Обозначим через $\mathfrak{n}=\lim\limits_\longrightarrow\mathfrak{n}_k$ локально нильпотентную комплексную алгебру Ли, то есть прямой предел цепочки вложенных конечномерных нильпотентных комплексных алгебр Ли $$\mathfrak{n}_1\subset\mathfrak{n}_2\subset\dots\subset\mathfrak{n}_k\subset\mathfrak{n}_{k+1}\subset\cdots$$

В случае, кoгдa $\mathfrak{n}$ нильпотентна, основным инструментом в её теории представлений является метод орбит, алгебраическая версия которого была создана Ж. Диксмье, Б. Костантом, А. Джозефом и дpyгими математиками. Метод орбит устанавливает гомеоморфизм между пространством $\operatorname{JSpec}U(\mathfrak{n})$ примитивных идеалов в универсальной обёртывающей алгебре $U(\mathfrak{n})$ (с топологией Джекобсона) и пространством $\mathfrak{n}^*/N$ коприсоединённых $N$-op6ит на двойственном пространстве $\mathfrak{n}^*$, где $N=\exp(\mathfrak{n})$. Последнее пространство, в свою очередь, естественно гомеоморфно пространству $\operatorname{PSpec}S(\mathfrak{n})$ примитивных пуассоновых идеалов в симметрической алгебре $S(\mathfrak{n})$. При этом почти любой примитивный пуассонов идеал центрально порождён, то есть в $\mathfrak{n}^*$ есть $N$-инвариантное открытое подмножество, coдepжaщee орбиты, идеалы которых порождаются своим пересечением с пуассоновым центром $Y(\mathfrak{n})$ алгебры $S(\mathfrak{n})$.

Пусть теперь $\mathfrak{n}$ бесконечномерна. Мы с Алексеем Петуховым построили аналог метода орбит в этой ситуации, то есть сконструировали гомеоморфизм между пространствами $\operatorname{JSpec}U(\mathfrak{n})$ и $\operatorname{PSpec}S(\mathfrak{n})$. Далее будем рассматривать специальный случай, когда $\mathfrak{n}$ — это так называемая ниль-алгебра Ли–Дынкина, тo есть локально нильнотентный радикал расщепляющей борелевской подалгебры простой бесконечномерной финитарной алгебры Ли. Я докажу, что и в этой ситуации в пространстве $\mathfrak{n}^*$ есть открытое плотное подмножество, содержащее линейные формы, которые отвечают центрально порождённым примитивным пуассоновым идеалам в $S(\mathfrak{n})$. Кроме тoгo, я опишу пуассонов центр $Y(\mathfrak{n})$ и докажу критерий того, что данный примитивный пуассонов идеал отличен от нуля.

Доклад основан на совместной работе с Алексеем Петуховым The orbit method for locally nilpotent infinite-dimensional Lie algebras (Ј. Algebra 585 (2021), 501–557, arXiv:2004.01068).