Под пространством со скалярным умножением понимается векторное пространство, снабжённое невырожденной симметрической или кососимметрической билинейной формой, именуемой скалярным умножением. (Другими словами, пространство со скалярным умножением — это либо квадратичное, либо симплектическое пространство.) Под автоморфизмом пространства со скалярным умножением понимается невырожденное линейное преобразование, сохраняющее скалярное умножение (т.е. ортогональное или симплектическое преобразование). С помощью заданного скалярного умножения векторное пространство отождествляется со своим двойственным.

Пусть $U$ и $V$ — два пространства со скалярным умножением над полем характеристики, отличной от двух. В докладе будет рассмотрено естественное действие группы $\operatorname{Aut}(U)\times\operatorname{Aut}(V)$ на пространстве $L(U,V)$ линейных отображений из $U$ в $V$. Описание орбит этого действия сводится к случаям биективного и нильпотентного отображений (по определению, отображение $A$ нильпотентно, если $A^*A$ — нильпотентный оператор на $U$) путём разложения произвольного отображения в их прямую сумму. Классификация биективных отображений пространств со скалярным умножением сводится к классификации пар билинейных форм, каждая из которых либо симметрическая, либо кососимметрическая. Орбиты нильпотентных отображений описываются в комбинаторных терминах, аналогичных диаграммам Юнга; описание будет дано в докладе.

Планируется разобрать и сравнить некоторые результаты классификаций Ohta и Kraft–Procesi в данной области (над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики) с результатами автора. Ohta в своей работе рассматривает случай, когда оба пространства $U$ и $V$ квадратичные или оба симплектические. А в работе Kraft–Procesi рассматривается случай, когда одно из пространств квадратичное, а другое симплектическое. Kraft–Procesi и Ohta дают классификацию орбит нильпотентных элементов в терминах ab-диаграмм — это некоторый аналог диаграмм Юнга для классификации нильпотентных пар отображений $(A,B) \in L(U,V) \times L(V,U)$.

В случае алгебраически замкнутого поля можно говорить о примыкании орбит в топологии Зарисского: орбита $O$ примыкает к орбите $O'$, если замыкание $O$ содержит $O'$. Примыканию соответствует частичный порядок на множестве комбинаторных инвариантов орбит, который будет описан в докладе.