Алгебраическое многообразие $X$ называется однородным, если группа $\operatorname{Aut}(X)$ действует на $X$ транзитивно. Такое действие может оказаться кратно транзитивным, и мы будем называть степенью транзитивности многообразия $X$ максимальное значение $k$, для которого группа $\operatorname{Aut}(X)$ действует на $X$ $k$-транзитивно. Если действие оказывается $k$-транзитивным для любого натурального $k$, будем говорить, что степень транзитивности бесконечна. Задача состоит в вычислении данного инварианта для конкретных (классов) многообразий. Мы кратко расскажем об известных результатах и сформулируем открытые вопросы.

Я собираюсь обсудить следующие вопросы: какова максимальная размерность нильпотентной подалгебры класса $m>2$ в простой конечномерной комплексной алгебре Ли и как их много с точностью до сопряжения; индекс алгебр Ли. После моего выступления М. Джибладзе кратко обсудит вычисление индекса бипараболических (или водорослевых) подалгебр Ли.

Рассмотрим унитарное представление $\rho$ классической группы $G$ в гильбертовом простаранстве $V$. Пусть $H$ — подгруппа в $G$. Пусть нам известно явное разложение для ограничения $\rho$ на $H$. Тогда операторы алгебры Ли $\mathfrak g$ в этом спектральном разложении пишутся явно и являются дифференциально-разностными операторами. Причем операторы сдвига действуют в мнимом направлении по отношению к контуру интегрирования (вроде сдвига на $\boldsymbol{i}$ в $L^2(\mathbb{R})$). Дифференциальные операторы, вообще говоря, имеют высокий порядок.

Для ограничений конечномерных представлений дело должно обстоять точно так же, только разностные операторы должны становиться разностными операторами на решётке.

Все известные утверждения такого рода доказываются неожиданно сложными (иногда запредельно сложными) формальными вычислениями. Один из вопросов — понять, какой смысл в этих вычислениях.