Мне хотелось бы рассказать про две задачи:

• про фробениусовы подалгебры простых алгебр Ли и странные орбиты;
• и о квази-разложениях простых алгебр Ли (это продолжает тематику, которой занимался в далёкие годы А.Л. Онищик).

Известно, что поля инвариантов унипотентных групп преобразований рациональны. Общая проблема состоит в нахождении свободных образующих поля инвариантов в явном виде.

Задача 1. Пусть $P$ — параболическая подгруппа в простой группе Ли над $\mathbb{C}$, $N$ — максимальная унипотентная подгруппа в $P$ и $\mathfrak{u}$ — унипотентный радикал в $\operatorname{Lie}(P)$. Построить систему свободных образующих поля инвариантов для присоединённого действия $N$ на $\mathfrak{u}$.

Будет рассказана конструкция для случая $GL(n)$, следуя работам

• А.Н. Панов, В.В. Севостьянова «Regular $N$-orbits in the nilradical of a parabolic subalgebra», arXiv:1203.2754
• В.В. Севостьянова «The algebra of invariants of the adjoint action of the unitriangular group in the nilradical of a parabolic subalgebra», arXiv:1203.4899.

Будет рассказана конструкция системы свободных образующих для случая, когда $G$ — простая группа классического типа, следуя работам

• А.Н. Панов, К.А. Вяткина «Поле $U$-инвариантов присоединённого действия группы $GL(n,K)$, Мат. заметки, 2013, т.93, 144–147.
• А.Н. Панов «Fields of invariants for unipotent radicals of parabolic subgroups», arXiv:2203.12370.