603468
Если к нетривиальной группе без кручения добавить два образующих и одно произвольное соотношение, то всегда получится SQ-универсальная группа. По ходу доказательства этого утверждения мы устанавливаем ещё несколько фактов, имеющих самостоятельный интерес. Например, если к свободному произведению двух нетривиальных групп без кручения добавить один образующий и одно соотношение с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то также получится SQ-универсальная группа.
Свободные подгруппы относительных копредставлений с одним соотношением
 
Алгебра и логика, 46:3 (2007), 290-298
 
arXiv:math.GR/0510582
Пусть G — нетривиальная группа без кручения и w — произвольное слово в алфавите GU{x1±1,..., xn±1}. Мы доказываем, что при n>1 группа H=<G, x1,..., xn | w=1> всегда содержит неабелеву свободную подгруппу. При n=1 на вопрос о наличии свободных подгрупп в H удаётся полностью ответить в унимодулярном случае (то есть когда сумма показателей при x1 в слове w равна единице). В работе обсуждаются также некоторые обобщения этих результатов.
(совместно с А.В.Трофимовым)
 
Число нерешений уравнения в группе и нетопологизируемые группы без кручения
 
The number of non-solutions of an equation in a group
 
Journal of Group Theory, 8:6 (2005), 747-754
 
arXiv:math.GR/0411156
Показано, что для любой пары кардиналов с бесконечной суммой найдётся такая группа и такое уравнение над этой группой, что первый кардинал является числом решений этого уравнения, а второй кардинал является числом нерешений этого уравнения. Построена бесконечная счётная нетопологизируемая группа без кручения.
Гипотеза Кервера–Лауденбаха и копредставления простых групп
 
Алгебра и логика, 44:4 (2005), 399-437
 
arXiv:math.GR/0409146
Утверждение о том, что из непростой группы нельзя получить неабелеву простую группу путём добавления одного образующего и одного определяющего соотношения,
1) эквивалентно гипотезе Кервера–Лауденбаха;
2) становится верным при дополнительном предположении, что исходная непростая группа либо конечна, либо, напротив того, не имеет кручения.
Как обобщить известные результаты об уравнениях над группами
 
Мат. заметки, 79:3 (2006), 409-419
 
arXiv:math.GR/0406382
Известные факты о разрешимости уравнений над группами рассматриваются с более общей точки зрения. Доказывается обобщённый аналог теоремы о разрешимости унимодулярных уравнений над группами без кручения, который в качестве частного случая включает в себя многомерный вариант этой теоремы. Доказывается, что для унимодулярных уравнений над группами без кручения выполняется аналог теоремы Магнуса о свободе в том смысле, что существует решение, которое хорошо себя ведёт по отношению к свободным сомножителям исходной группы.
Более древние статьи (совместно с С.В.Ивановым)
The asphericity and Freiheitssatz for certain lot-presentations of groups
International Journal of Algebra and Computation, 11:3 (2001), 291-300

 
(совместно с О.В.Сипачёвой)
Topological solvability of equations over groups
Communications in Algebra, 29:9 (2001), 4249-4265

 
(совместно с С.В.Ивановым)
Solving equations of length at most six over torsion-free groups
Journal of Group Theory, 3:3 (2000), 329-337

 
Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group
Journal of Group Theory, 2:3 (1999), 319-327

 
Asphericity tests
International Journal of Algebra and Computation, 7:4 (1997), 415-431

 
(совместно с М.И.Прищеповым)
Метод спуска для уравнений над группами
Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 4 (1995), 90-93

 
A funny property of sphere and equations over groups
Communications in Algebra, 21:7 (1993), 2555-2575
Приведённые здесь тексты несколько отличаются от журнальных вариантов.

English versions of my papers, а также работы других авторов по теории групп и иным разделам математики и физики можно найти в арХиве.

Интересные статьи можно ещё поискать здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь и здесь.

Рефераты на разные статьи можно попробовать найти здесь, а также здесь и здесь, если у Вас есть доступ.

Полезные книжки и статьи вы можете найти в «Генезисе» и в Библиотеке мех-матаздесь конечно). Можно также воспользоваться этим поисковиком.

Нерешённые пока задачи тоже нетрудно найти.