Пусть $\mathfrak g=\mathfrak g(n,l)$ — свободная $l$-ступенно нильпотентная (нильпотентная класса $l$) вещественная алгебра Ли с образующими $\xi_1,\ldots ,\xi_n$ и $G=G(n,l)$— соответствующая односвязная группа Ли. Положим $x_i=\mathrm {exp}\,\xi_i \,(i=1,\ldots,n)$ и рассмотрим полугруппу $B=B(n,l)\subset G$, порожденную однопараматрическими полугруппами $\{x_i^t:\,t\geq 0\},\, i=1,\ldots ,n$. Пусть, далее, $\Gamma=\Gamma(n,l)\subset G $ — подгруппа, порожденная элементами $x_1,...,x_n$ и $S=S(n,l)\subset B\cap \Gamma$ — полугруппа (с единицей), порожденная этими элементами. В совместной работе докладчика и Г. Абельса возникла следующая проблема:

Проблема 1. Верно ли, что $S=B\cap \Gamma$?
Это очевидно верно при $l=1$, когда $G$ — векторная группа, а $B$ — координатный ортант. Нетрудно также показать, что это верно при $l=2,\, n=2$, когда $G$ — трехмерная группа Гейзенберга (а $B$ — так называемый клюв Гейзенберга). В общем случае проблема представляется весьма сложной. Ее решение, видимо, должно включать в себя решение следующей проблемы:

Проблема 2. Дать явное описание полугруппы $B\subset G$ (например, в канонических координатах).

В докладе будет получено такое описание при $l=2,\, n=3$ и будет дана его интерпретация в терминах теории вероятностей.