Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $\mathbb{K}$ характеристики, отличной от 2, с заданной на нём симметрической билинейной формой $b$, которую мы будем называть скалярным умножением и обозначать соответственно: $b(x,y)=(x|y)$, $\forall x,y\in V$. Обозначим также через $q$ ассоциированную с $b$ квадратичную форму: $q(x)=(x|x)$, $\forall x\in V$. Как известно, $b$ и $q$ однозначно определяют друг друга.

Хотя скалярное умножение векторов не является операцией умножения на пространстве $V$ в обычном смысле, т.е. не превращает $V$ в алгебру, можно поставить вопрос о вложении пространства $V$ в ассоциативную алгебру с единицей так, чтобы скалярное умножение векторов происходило из умножения в этой алгебре. Эту задачу решает конструкция алгебры Клиффорда.

Определение. Алгебра Клиффорда векторного пространства $V$ со скалярным умножением — это алгебра $$\operatorname{Cl}(V)=\operatorname{Cl}(V,b)=\operatorname{Cl}(V,q)=T(V)/I,$$ где $$T(V)=\mathbb{K}\oplus V\oplus V^{\otimes2}\oplus V^{\otimes3}\oplus\cdots{}$$ — тензорная алгебра пространства $V$, а $$I=(v\otimes v-(v|v)\mid v\in V).$$

Образующие идеала $I$ квадратично зависят от векторов пространства $V$. С помощью обычной процедуры поляризации можно построить другую систему образующих, билинейно зависящих от пар векторов из $V$: $$I=(x\otimes y+y\otimes x-2(x|y)\mid x,y\in V).$$ Таким образом, в алгебре Клиффорда выполнены соотношения: \begin{align*} x\cdot y+y\cdot x&=2(x|y), && \forall x,y\in V.\\ x^2&=(x|x), && \end{align*}

Выбрав в пространстве $V$ базис $e_1,\dots,e_n$, можно задать алгебру Клиффорда (как ассоциативную алгебру с единицей) конечным набором образующих и соотношений: $$ \operatorname{Cl}(V)=\mathbb{K}\langle e_1,\dots,e_n\mid e_ie_j+e_je_i=2(e_i|e_j),\ i,j=1,\dots n\rangle. $$

Пример. $\operatorname{Cl}(V,0)=\bigwedge(V)$ — внешняя алгебра пространства $V$.

Универсальное свойство. Пусть $\varphi:V\to A$ — линейное отображение пространства $V$ в ассоциативную алгебру с единицей, для которого выполнено свойство $\varphi(v)^2=(v|v)$, $\forall v\in V$, или, что эквивалентно, $\varphi(x)\cdot\varphi(y)+\varphi(y)\cdot\varphi(x)=2(x|y)$, $\forall x,y\in V$. Тогда $\varphi$ может быть единственным способом продолжено до гомоморфизма алгебр $\tilde\varphi:\operatorname{Cl}(V)\to A$.

Доказательство основано на универсальном свойстве тензорной алгебры: сначала продолжаем $\varphi$ до гомоморфизма $T(V)\to A$, а затем убеждаемся, что его ядро содержит идеал $I$, и спускаем гомоморфизм на факторалгебру.

Универсальное свойство определяет алгебру Клиффорда однозначно, с точностью до изоморфизма. Это — частный случай общего принципа в теории категорий, утверждающего, что универсальные объекты определены однозначно (если они существуют). В нашем случае рассуждение выглядит так: пусть $A_1$ и $A_2$ — две алгебры, обладающие универсальным свойством, и $\varphi_i:V\to A_i$ — соответствующие линейные отображения. По универсальному свойству для алгебры $A_1$, существует гомоморфизм $\tilde\varphi_2:A_1\to A_2$, для которого $\varphi_2=\tilde\varphi_2\varphi_1$, а по универсальному свойству для $A_2$, существует гомоморфизм $\tilde\varphi_1:A_2\to A_1$, для которого $\varphi_1=\tilde\varphi_1\varphi_2$. Тогда $\psi=\tilde\varphi_1\tilde\varphi_2:A_1\to A_1$ обладает свойством $\varphi_1=\psi\varphi_1$. Но по универсальному свойству для $A_1$ такой гомоморфизм единственен, и это $\psi=\mathrm{id}$. Аналогично, $\tilde\varphi_2\tilde\varphi_1=\mathrm{id}$, т.е. $\tilde\varphi_1$ и $\tilde\varphi_2$ — взаимно обратные изоморфизмы.

