Семинары, 202 группа

Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 3-й паре (13:15-14:50) в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.


4 сентября 2017

Единственность нейтрального и обратного элементов в группе. Задание конечных групп таблицей умножения, примеры: группа Клейна V_4, группа кватернионов Q_8. Примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z_4 и V_4; GL_2(C) и GL_3(C). Сопряжённость элементов в группе. Порядки сопряжённых элементов совпадают. Классификация конечных групп порядка ≤10 (формулировка, для групп порядка 4 доказано).

Домашнее задание:

11 сентября 2017

Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q_8, S_n, D_n. Нормальные подгруппы в группах S_3, S_4.

Домашнее задание:

18 сентября 2017

Сопряжённость в группе A_n. Вычисление факторгрупп непосредственно и с помощью основной теоремы о гомоморфизмах. Автоморфизмы групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z_9)).

Домашнее задание:

25 сентября 2017

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.

Домашнее задание:

2 октября 2017

Конечно порождённые и не конечно порождённые абелевы группы, примеры. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы. Критерий конечности факторгруппы свободной абелевой группы.

Домашнее задание:

9 октября 2017

Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.

Домашнее задание:

16 октября 2017

Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Пять правильных многогранников (платоновы тела), двойственность между ними. Группы движений двойственных многогранников совпадают. Группа вращений тетраэдра.

Домашнее задание:

23 октября 2017

Теоретико-групповое определение и классификация правильных многогранников. Формула Бернсайда для числа орбит действия конечной группы на конечном множестве. Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости, формула классов.

Домашнее задание:

30 октября 2017

Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Разрешимые группы.

Домашнее задание:

13 ноября 2017

Коллоквиум


20 ноября 2017

Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A_4, в GL_2(Z_p), в прямом произведении групп. Арифметика конечных групп: доказательство непростоты и разрешимости групп заданного порядка (80, 12).

Домашнее задание:

27 ноября 2017

Арифметика конечных групп: доказательство коммутативности групп заданного порядка (455), классификация групп порядка ≤10.

Линейные и матричные представления групп, в том числе представление в пространстве функций на множестве с действием группы. Приводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Нахождение инвариантных подпространств и доказательство неприводимости (пример: мономиальное представление группы A_n при n≥5). Теорема Машке.

Домашнее задание:

4 декабря 2017

Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V_4). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (пример: S_3×D_5). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.

Домашнее задание:

11 декабря 2017

Алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен. Конечные поля, построение поля F_16.

Домашнее задание:

18 декабря 2017

Контрольная работа
  1. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней количества элементов заданного порядка (1 вариант) и порядка заданного элемента (2 вариант).
  2. Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (1 вариант); описание орбит действия группы на множестве (2 вариант).
  3. Доказательство коммутативности группы заданного порядка (1 вариант); описание силовских подгрупп в группе (2 вариант).
  4. Вычисление производного ряда группы (1 вариант); доказательство разрешимости группы заданного порядка (2 вариант).
  5. Описание одномерных комплексных представлений группы.
  6. Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю Z_2 (1 вариант) и C (2 вариант).