Преподаватель: Д.А. Тимашёв

Занятия проходят по вторникам на 1-й паре (9:00-10:35) в ауд. 407.

• 19 декабря 2025, 9:00−12:00, ауд. 12-26а
• 24 декабря 2025, 13:00−16:00, ауд. 12-26б
• 29 декабря 2025, 13:00−16:00, ауд. 14-04

• 20 января 2026, 10:00, ауд. 12-06

• 19 января 2026, 12:00, ауд. 12-07

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И. Кострикина, новое изд., Москва, МЦНМО, 2009. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Группы (напоминание из 1-го семестра): определение, единственность нейтрального и обратного элементов в группе, абелевы группы, мультипликативная и аддитивная терминологии. Примеры групп: аддитивные и мультипликативные группы колец и полей, матричные и линейные группы, группы движений (в т.ч. группа диэдра D_n), группы подстановок (симметрическая группа S_n и знакопеременная группа A_n). Задание конечной группы таблицей умножения, примеры: группа Клейна V₄ и группа кватернионов Q₈. Изоморфизм групп, примеры изоморфных и неизоморфных групп: аддитивная и мультипликативная группы поля R, а также группа положительных вещественных чисел по умножению; Z₆, S₃ и D₃; Z₄ и V₄. Порядок элемента группы, его свойства, циклические подгруппы.

• 55.16, 55.25абг, 55.26, 56.7бв, 56.10, 56.11;
• какие из групп изоморфны: аддитивная группа поля рациональных чисел, его мультипликативная группа, группа положительных рациональных чисел (по умножению)?
• изоморфны ли группы GL₂(C) и GL₃(C)?

Теорема Лагранжа и её следствия о порядках элементов в конечных группах. Проблема классификации конечных групп, группы простого порядка. Сопряжённость элементов в группе, классы сопряжённости, центр группы. Вычисление классов сопряженности и центра для групп Q₈, S_n, D_n.

• доказать, что любая группа порядка 4 изоморфна либо Z₄ либо V₄;
• ★ доказать, что любая группа порядка 6 изоморфна либо Z₆ либо S₃;
• 57.29, 57.30б, 57.36, 58.20бв, 58.23, 58.24агж.

Нормальные подгруппы, их перечисление в группах S₃ и S₄. Факторгруппы.

• 58.1абд, 58.2, 58.3, 58.4б, 58.10, 58.11а, 58.12.

Гомоморфизмы, их ядра и образы. Основная теорема о гомоморфизмах, вычисление факторгрупп с её помощью. Автоморфизмы групп, группы внутренних автоморфизмов Inn(G) и внешних автоморфизмов Out(G). Автоморфизмы циклических групп, вычисление Aut(Aut(Aut Z₉)).

• 57.39а, 57.40, 57.41б, 58.32де, 58.33ге, 58.41;
• доказать, что Inn(G) нормальна в Aut(G);
• ★ доказать, что Aut(S_n) = Inn(S_n) ≅ S_n, кроме случаев n=2,6.

Прямое произведение (прямая сумма) групп, примеры разложений и неразложимости групп в прямые произведения (прямые суммы). Полупрямое произведение групп, примеры.

• 60.2бг, 60.5, 60.7, 60.8, 60.12;
• какие из групп в задаче 60.2 разложимы (нетривиальным образом) в полупрямое произведение?
• разложить в полупрямое произведение группы: а) GL_n(K) б) невырожденных верхнетреугольных матриц размера n×n.

Системы порождающих в группе, конечно порождённые и не конечно порождённые группы, примеры. Случай абелевых групп, свободные конечно порождённые группы. Структура конечно порождённых абелевых групп, её определение, исходя из представления группы в виде факторгруппы свободной группы по подгруппе, заданной набором порождающих элементов, приведением целочисленной матрицы координат порождающих элементов подгруппы к «диагональному» виду. Вычисление порядка элемента в конечно порождённой абелевой группе, представленной как факторгруппа свободной группы.

• 60.32, 60.50, 60.51, 60.52агд, 60.53.
• Доказать:
  1. группа S_n порождена транспозицией (1,2) и циклом (1,2,…,n);
  2. группа A_n порождена парами независимых транспозиций при n ≥ 5;
  3. группа B_n(K) невырожденных верхнетреугольных матриц порождена элементарными матрицами 1-го и 3-го типов.
• Являются ли конечно порождёнными следующие группы:
  1. группа рациональных дробей m/n, у которых простые делители n содержатся среди {p₁,…,p_s}, с операцией сложения;
  2. группа рациональных дробей m/n≠0, у которых простые делители m и n содержатся среди {p₁,…,p_s}, с операцией умножения.

