3 декабря 2003

Д.А. Шмелькин

Колчаны со знаком и системы корней симметризуемых
матриц Картана

Этот доклад является продолжением доклада 16 апреля сего года. Колчан со знаком это обобщение колчана, соответствующее некоторому естественному классу представлений редуктивных групп. Эти линейные группы реализуются в терминах специальных (симметрических) представлений некоторого колчана Q, снабженного антиавтоморфизмом. Таким образом, орбиты этих групп могут быть описаны в терминах неразложимых симметрических представлений Q. Один из важных результатов позволяет свести описание последних к обычному понятию неразложимости представления. Используя этот факт, мы классифицируем конечные и ручные колчаны со знаком и их неразложимые симметрические представления.

Как известно, В.Кац доказал, что размерности неразложимых представлений составляют систему корней соответствующую графу колчана. В нашем случае граф наследует знак и автоморфизм колчана Q. Если автоморфизм является допустимым, то система корней графа естественно "факторизуется" по автоморфизму, и полученное множество является системой корней, соответствующей некоторой факторизации графа, причем последний имеет кратные ребра, т.е. соответствует не симметричной, а симметризуемой матрице Картана. Таким образом колчанам со знаком с допустимым антиавтоморфизмом соответствует симметризуемая система корней.

Возникает естественная гипотеза о том, что множество размерностей неразложимых симметрических представлений составляет именно эту систему корней. Для конечных и ручных колчанов это оказывается верно. Если позволит время, это будет показано на простых примерах.

список заседаний 2003-2004

следующий анонс	3 декабря 2003	предыдущий анонс
Д.А. Шмелькин Колчаны со знаком и системы корней симметризуемых матриц Картана Этот доклад является продолжением доклада 16 апреля сего года. Колчан со знаком это обобщение колчана, соответствующее некоторому естественному классу представлений редуктивных групп. Эти линейные группы реализуются в терминах специальных (симметрических) представлений некоторого колчана Q, снабженного антиавтоморфизмом. Таким образом, орбиты этих групп могут быть описаны в терминах неразложимых симметрических представлений Q. Один из важных результатов позволяет свести описание последних к обычному понятию неразложимости представления. Используя этот факт, мы классифицируем конечные и ручные колчаны со знаком и их неразложимые симметрические представления. Как известно, В.Кац доказал, что размерности неразложимых представлений составляют систему корней соответствующую графу колчана. В нашем случае граф наследует знак и автоморфизм колчана Q. Если автоморфизм является допустимым, то система корней графа естественно "факторизуется" по автоморфизму, и полученное множество является системой корней, соответствующей некоторой факторизации графа, причем последний имеет кратные ребра, т.е. соответствует не симметричной, а симметризуемой матрице Картана. Таким образом колчанам со знаком с допустимым антиавтоморфизмом соответствует симметризуемая система корней. Возникает естественная гипотеза о том, что множество размерностей неразложимых симметрических представлений составляет именно эту систему корней. Для конечных и ручных колчанов это оказывается верно. Если позволит время, это будет показано на простых примерах. список заседаний 2003-2004