Орисферические многообразия — это неприводимые многообразия с локально транзитивным действием аффинной алгебраической группы, такие, что стабилизатор типичной точки содержит максимальную унипотентную подгруппу. Аффинные орисферические ($S$-многообразия) были введены в статье Э.Б. Винберга и В.Л. Попова 1972 года. Напомним, что аффинное многообразие X называется гибким, если на множестве его гладких точек транзитивно действует группа специальных автоморфизмов $\mathrm {SAut}(X)$, то есть подгруппа в группе автоморфизмов, порождённая всеми алгебраическими подгруппами, изоморфными аддитивной группе поля $G_a$. Из гибкости аффинного алгебраического многообразия следует бесконечная транзитивность действия группы $\mathrm {SAut}(X)$ на множестве гладких точек.

В 2016 году А.А. Шафаревич доказал гибкость $S$-многообразий полупростых групп. Доказательство основано на том, что автоморфизмы, получаемые действием группы, лежат в подгруппе специальных автоморфизмов. После этого строились $G_a$-действия, соединяющие различные орбиты.

В докладе будет рассказано обобщение данного результата на случай нормального $S$-многообразия любой алгебраической группы $G$ (легко видеть, что её всегда можно считать редуктивной). Аналогично результату А.А. Шафаревича можно доказать, что на гладких точках действует транзитивно группа, порождённая $\mathrm{SAut}(X)$ и максимальным тором в $G$. Далее доказывается, что из этого следует, что и только $\mathrm{SAut}(X)$ действует транзитивно на регулярных точках. Это удаётся доказать в условии конечной порождённости кольца Кокса многообразия $X$, что верно для $S$-многообразий, как доказано М. Брионом в 2007 году. Несложно построить пример ненормального негибкого $S$-многообразия.

Открытый вопрос, сформулированный в статье Аржанцева-Зайденберга-Калимана- Кучебауха– Фленера (2012) заключается в том, какие неприводимые аффинные многообразия с локально транзитивным действием (полупростой в оригинальном вопросе) группы $G$ являются гибкими. Мы делаем первый шаг в направлении решения этого вопроса, доказав, что если данное многообразие нормально, не имеет обратимых функций, его группа классов и его кольцо Кокса конечно порождены, то для любой редуктивной группы $G$ группа специальных автоморфизмов действует с открытой орбитой.