Редуктивную алгебру Ли $\mathfrak g$ можно рассматривать как бипуассоново многообразие со скобками $\{\cdot,\cdot\}$ и $\{\cdot,\cdot\}_a$, для которых $\{f,g\}(x) = (x,[d_x f, d_x g])$ и $\{f,g\}_a(x) = (a,[d_x f, d_x g])$, где $(\cdot,\cdot)$ — инвариантное скалярное произведение на $\mathfrak g$, элемент $a$ фиксирован, а $x$ — произвольный элемент. Зададимся вопросом о поиске полной системы функций в биинволюции относительно обеих скобок. Если элемент $a$ регулярен, то ответ даёт метод сдвига аргумента Мищенко–Фоменко. Оказывается, этот метод можно рассматривать как частный случай более общего подхода.

Скобки Пуассона $\{\cdot,\cdot\}$ и $\{\cdot,\cdot\}_a$ можно рассматривать как кососимметрические билинейные формы $F$ и $F_a$ в пространстве дифференциальных 1-форм на $\mathfrak g$ с коэффициентами из поля $\mathbb C(\mathfrak g)$. Чтобы найти полную систему функций в биинволюции, достаточно найти базис подпространства, билагранжева относительно форм $F$ и $F_a$, и «проинтегрировать» его по переменной $x$, если это возможно. Для нахождения базиса билагранжева подпространства пара форм $(F,F_a)$ приводится к каноническому виду Жордана–Кронекера.

Доклад посвящён описанию полных систем функций в биинволюции, соответствующих некоторым каноническим базисам пары форм $(F,F_a)$. Для алгебр Ли $\mathfrak{sl}_n$ и $\mathfrak {sp}_{2n}$ ответ получен для всех элементов $a$, для алгебр Ли $\mathfrak {so}_{2n}$ и $\mathfrak{so}_{2n+1}$ будут описаны частичные результаты.