Конечные абелевы группы, их структура, тип группы. Классификация конечных абелевых групп заданного порядка. Определение типа факторгруппы конечной (или конечно порождённой) абелевой группы. Вложимость конечных абелевых групп друг в друга. Количество подгрупп заданного порядка в данной конечной абелевой группе.

• 60.39ежз, 60.40ав, 60.42, 60.43бв, 60.45.

Действия групп на множествах, описание орбит и стабилизаторов. Порядок орбиты конечной группы. Группа движений тетраэдра, правильные многогранники.

• 57.1абв, 57.2а, 57.3, 57.9бв, 57.10, 57.12в, 57.13в★.

Действие группы на себе сопряжениями: классы сопряжённости и централизаторы, число элементов в классе сопряжённости. Силовские подгруппы, теоремы Силова, примеры: силовские подгруппы в A₄, в SL₂(Z_p), в прямом произведении групп.

• 57.23б, 57.25, 57.31, 59.3а, 59.4а, 59.9, 59.13где, 59.15;
• описать все силовские 3-подгруппы в D₃×A₄.

Коллоквиум

Коммутант группы, его свойства. Вычисление коммутанта группы G методом оценки сверху (ядро гомоморфизма G в абелеву группу) и снизу (подгруппа, порождённая некоторым количеством коммутаторов). Кратные коммутанты, разрешимые группы, критерий разрешимости (в терминах подгруппы и факторгруппы).

• 62.7г, 62.8б, 62.10, 62.11в, 62.19, 62.20, 58.38;
• вычислить производный ряд для группы, состоящей из невырожденных действительных матриц вида
• 

Арифметика конечных групп: доказательство непростоты, разрешимости и коммутативности групп заданного порядка. Классификация групп порядка ≤10.

• 59.20вг, 59.22ав, 59.23, 59.24, 62.18вгде★;
• доказать, что любая неабелева группа порядка 8 изоморфна либо Q₈, либо D₄;
• ★ классифицировать все группы порядка p³, где p — нечётное простое число.

Линейные и матричные представления групп, пример: мономиальное представление симметрической группы. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления, разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Теорема Машке. Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп (пример: V₄). Описание одномерных комплексных представлений конечных групп (примеры: S_n, S₃×D₅). Факты о количестве и размерностях неприводимых комплексных представлений конечной группы. Описание всех неприводимых комплексных представлений группы D_n.

• 69.2, 69.9, 70.2жз, 70.10, 70.34е, 70.37аб, 70.39;
• описать все одномерные комплексные представления группы A₄×D₄;
• описать все неприводимые комплексные представления групп Q₈ и A₄.

Кольца, алгебры, структурные константы. Классификация двумерных комплексных алгебр с единицей. Идеалы, главные идеалы, кольца главных идеалов. Факторалгебры K[x]/(f), их свойства, вычисления в K[x]/(f). Присоединение корня, избавление от иррациональности в знаменателе. Минимальный многочлен.

• 63.22а, 64.2, 64.8, 64.42, 67.3бгдеж, 67.12;
• представить выражение (a²-3a-1)/(a²+2a+1) в виде многочлена от a наименьшей возможной степени с рациональными коэффициентами, где a∈C — корень многочлена x³+x²+3x+4;
• найти минимальный многочлен элемента a²+a+1 над полем Z₂, где a — корень неприводимого над Z₂ многочлена x⁴+x+1.

1. Вычисление факторгруппы свободной абелевой группы и нахождение в ней порядка заданного элемента (1 вариант) и количества элементов заданного порядка (2 вариант).
2. Нахождение централизатора элемента группы подстановок и количества элементов в его классе сопряжённости (1 вариант); описание орбит действия группы на множестве (2 вариант).
3. Доказательство коммутативности группы заданного порядка (1 вариант); описание силовских подгрупп в группе (2 вариант).
4. Вычисление производного ряда группы (1 вариант); доказательство разрешимости группы заданного порядка (2 вариант).
5. Описание одномерных комплексных представлений группы.
6. Избавление от иррациональности в знаменателе выражения в поле, получаемом присоединением корня неприводимого многочлена к полю Z₃ (1 вариант) и Q (2 вариант).