Рассмотрим полупростую алгебру Ли $\mathfrak{g}$ над $\mathbb{C}$ с присоединённой группой $G$. Пересечение нильпотентной $G$-орбиты $\mathcal{O}\subset\mathfrak{g}$ с подалгеброй Бореля $\mathfrak{b}\subset\mathfrak{g}$ распадается (в общем случае) на компоненты, называемые орбитальными многообразиями. Их размерности равны $\frac12\dim\mathcal{O}$. По своему построению эти компоненты инвариантны под действием подгруппы Бореля $B\subset G$ с алгеброй Ли $\mathfrak{b}$. Их общее описание (по Стейнбергу) таково: надо подействовать подгруппой $B$ на определённые подпространства в нильрадикале алгебры Ли $\mathfrak{b}$ и взять замыкания полученных подмножеств внутри $\mathcal{O}$. В общем случае это сложные объекты. Относительно простыми из них являются гладкие орбитальные многообразия и орбитальные многообразия с плотной $B$-орбитой. В классических алгебрах Ли в пересечении каждой нильпотентной орбиты $\mathcal{O}$ c $\mathfrak{b}$ есть по крайней мере одна гладкая компонента и одна компонента с плотной $B$-орбитой. Между этими двумя видами компонент по нашему предположению существует двойственность, выражаемая особо просто в $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$, где орбитальные многообразия индексируются таблицами Юнга, а их двойственность, по нашему предположению, выражается транспонированием таблиц. Во всяком случае, дело обстоит именно так в том частичном списке гладких многообразий и многообразий с плотной $B$-орбитой, который известен нам.

В орбите с двумя жордановыми блоками все орбитальные многообразия гладки, а, соответственно, в орбите нильпотентного порядка $2$ во всех орбитальных многообразиях есть плотная $B$-орбита. Мы изучали действие подгруппы Бореля $B\subset SL_n(\mathbb{C})$ на орбитальные многообразия для орбит с двумя жордановыми блоками и строение многообразий особых точек в орбитальных многообразиях для орбит нильпотентного порядка $2$. Оказалось, что двойственность распространяется и далее, то есть коразмерность орбиты общего положения подгруппы Бореля в орбитальном многообразии с таблицей $T$ связана со сложностью подмногообразия особых точек орбитального многообразия с таблицей $T^\top$.

Это совместная работа с Люкой Фрессом, а также с Ронит Мансур и Эхсаном Абедом Эльфатахом.