Я сформулирую понятие пре–Калаби–Яу структуры в терминах старших циклических гомологий Хохшильда. Маленький подкомплекс в старшем циклическом комплексе Хохшильда порождает некое графическое исчисление, в терминах которого комбинаторно формулируется лиевская структура соответствующей подкомплексу подалгебры Ли. Используя упомянутый подкомплекс и элементы теории базисов Грёбнера, мы доказываем гомологическую чистоту старшего циклического комплекса Хохшильда. Как следствие получается его формальность.

Графическая интерпретация подкомплекса наглядно демонстрирует, что некоммутативные пуассоновы структуры, введённые Ван ден Бергом, являются специальным случаем пре–Калаби–Яу структур. Мы приведём явную формулу, показывающую, что двойные скобки Пуассона — это определённая часть пре–Калаби–Яу структуры. Последний результат работает над произвольной ассоциативной алгеброй. Остальные результаты верны для свободных ассоциативных алгебр и алгебр путей произвольных колчанов.

Результаты этой работы изложены в arXiv:2011.11888 и J. Algebra 567 (2021), 63–90.