Линейная алгебра и геометрия, семинары, 110 группа, 2024

Консультация перед экзаменом пройдет 13 мая в 17:00 в дистанционном формате:

Войти Zoom Конференция https://us02web.zoom.us/j/84578626525?pwd=VDJEb1A1YXBaOVdabXlJcit1bi9CUT09

Идентификатор конференции: 845 7862 6525 Код доступа: 050477


Занятие №1 (8 февраля, чт)

Повторение (Векторные пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Определение векторного подпространства.)

Матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

Домашнее задание: 34.6, 34.3(б,д,е), 34.4 (б), 34.5, 34.10 (а), 34.11 (б), 34.12, 34.14(а)


Занятие №2 (13 февраля, вт)

Повторение (Определение векторного подпространства, ранг системы векторов, линейная оболочка).

Способы задания подпространств.

Домашнее задание: 35.1 (и, к, о,п), 35.2 (в), 35.3, 35.4 (а), 35.11 (б), 35.16 (б), 35.10


Занятие №3 (15 февраля, чт)

Сумма и пересечение подпространств

Домашнее задание: 35.12, 35.13, 35.14 (б,в), 35.15 (б)


Занятие №4 (20 февраля, вт)

1) Прямая сумма подпространств

2) Линейные функции. Координаты.

ДЗ:

1) №35.18, 35.19, 35.22, 35.24,

2) №1, 2 из файла.


Занятие №5 (22 февраля, чт)

Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Преобразование координат линейной функции.

ДЗ: №36.9 (б), 36.10, 36.11, 36.12, 36.13, 36.14, 36.15, 36.18, задачи №3 (б), №4 (а) из файла.


Занятие №6 (27 февраля)

Линейные отображения (линейные операторы). Ядро. Образ. Матрица линейного отображения. Действия над линейными операторами

ДЗ: № 39.1+39.5, 39.15 (д,з,л,м,н), 36.2, 36.5*, 36.6*


Занятие №7 (29 февраля)

Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Ранг линейного оператора.

ДЗ: №39.2, 39.3, 39.7, 39.19 – 39.23, 39.16, 39.12а*.


Занятие №8 (5 марта, вт)

Собственные векторы и собственные значения. Диагонализируемость.

ДЗ: 40.1 б,в,д, 40.2, 40.3, 40.15 а,в,д,е, 40.6


Занятие №9 (7 марта, чт)

Диагонализируемость. Инвариантные подпространства.

ДЗ: 40.16 б,г, 40.27, 40.22, 40.23, 40.24, 40.29, 40.30, 40.7


Занятие №10 (12 марта, вт)

Факторпространства.

ДЗ: 34.14 (а)


Занятие №11 (14 марта, чт)

1) ЖНФ.

2) Подобные матрицы.

3) Обратимые, невырожденные операторы

ДЗ:

1) 41.1 (б,ж,е, г, и, л), 41.3 (б), 41.5

2) 41.8, 41.9


Занятие №12 (19 марта, вт)

1) Корневые подпространства.

2) Жорданов базис.

ДЗ:

1) №40.35 а,б,в, 40.38

2) №41.10 а,б,г


Занятие №13 (21 марта, чт)

1) Жорданов базис (продолжение).

2) Аннулирующие и минимальные многочлены.

ДЗ:

0) доделать №41.10 а,б,г

1) 41.22

2) 41.27(б), 41.30, 41.32


Темы задач на КР №1

1) Определение векторного пространства и подпространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.

2) Базис и размерность суммы и пересечения подпространств. Прямая сумма. Проекция вектора на подпространство.

3) Определение линейной функции. Координатная запись.

4) Сопряженное пространство. Нахождение сопряженного базиса.

5) Определение линейного оператора. Ядро и образ. Матрица линейного оператора. Ее изменения при переходе к другому базису.

6) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализируемость.

7) ЖНФ. Жорданов базис. Минимальный многочлен.


Занятие №14 (26 марта, вт)

0) Функции от матриц.

1) Билинейные функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг и ядро билинейной функции. Невырожденные билинейные функции.

ДЗ: 0) № 42.19 (д), 1) № 37.1 д, е, м, п, р, 37.6 а, 37.8 б, 37.12 б, 37.28


Занятие №15 (29 марта, чт)

1) Определение симметрических и кососимметрических билинейных функций.

2) Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Положительная и отрицательная определенность. Критерий Сильвестра.

ДЗ: 1) № 38.1, 38.4,

Задача: а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейной функции левое ядро совпадает с правым. б) Привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.

2) № 38.15 а, б, 38.11 (б,в), 38.14 (а,б), 38.18 (б,в,г,з), 38.17 (б), 38.19 (б), 38.22 (а)


Занятие №16 (2-го апреля, вт)

Коллоквиум. Занятие пройдет на 1-й паре в ауд. 405.

Занятие №17 (4-го апреля, чт)

КР1


Занятие №18 (9 апреля, вт)

1) Метод Якоби

2) Евклидово пространство. Длина вектора. Косинус угла между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис

3) Ортогонализация Грама-Шмидта

ДЗ:

1) 38.8 (а);

2) 43.28 (а), 43.39, 43.40

3) 43.7 (а), 43.15 (а)


Занятие №19 (11 апреля, чт)

1) Ортогональное дополнение. Угол между вектором и подпространством. Расстояние между вектором и подпространством.

2) Сопряженный оператор. Самосопряжённый и ортогональный операторы

ДЗ:

1) 43.16 (б), 43.17, 43.18(б), 43.19 (б,в), 43.21 (б)

2) 44.3, 44.7, 45.1, 45.9, 46.1


Занятие №20 (15 апреля, пн)

1) Самосопряженный оператор

2) Приведение квадратичной формы к главным осям

ДЗ:

1) 45.1,45.9, 45.4 (а,г,д,е)

2) 45.19 (в,г,д)


Занятие №21 (18 апреля, чт)

1) Ортогональный оператор

2) Полярное разложение

ДЗ:

1) 46.3, 46.6 (а,в,ж)

2) 46.15, 46.16 (б,в)


Занятие №22 (23 апреля, вт)

1) Приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

2) Полуторалинейные функции. Эрмитовы функции. Эрмитовы квадратичные формы. Приведение к нормальному виду.

3) Унитарное пространство. Процесс ортогонализации.

ДЗ:

2) 37.7 (б), 37.9 (б), 37.41, 38.11 (д,е), 38.18 (е)

2) 38.15 (г), 43.21 (е)


Занятие №23 (25 апреля, чт)

1) Эрмитов и унитарный операторы.

2) Приведение эрмитовой квадратичной формы к главным осям

ДЗ:

1) 45.7(а,б), 46.7(б,г),46.10(а)

2) 45.21(б)


Занятие №24 (2 мая, чт)

Аффинное пространство. Способы задания плоскости. Взаимное расположение плоскостей

ДЗ: 49.10 (б), 49.16 (а,в), 49.20 (б)

Следующее занятие - 4 пара 7 мая.


Занятие №25 (7 мая, вт)

Аффинно-евклидово пространство.

ДЗ: 49.19, 51.6 (б), 51.7 (б,в), 51.14 (б,в)


Занятие №26 (15 мая, чт)

Аффинные отображения

ДЗ: 49.31(б), 49.33(б), 49.34(б)


Занятие №27 (16 мая, чт)

Движения

ДЗ: 51.23 (б), 51.24 (б)

Во вторник 21-го мая будет два занятия. На 1-й паре в ауд. 1503 и на 4-й паре по расписанию.


Занятие №28 (20 мая, вт)

1) Движения

2) Тензоры

ДЗ: 1) 51.23 (г), 51.24 (г)

2) 47.3, 47.4, 47.5, 47.6, 47.7 (б,в), 47.8 (б,в,г)


Темы задач на КР №2

1) Билинейные и квадратичные функции. Метод Лагранжа. Нормальный вид. Эквивалентность. Положительная и отрицательная определенность.

2) Евклидовы пространства. Ортогонализация Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая. Угол и расстояние от вектора до подпространства.

3) Самосопряженный оператор. Приведение к главным осям. Ортогональный оператор. Полярное разложение.

4) Аффинное и аффинно-евклидово пространство. Плоскости. Их взаимное расположение. Расстояние между плоскостями.

5) Аффинные преобразования. Инвариантные плоскости.

6) Движения.

7) Тензоры.