Семинары, 102 группа

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 404 и по пятницам на каждой нечётной неделе на 2-й паре (13:15-14:50) в ауд. 405.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.


3 сентября 2018

Системы линейных уравнений (СЛУ), их решение методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

Домашнее задание:

10 сентября 2018

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

Домашнее задание:

14 сентября 2018

Линейная зависимость, базис системы векторов (три эквивалентных определения), координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

Домашнее задание:

17 сентября 2018

Вычисление ранга матрицы. Ранг суммы матриц. Фундаментальная система решений ОСЛУ.

Домашнее задание:

24 сентября 2018

Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц), их свойства, некоммутативность умножения матриц, делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц.

Домашнее задание:

28 сентября 2018

Умножение на диагональные матрицы и матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. Единичная матрица. Обратная матрица. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Решение матричных уравнений вида AX=B. Нахождение обратной матрицы.

Домашнее задание:

3 октября 2018

Матрица, обратная к транспонированной. Элементарные матрицы, умножение на них слева и справа. Задача: как изменится A^{-1}, если записать строки матрицы A в обратном порядке?

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

Домашнее задание:

8 октября 2018

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы.

Домашнее задание:

12 октября 2018

Вычисление определителей приведением к треугольному виду и приведением к определителю Вандермонда. Разложение определителя по строке и столбцу.

Домашнее задание:

15 октября 2018

Вычисление определителей разложением по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

Домашнее задание:

22 октября 2018

Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг присоединённой матрицы. Явная формула для обратной матрицы.

Домашнее задание:

26 октября 2018

Коллоквиум


29 октября 2018

Контрольная работа
  1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
  2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
  3. Решение матричного уравнения (1 вариант); нахождение обратной матрицы (2 вариант).
  4. Вычисление определителя размера 4×4.
  5. Вычисление определителя размера n×n.
  6. Вычисление трёхдиагонального определителя (1 вариант); решение уравнения в подстановках (2 вариант).

9 ноября 2018

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

Домашнее задание:

19 ноября 2018

Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

Свойства операции сопряжения. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа.

Домашнее задание:

23 ноября 2018

Извлечение корней из комплексных чисел. Группа U_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

Домашнее задание:

26 ноября 2018

Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов.

Домашнее задание:

7 декабря 2018

Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями C и R. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем Z_2 и степени ≤3 над полем Z_3.

Домашнее задание:

—-

10 декабря 2018

Рациональные корни многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в Q[x] равносильна разложимости на множители меньшей степени в Z[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над Q с помощью редукций.

Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай поля C.

Домашнее задание:

14 декабря 2018

Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R. Симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1, s_2, s_3, s_4 через элементарные симметрические многочлены. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.

Домашнее задание:

17 декабря 2018

Контрольная работа
  1. Возведение в степень (1 вариант) и извлечение корней (2 вариант) в поле C.
  2. Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
  3. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем R (1 вариант); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (2 вариант).
  4. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем Q.
  5. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем C (1 вариант) и R (2 вариант).
  6. Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.