Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по субботам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 404.

• 22 декабря 2022, 15:00−19:00, ауд. 404
• 27 декабря 2022, 10:00−14:00, ауд. 404
• 29 декабря 2022, 15:00−19:00, ауд. 404

• 16 января 2023, 10:00, ауд. 14-08

• 15 января 2023, 16:00, ауд. 12-06

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_6, S_3 и D_3; Z_4 и V_4; GL_2(C) и GL_3(C). Порядок элемента группы, его свойства, циклические группы. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7бв, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликтивная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z_4 либо V_4;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z_6 либо S_3.

Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n.

• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20б, 58.23, 58.24агж.

Классы сопряженности в группе A_n. Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S_3, S_4.

• 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.9, 58.10, 58.11а.

Факторгруппы, их вычисление с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, группа внутренних автоморфизмов Inn(G), её нормальность в Aut(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)).

• 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.32де, 58.33ге, 58.43;
• ★ доказать, что Aut(S_n) = Inn(S_n) ≅ S_n, кроме случаев n=2,6.

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.

• 60.2бвг, 60.5, 60.7, 60.8б, 60.12;
• какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
• разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.

Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.

• 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53, 60.54;
• Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
  1. группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией сложения;
  2. группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p_1,…,p_s}, с операцией умножения.

Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.

• 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.

Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов.

• 57.1бв, 57.2а, 57.9бв, 57.12в, 57.23б, 57.25, 57.31, 58.44.

Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).

• 62.7бг, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.13, 58.38, 58.49;
• вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
• 

Коллоквиум

Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(Z_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты групп заданного порядка.

• 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15, 59.22ав, 59.24;
• описать все силовские подгруппы в D_3×A_4.

Арифметика конечных групп: доказательство разрешимости и коммутативности групп заданного порядка (12 и 455).

Линейные и матричные представления групп, в том числе мономиальное представление симметрической группы и представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений.

• 59.20бвг, 59.23, 62.18вгде★, 69.1, 69.2, 69.7, 69.9.

Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.

• 70.2жз, 70.10, 70.34бге, 70.37аб, 70.39;
• описать все одномерные комплексные представления группы A_4×D_4;
• описать все неприводимые комплексные представления групп Q_8 и A_4.

Кольца, алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.

• 63.21б, 63.22а, 64.2, 64.8б, 64.43, 67.3бгдеж, 67.12★;
• представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈C — корень многочлена x³+x²+3x+4.

1. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (1 вариант) и количества элементов заданного порядка (2 вариант).
2. Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (1 вариант); описание орбит действия группы на множестве (2 вариант).
3. Доказательство коммутативности группы заданного порядка (1 вариант); описание силовских подгрупп в группе (2 вариант).
4. Вычисление производного ряда группы (1 вариант); доказательство разрешимости группы заданного порядка (2 вариант).
5. Описание одномерных комплексных представлений группы.
6. Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю Z_2 (1 вариант) и C (2 вариант).