Лекции по линейной алгебре и геометрии, 1 курс, 2 поток, весна 2020
Лектор: Куликова О.В.
Консультация перед экзаменами состоится 27 июня в 12:00 в дистанционном режиме с использованием зум
Лекция 1 (7 февраля 2020)
Векторные пространства. Подпространства. Линейная зависимость. Линейная оболочка. Конечномерные векторные пространства, базис и размерность.
Лекция 2 (12 февраля 2020)
Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты. Изменение координат вектора при замене базиса. Изоморфизм векторных пространств. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств. Размерность суммы и пересечения.
Лекция 3 (14 февраля 2020)
Линейные формы. Сопряженное пространство. Дуальные базисы. Канонический изоморфизм основного и двойного сопряженного пространств.
Лекция 4 (19 февраля 2020)
Всякое подпространство является множеством решений некоторой системы однородных линейных уравнений.
Линейные отображения. Их матрицы. Изменение матрицы линейного отображения при переходе к другим базисам. Ядро и образ линейного отображения.
Лекция 5(21 февраля 2020)
Теорема о связи размерности ядра и размерности образа. Линейные операторы и их матрицы. Ранг и определитель линейного оператора. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры матриц и алгебры линейных операторов. Многочлены от линейных операторов. Вид матрицы линейного оператора при наличии инвариантных подпространств.
Лекция 6(26 февраля 2020)
Собственные векторы и значения. Корректность определения характеристического многочлена. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Собственные подпространства. Критерий существования базиса из собственных векторов линейного оператора. Инвариантные подпространства линейного оператора над R и над C (формулировка). Комплексификация.
Лекция 7(28 февраля 2020)
Инвариантные подпространства линейного оператора над и над (доказательство). Существование базиса, в котором матрица линейного оператора конечномерного линейного пространства над алгебраически замкнутым полем треугольна. Теорема Гамильтона-Кэли. Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен. Примеры.
Лекция 8 (4 марта 2020)
Минимальный многочлен и его свойства. Жордановы клетки и матрицы, их характеристические и минимальные многочлены.
Лекция 9 (6 марта 2020)
Существование жорданова базиса. Единственность жордановой нормальной формы.
Лекция 10 (11 марта 2020)
Линейный оператор над алгебраически замкнутым полем диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных корней. Корневые подпространства.
Билинейные функции. Связь между матрицами билинейной функции в разных базисах. Ранг билинейной функции. Определение симметрической билинейной функции. Примеры.
Лекция 11 (13 марта 2020)
Теорема о том, что для произвольной симметрической билинейной функции существует базис пространства, в котором матрица функции диагональна.
Квадратичные формы. Процедура поляризации. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов. Канонический вид. Метод Лагранжа. Формула Якоби.
Лекция 12 (18 марта 2020, текст)
Нормальный вид над R и над C. Закон инерции. Положительно определенная квадратичная форма. Критерий Сильвестра.
Лекция 12 содержится на стр. 82-85.
Домашнее задание: прочитать текст лекции 12 и разобраться с темой к пятнице.
Лекция 13 (20 марта 2020, текст)
Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Матрицы перехода от одного ортонормированного базиса к другому.
Лекция 13 содержится на стр. 86-96.
Домашнее задание: прочитать текст лекции 13 и разобраться с темой к среде.
Лекция 14 (25 марта 2020, текст)
Ортогальное дополнение. Угол и расстояние между вектором и подпространством. Изоморфизм линейных пространств V и V* в случае евклидовых пространств.
Лекция 14 содержится на стр. 97-105.
Домашнее задание: прочитать текст лекции 14 и разобраться с темой
Лекция 15 (27 марта 2020, текст)
Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный линейный оператор. Самосопряженный линейный оператор. Приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
Домашнее задание: готовиться к коллоквиуму.
Коллоквиум состоится на неделе с 13 апреля.
В следующие среду и пятницу для желающих состоится обычная дистанционная консультация (в среду по Лекции 15, в пятницу по Лекции 16).
Лекция 16 (3 апреля 2020, текст)
Домашнее задание: готовиться к коллоквиуму.
Коллоквиум состоится на неделе с 13 апреля.
Лекция 16 (8 апреля 2020, текст)
Ортогональные операторы. Канонический вид. Полярное разложение.
Дополнительная консультация 9 апреля
Лекция 17 (10 апреля 2020, текст)
Унитарные пространства. Линейные операторы в унитарных пространствах. (стр.128-140)
//Лекции по темам коллоквиума (версия 9_04_20))//
Лекция 19 (15 апреля 2020, он-лайн)
Аффинные пространства. Изоморфизм. Изменение координат. Определение аффинного подпространства
Лекция 20 (17 апреля 2020, он-лайн)
Аффинные подпространства.
Лекция 21 (22 апреля 2020, он-лайн)
Аффинные отображения. Аффинные операторы. Аффинная группа. Сдвиги. Операторы с неподвижной точкой.
Лекция 22 (24 апреля 2020, он-лайн)
Аффинно евклидовы пространства
__Лекции (добавлена 22 лекция)__
Лекция 23 (29 апреля 2020, он-лайн)
Аффинно-квадратичные функции
Консультация (1 мая 2020, он-лайн)
Лекция 24 (5 мая 2020, он-лайн)
Аффинно-квадратичные функции в аффинно-евклидовых пространствах.
Квадрики. Центр квадрики.
Лекция 25 (8 мая 2020, он-лайн)
Квадрики. Классификация
Лекция 26 (13 мая 2020, он-лайн)
Классификация квадрик (продолжение)
Тензоры. Основные понятия.
Лекция 27 (15 мая 2020, он-лайн)
Тензоры. Линейные операции над тензорами. Тензорное произведение. Координаты тензора. Изменение координат при переходе к другому базису.
Лекция 28 (20 мая 2020, он-лайн)
Свертка. Симметрирование. Альтернирование.
Лекция 29 (22 мая 2020, он-лайн)