• Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда

    • Различия

    Показаны различия между двумя версиями страницы.

    Ссылка на это сравнение

    Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
    Следующая версия     		Предыдущая версия
    s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [02.12.2025 12:31]
    gordienko     		s_k_rings_and_algebras_2025_2026 [03.03.2026 10:35] (текущий)
    gordienko
    Строка 6: Строка 6:
     Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов. Годовой спецкурс (два независимых полугодовых спецкурса) для студентов 2-6 курса, магистрантов и аспирантов.
      
    -**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **8 сентября 2025 года**+**понедельник**, **18:30-20:05**, ауд. **14-08** (главное здание МГУ), первая лекция **9 февраля 2026 года**
      
    -**среда**, **16:45-18:20**, ауд. **405** (2-й учебный корпус), в следующие даты: **12, 19, 26 ноября** и **10 декабря**.+**среда**, **16:45-18:20**, ауд. станет известна позднее, в следующие даты: **1, 15, 22, 29 апреля**, **6** и **13 мая**.
      
    -Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца") состоится **15 декабря** вместо последней лекции. +Экзамен по задачам весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли") состоится **18 мая** вместо последней лекции. 
      
     **[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]** **[[https://disk.yandex.ru/i/ch5h4BeXRPmbfw|Задачи осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца")]]**
     +
     +**[[https://disk.yandex.ru/i/fYkoZjMAoyKrWg|Задачи весеннего семестра (спецкурс "Алгебры Ли"; в процессе составления)]]**
      
     Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами. Решённые задачи нужно будет принести в **отдельной** тонкой тетради. На экзамене будут заданы задачи и вопросы на понимание по программе ниже. Число вопросов и задач будет зависеть от того, насколько много задач вам удастся сделать дома из списка выше, и того, насколько часто я вас видел на лекциях. На экзамене ничем нельзя будет пользоваться, кроме тетради с решёнными задачами.
    Строка 22: Строка 24:
     Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора $[a,b]:=ab-ba$. В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре--Биркгофа--Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви--Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй. Весенний семестр (изложение будет вестись независимо от осеннего семестра) будет посвящён алгебрам Ли. Алгебры Ли находят своё применение в механике, физике, геометрии и дифференциальных уравнениях. С алгебрами Ли мы впервые знакомимся на первом курсе, изучая векторное произведение векторов, относительно которого векторы трёхмерного пространства и образуют алгебру Ли. Также любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора $[a,b]:=ab-ba$. В курсе планируется рассмотреть следующие темы: теоремы Энгеля и Ли, простые и полупростые алгебры Ли, форма Киллинга, критерий Картана, системы корней, диаграммы Дынкина, разрешимый и нильпотентный радикалы, подалгебра Картана, универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли, теорема Пуанкаре--Биркгофа--Витта, леммы Уайтхеда, теорема Вейля. Особое внимание планируется уделить когомологиям алгебр Ли и гомологическим методам. В частности, при помощи когомологий алгебр Ли будет доказана знаменитая теорема Леви--Мальцева об отщеплении разрешимого радикала максимальной полупростой подалгеброй.
      
    -__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем семестре поддержано фондом БАЗИС. +__Благодарности:__ чтение спецкурса в осеннем и весеннем семестрах поддержано фондом БАЗИС. 
      
     1) **08.09.2025.** Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом. 1) **08.09.2025.** Кольцо, ассоциативное кольцо. Кольцо с единицей. Левые и правые модули над кольцом.
    Строка 86: Строка 88:
     Цепные гомотопии. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (закончили). Алгебры размерности Хохшильда $0$ - это в точности сепарабельные алгебры. Цепные гомотопии. Связь функтора $\mathrm{Ext}$ и когомологий Хохшильда (закончили). Алгебры размерности Хохшильда $0$ - это в точности сепарабельные алгебры.
      
     +16) **08.12.2025**. Расширения Хохшильда алгебр. Группа $H_R^2(A;M)$. Теорема Веддербёрна-Мальцева (начали доказывать).
     +
     +
     +17) **10.12.2025**. Теорема Веддербёрна-Мальцева (закончили). Случай колец без единицы.
     +Точная длинная последовательность для когомологий Хохшильда. (Два достаточных условия.)
     +Глобальная размерность. Кольца глобальной размерности 0 - это в точности артиновы полупростые кольца. Гомологии Хохшильда.
     +
     +Темы, которые мы разобрать **не успели**: связь гомологий Хохшильда с функтором $\mathrm{Tor}$, кэлеровы дифференциалы.
     +
     +**15.12.2025**. Экзамен по задачам осеннего семестра (спецкурс "Ассоциативные кольца").
     +
     +18) **09.02.2026.** Организационные вопросы. Алгебры Ли. Разные определения антикоммутативности.
     +
     +__Упражнение.__ Проверить тождество Якоби для векторного произведения векторов - направленных отрезков.
     +
     +__Упражнение.__ Показать, что любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли относительно коммутатора [a,b]:=ab-ba.
     +
     +Дифференцирования. Внутренние дифференцирования.
     +
     +__Упражнение.__ Как устроены дифференцирования кольца многочленов от n переменных над произвольным полем?
     +
     +Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры. Гомоморфизмы, идеалы, центр алгебры Ли.
     +
     +__Упражнение.__ Сформулировать и доказать теорему о гомоморфизме для алгебр Ли.
     +
     +__Упражнение.__ Доказать теоремы об изоморфизме для алгебр Ли.
     +
     +Гомоморфизм ad.
     +
     +__Упражнение.__ Показать, что внутренние дифференцирования образуют идеал в алгебре Ли всех дифференцирований.
     +
     +Простые алгебры Ли. Коммутант. Абелевы алгебры Ли.
     +Разрешимые алгебры Ли.
     +
     +19) **16.02.2026.** Значение дифференцирования на единице алгебры с единицей. Представление алгебр Ли. Модули над алгебрами Ли.
     +
     +__Упражнение.__ Покажите, что алгебра Ли верхнетреугольных матриц разрешима.
     +
     +Разрешимый радикал. 
     +
     +__Упражнение.__ Пусть $L$ --- конечномерная алгебра Ли. Тогда факторалгебра $L/\mathrm{Rad}\ L$ полупроста.
     +
     +Нильпотентные алгебры Ли.
     +
     +__Упражнение.__ В любой алгебре Ли произвольный длинный коммутатор представляется в виде целочисленной линейной комбинации левонормированных коммутаторов.
     +
     +__Упражнение.__ Сумма двух нильпотентных идеалов нильпотентна.
     +
     +Теорема Энгеля.
     +
     +20) **02.03.2026.** Теорема Ли. Нильпотентность коммутанта конечномерной разрешимой алгебры Ли. Разложение Жордана-Шевалле.
     +
     +(Продолжение следует.)
     +
     +**[[https://disk.yandex.ru/i/8RKK_pKxJ765OA|Лекции по алгебрам Ли (в процессе написания)]]**
     +
     +Видеозаписи лекций на сайте teach-in (эти же видео выложены на многих других платформах; чтобы их найти, используйте поиск в интернете):
     +
     +**[[https://teach-in.ru/course/associative-rings| Ассоциативные кольца (осенний семестр)]]**
      
     +**[[https://teach-in.ru/course/lie-algebras-gordienko|Алгебры Ли (весенний семестр)]]**
      
     __Литература:__ __Литература:__
    s_k_rings_and_algebras_2025_2026.1764667863.txt.gz · Последнее изменение: 02.12.2025 12:31 — gordienko

  • Показать страницу
  • История страницы
  • Ссылки сюда
  • Недавние изменения