Пусть $X$ — сферическое однородное пространство связной редуктивной комплексной алгебраической группы $G$. (Сферичность означает, что борелевская подгруппа $B\subset G$ действует на $X$ с открытой орбитой.) Предположим, что группа $G$, многообразие $X$ и действие $G$ на $X$ определены над полем действительных чисел $\mathbb R$. Тогда группа вещественных точек $G(\mathbb R)$ действует на множестве вещественных точек $X(\mathbb R)$ уже, вообще говоря, не транзитивно, но с конечным числом орбит, и естественная задача состоит в классификации этих орбит. Классический пример: действие группы $G=GL_n$ на многообразии $X$ невырожденных квадратичных форм от $n$ переменных, приводящее к классификации комплексных и вещественных квадратичных форм относительно линейных замен переменных.

Недавно докладчик рассказывал о решении задачи классификации вещественных орбит для симметрических пространств (http://halgebra.math.msu.su/Lie/2016-2017/16-11-2016.html). В настоящем докладе будет дано решение задачи в случае, когда группа $G$ расщепима над $\mathbb R$ (к которому относится и вышеприведённый пример). Оказывается, $G(\mathbb R)$-орбиты на $X(\mathbb R)$ взаимно однозначно соответствуют орбитам некоторой конечной группы Кокстера (так называемая "малая группа Вейля" многообразия $X$) на множестве открытых $B(\mathbb R)$-орбит или, что эквивалентно, на множестве $T(\mathbb R)$-орбит вещественных точек некоторой $T$-орбиты, называемой "плоскостью" (flat) или "слайсом Бриона-Луны-Вюста-Кнопа", в открытой $B$-орбите, где $T\subset B$ — расщепимый максимальный тор. Доказательство основано на следующих трёх соображениях:

1) всякая $G(\mathbb R)$-орбита в $X(\mathbb R)$, будучи открытой в классической топологии, пересекает открытую $B$-орбиту в $X$ по нескольким открытым $B(\mathbb R)$-орбитам;

2) действие минимальных параболических подгрупп в $G(\mathbb R)$ на $B(\mathbb R)$-орбиты позволяет определить на множестве $B(\mathbb R)$-орбит в $X(\mathbb R)$ "операторы простых отражений", последовательное применение которых позволяет в конечном итоге "размазать" $B(\mathbb R)$-орбиту в $G(\mathbb R)$-орбиту;

3) имеется соответствие между $B(\mathbb R)$-орбитами и компонентами связности множества вещественных точек поляризованного кокасательного расслоения к $X$, аналогичное комплексному случаю (теория Кнопа), которое позволяет склеить операторы простых отражений в действие группы Вейля.