И.В. Аржанцев

Эпиморфные подгруппы и рационально связные
однородные пространства
(по работам Ф. Бьена, А. Бореля и Я. Коллара)

Хорошо известно, что однородное пространство G/H аффинной алгебраической группы G является квазипроективным алгебраическим многообразием. Известно также, когда такое многообразие проективно, квазиаффинно и аффинно (в последнем случае ответ получен только для редуктивной G). Интересно было бы получить критерий квазиполноты однородного пространства, т.е. описать однородные пространства, на которых регулярными функциями являются только константы. Если пространство G/H обладает этим свойством, то подгруппу H называют эпиморфной в G. Несмотря на большое количество как необходимых так и достаточных условий, а также переформулировок свойства эпиморфности в других терминах, эффективный критерий квазиполноты однородного пространства пока не найден.

Однородное пространство называют рационально связным, если любые две его точки можно соединить кривой, являющейся образом регулярного морфизма из проективной прямой в наше пространство. Ясно, что каждое рационально связное пространство является квазиполным. С другой стороны, свойство рациональной связности представляется более доступным для изучения. В докладе планируется дать обзор известных результатов в этом направлении.