4.9.2012 Кольца. Идеалы. Кольца главных идеалов. Факторкольца. Теорема и гомоморфизме. Простые и максимальные идеалы (определения, свойства). Конструкция алгебраического замыкания конечного поля. Отображение Фробениуса. Совершенные поля. Алгебраическое расширение совершенного поля. Алгебраическая зависимость. Базисы трансцендентности. Степень трансцендентности.
11.9.2012 Число элементов базиса трансцендентности не зависит от его выбора. Лемма об алгебраической зависимости. Алгебраические подмножества в аффинном пространстве. Их свойства. Топология Зарисского. Неприводимые алгебраические множества. Примеры.
18.9.2012 Лемма о двух многочленах. Следствия. Строение алгебраических множеств на аффинной плоскости. Касательное пространство Зарисского. Кольцо регулярных функций. Полее рациональных функций. Локальное кольцо точки. Размерность многообразия. Ее свойства.
4.10.2012 Особые и неособые точки многообразия. Множество особых точке. Градуированные кольца. Однородные идеалы. Проективные многообразия. Однородное координатное кольцо. Поле рациональных функций. Аффинное покрытие.
11.10.2012 Теорема Безу. Точки перегиба плоской кривой. Гессиан. Его свойства. Эллиптические кривые. Нормальная форма Вейерштрасса.
18.10.2012 Точки перегиба эллиптической кривой. Конфигурация точек перегиба и ее группа автоморфизмов. j-инвариант.
25.10.2012 Групповой закон на эллиптической кривой. Лемма о кубических кривых. Доказательство ассоциативности (для общих точек). Точки порядка 2 и 3.
1.11.2012 Явные формулы для группового закона на эллиптической кривой. Эллиптические кривые над незамкнутыми полями. Рациональные кривые. Нерациональность эллиптических кривых.
Понятие римановой поверхности. Примеры. Комплексные торы. Эллиптические функции. Теоремы Лиувилля. ℘-функция Вейерштрасса. Сходимость ряда.
Порождающие поля эллиптических функций. Дифференциальное уравнение для ℘-функции. Связь эллиптических кривых над С и комплексных торов. Групповой закон.
6.12.2012 Эквивалентность решеток. Модулярная группа. Ее свойства.