Плоская алгебраическая кривая, многоугольник Ньютона которой содержит $d$ целочисленных точек, полностью определяется заданием $d$ точек на плоскости, через которые она проходит. Оказывается, ее коэффициенты, рассматриваемые как функции наборов координат этих точек, коммутируют относительно скобок Пуассона, соответствующих любым парам координат, относящимся к одной и той же точке. Этот факт, и некоторые его вариации, был обнаружен в 2002–03 гг. математическими физиками (О.Бабелон и М.Талон, Энрикес и Рубцов). Как частный случай мы получаем, что коэффициенты интерполяционного полинома с простыми узлами интерполяции (известного как интерполяционный полином Лагранжа) коммутируют относительно скобок Пуассона, заданных на данных интерполяции. Мы сформулируем и докажем общее утверждение, из которого, в частности, следуют сформулированные выше результаты, и покажем, что интегрируемые системы указанного типа, в частности, связаны с некоторой версией интерполяционного полинома Эрмита, с моделями Вейерштрасса кривых, с симметрическими степенями кривых.