Доказали лемму о возрастании модуля и лемму Даламбера (завершив тем самым доказательство ОТА). Группы, подгруппы, смежные классы, теорема Лагранжа. Изоморфизм. Циклические группы. Классификацию циклических групп только сформулировали, и доказали существование циклической группы каждого порядка; единственность оставил в качестве упражнения, но обещал сам решить это упражнение и написать здесь (и написал).

Дискриминант (только для комплексных многочленов со старшим коэффициентом один). Дискриминант кубического многочлена x³+ax+b. Доказательство основной теоремы алгебры (по модулю леммы Даламбера и леммы о возрастании модуля).

Всякий симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические. Теорема Виета.

Единственность разложения правильной дроби в сумму простейших. Многочлены от нескольких переменных, степень, однородные многочлены. Симметрические многочлены. Всякий симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические (только сформулировать успел пока).

Поле рациональных дробей. Сумма правильных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших. Разложение НОД(f,g)=1=uf+vg с ограничениями на степени u и v.

Упражнение со звёзочкой: над полем рациональных чисел и над полями вычетов существуют неприводимые многочлены всех положительных степеней. Кратность корня. Сумма кратностей корней ненулевого многочлена не превосходит степени (и равна для поля комплексных чисел). Производная. Правило Лейбница. Понижение кратности при дифференцировании. (Производную (x-c)^k оставил в качестве упражнения.) Как найти число физически разных корней данного комплексного многочдена? (То есть избавление от кратных корней.) Поле рациональных дробей начали, отношение эквивалентности, операций пока не определили.

Неприводимые многочлены. Существование и единственность разложения в произведение неприводимых. Теорема Безу. Основная теорема алгебры (без доказательства пока). Описание неприводимых над полем комплексных и вещественных чисел (была ещё лемма о сопряжённых корнях). Примеры приводимых многочленов без корней.

Многочлены от одной переменной над полем. Отсутствие делителей нуля (в кольце многочленов и в поле). Степень. Деление с остатком. НОД, существованиие. Выражение НОДа через свои аргументы. Алгоритм Евклида. Делимость НОДа на любой общий делитель. Единственность НОДа. Делитель произведения двух сомножителей, взаимно простой с одним, делит другой.

Аргумент произведения. Формула Муавра. Извлечение корней. Корни из единицы. Циклическая группа. Первообразные корни из единицы. Упражнение, которое рекомендуется разобрать на семинарах: пересечение корня n-й степени из единицы и корня m-й степени из единицы равно…; аналогично, произведение этих корней равно…

Упражнение: почему определитель матрицы с двумя одинаковыми строчками равен нулю над любым полем? Характеристика поля, её простота. Упражнение: поле из четырёх элементов и бесконечное поле характеристики семь. Упражнение: единственное „поле“, в котором выполнены все аксиомы, кроме один не равно нулю — это… Поле комплексных чисел. Обратные числа. Модуль и комплексное сопряжение. Упражнение: сопряжение сохраняет операции. Геометрическое изображение чисел. Вещественная и мнимая часть. Тригонометрическая форма, модуль и аргумент, их геометрический смысл. Модуль и аргумент произведения (только про модуль успели доказать.)

Приложение определителя Вандермонда к задаче интерполяции. Интерполяционная формула Лагранжа. Поля. Когда кольцо вычетов является полем. Всё, что проходили, верно над любым полем, но… Число решений слу над конечным полем.

Теорема о ранге матрицы, то есть ранг равен максимальному размеру ненулевого минора (про окаймляющие ничего не говорил). Произведение транспонированных матриц, определитель транспонированной. Определитель Вандермонда. Приложение к интерполяции только сформулировал. (Из программы коллоквиума я вычеркну, стало быть, всё про нтерполяцию.)

Разложение определителя по строке или столбцу. Явная формула для обратной матрицы. Формулы Крамера. Когда обратная к целочисленной матрице целочисленная?

Определитель единичной матрицы. Аксиоматическое определение определителя оставил в качестве упражнения. Определитель треугольной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях и метод вычисления определителей. Критерий равенства определителя нулю. Определитель произведения. Определитель с углом нулей.

Чётность произведения перестановок. Разложение в произведение независимых циклов (единственность в качестве упражнения оставил). Чётность цикла. Определитель. Полилинейность и кососимметричность определителя (по столбцам).

Связь между решениями неоднородной и однородной СЛУ. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Перестановки. Чётность и знак. Всякая перестановка из S_n является произведением не больше, чем (n-1)-й транспозиции. Упражнение: показать, что эта оценка не улучшается. Чётность произведения сформулировали только.

Лекция будет опять в зуме (это последний день карантина на потоке). Ссылку инспектор опять разошлёт старостам и мне. Оценка сверху ранга произведения (плюс случай невырожденного сомножителя). Интерпретация элементарных преобразований в терминах умножения. Невырожденность (в смысле ранга) = обратимость. Упражнение: AB=E и BA=E влечёт, что обе матрицы квадратные. Интерпретация слу в терминах умножения. Связь между решениями однородной и неоднородной системы (сформулировали только пока).

Лекция будет в обычное время, но в зуме (из-за карантина на потоке). Ссылку инспектор разошлёт старостам (и мне). Матрица композиции. Ассоциативность композиции отображений. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами, единичная матрица, про обратимость ничего пока не говорили. Не все матрицы коммутируют.

Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости слу в терминах рангов. Подпространства. Множество решений однородной слу является подпространством. (То, что все подпространства в арифметическом векторном пространстве такие, оставил в качестве упражнения со звёздочкой.) ФСР. Размерность пространства решений ОСЛУ. Линейные отображения и их матрицы. Матрицу композиции сформулировали, как посчитать, но не доказали пока.

Все базисы равномощны. Ранг множества векторов и размерность векторного пространства. Переформулировка основной леммы о линейной зависимости в терминах рангов. Поведение строчного и столбцового ранга матрицы при элементарных преобразованиях строк и столбцов. До какого простейшего вида можно довести матрицу элементарными преобразованиями строк и столбцов? Теорема о ранге матрицы (то есть о совпадении строчного и столбцового ранга, без утверждения о минорах пока).

Всякая всячина о линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости. Базисы (множеств векторов); существование базиса (для подмножества конечномерного векторного пространства).

Решение слу методом Гаусса. Улучшенные ступенчатые матрицы. Критерий совместности и критерий определённости в терминах ступенчатого вида.

Упражнение. Верно ли, что улучшенный ступенчатый вид единственный?

Упражнение. Верно ли, что две систелы линейных уравнений эквивалентны тогда и только тогда, когда их расширенные матрицы получаются друг из друга элементарными преобразованиями сторок?

Вещественные векторные пространства. Примеры.

Упражнение. Какая из восьми аксиом векторного пространства вытекает из остальных?

Линейная зависимость (только определение пока).

Содержание курса. Системы линейных уравнений (всё над полем вещественных чисел пока; слова поле вообще не употреблялось пока). Эквивалентные системы. Что значит решить слу? Главные и свободные неизвестные. Эквиваленитные слу. Матрица коэффициентов и расширенная матрица слу. Элементарные преобразования строк. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.