Э.Б. Винберг

Короткие SO_3-структуры на простых алгебрах Ли и
ассоциированные квазиэллиптические плоскости

Пусть G - простая компактная группа Ли без центра. Короткая SO_3-структура на алгебре Ли g - это такое вложение SO_3\to G, что размерности неприводимых компонент индуцированного представления SO_3:g не превосходят пяти. С каждой такой структурой связана некоторая простая (вообще говоря, неассоциативная) алгебра с инволюцией J (алгебра Кантора-Аллисона) и представление алгебры g в виде

где при коммутировании косоэрмитовых матриц к обычному матричному коммутатору добавляется некоторое явно указываемое дифференцирование. Группа SO_3 действует на первом слагаемом сопряжениями, а на втором - тривиально.

Симметрическое пространство группы G, определяемое элементом diag(1,-1,-1) группы SO_3, является "квазиэллиптической плоскостью над J", в которой есть "точки" (обычные), "прямые" и корреляция, переставляющая точки и прямые. Любые две прямые общего положения пересекаются в одном и том же конечном числе точек, называемом степенью данной квазиэллиптической плоскости.

Все особые (и многие классические) симметрические пространства могут быть представлены в таком виде, иногда двумя способами. Например, 128-мерное симметрическое пространство E_8/D_8 есть квазиэллиптическая плоскость над тензорным произведением двух алгебр октав, что в некотором смысле доказывает старую гипотезу Б.А.Розенфельда. Прямые этой плоскости - это (64-мерные) симметрические пространства вида SO_16/N(SO_8xSO_8). Ее степень равна 135.