Тензорная алгебра векторного пространства естественно градуирована целыми неотрицательными числами, но алгебра Клиффорда не наследует эту градуировку, поскольку определяющий её идеал неоднороден (исключение — внешняя алгебра). Однако она градуирована по модулю 2: имеет место разложение $$ \operatorname{Cl}(V)=\operatorname{Cl}^+(V)\oplus\operatorname{Cl}^-(V), $$ где подпространства $\operatorname{Cl}^{\pm}(V)$ линейно порождаются всевозможными произведениями векторов из $V$ с чётным и нечётным числом сомножителей, соответственно. Элементы из $\operatorname{Cl}^+(V)$ называются чётными, а из $\operatorname{Cl}^-(V)$ — нечётными. В аддитивной записи, чётностью однородного элемента $c\in\operatorname{Cl}(V)$ называется вычет по модулю 2: $$ |c|=\begin{cases} \bar0,& c\in \operatorname{Cl}^+(V),\\ \bar1,& c\in \operatorname{Cl}^-(V). \end{cases} $$ При перемножении элементов чётности складываются.

Градуированные по модулю 2 структуры изучает суперматематика. В этой науке традиционные алгебраические понятия модифицируются с учётом градуировки, и к названию добавляется приставка «супер». Например, градуированные по модулю 2 алгебры называются супералгебрами. Алгебраические тождества модифицируются так, что при перестановке двух однородных множителей $a,b$ в произведении добавляется знак $(-1)^{|a|\cdot|b|}$. Например, тождество суперкоммутативности (для однородных элементов супералгебры) имеет вид $$ ab=(-1)^{|a|\cdot|b|}ba. $$ Скажем, внешняя алгебра суперкоммутативна, но не коммутативна в обычном смысле. Можно сформулировать аналогично свойство суперантикоммутативности и супертождество Якоби, определив таким образом класс супералгебр Ли, и т.д.

Ещё один пример — тензорное произведение $A\mathbin{\widehat\otimes}B$ ассоциативных супералгебр с единицей $A$ и $B$. Оно определяется как обычное тензорное произведение векторных пространств $A$ и $B$ с операцией умножения по правилу: $$ (a_1\otimes b_1)\cdot(a_2\otimes b_2)=(-1)^{|b_1|\cdot|a_2|}(a_1a_2\otimes b_1b_2) $$ (для однородных элементов $a_i\in A$, $b_i\in B$). Чётность определяется естественным образом: $|a\otimes b|=|a|+|b|$. Супералгебра $A\mathbin{\widehat\otimes}B$ порождена своими подалгебрами $A\otimes1\simeq A$ и $1\otimes B\simeq B$, которые суперкоммутируют, в отличие от обычного тензорного произведения алгебр, где сомножители коммутируют.

Предложение. Пусть имеется разложение в ортогональную прямую сумму $V=V_0\oplus V_1$. Тогда $\operatorname{Cl}(V)\simeq\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$.

Доказательство. Проверим для $\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$ универсальное свойство. Пусть $\varphi:V\to A$ — линейное отображение, удовлетворяющее соответствующему условию, а $\varphi_i$ — его ограничение на $V_i$ $(i=0,1)$. В силу ортогональности подпространств их образы $\operatorname{Im}\varphi_i$ антикоммутируют в $A$. По универсальному свойству алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V_i)$, $\varphi_i$ продолжается до гомоморфизма $\tilde\varphi_i:\operatorname{Cl}(V_i)\to A$. По универсальному свойству тензорного произведения, гомоморфизмы $\tilde\varphi_i$ определяют линейное отображение $\tilde\varphi:\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)\to A$ по правилу $\tilde\varphi(c_0\otimes c_1)=\tilde\varphi_0(c_0)\cdot\tilde\varphi_1(c_1)$. Поскольку образы $\operatorname{Im}\tilde\varphi_i$, как легко видеть, суперкоммутируют, $\tilde\varphi$ является гомоморфизмом алгебр.

Следствие. Пусть $V_0$ — ядро скалярного умножения на $V$, а $V_1$ — дополнительное подпространство. Тогда $\operatorname{Cl}(V)\simeq\bigwedge(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$.

Таким образом, изучение произвольных алгебр Клиффорда сводится к случаю векторных пространств с невырожденным скалярным умножением. Такие пространства называются квадратичными.

Алгебры Клиффорда на квадратичных пространствах во многом противоположны по своим свойствам внешним алгебрам — другому крайнему случаю алгебр Клиффорда. Однако есть у них и общие черты.

Теорема. Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис пространства $V$. Тогда всевозможные произведения $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ $(1\le i_1<\dots< i_k\le n)$ образуют базис $\operatorname{Cl}(V)$. В частности, $\dim\operatorname{Cl}(V)=2^n$, и естественное отображение $V\to\operatorname{Cl}(V)$ является вложением (изначально это не очевидно!).

Доказательство. Из соотношений в алгебре Клиффорда ясно, что $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ линейно порождают $\operatorname{Cl}(V)$. Остается убедиться, что $\dim\operatorname{Cl}(V)=2^n$. Для этой цели мы можем выбрать базис $e_1,\dots,e_n$ удобным для нас способом, например, считать его ортогональным. Тогда в алгебре Клиффорда выполнены соотношения: $$ e_ie_j=-e_je_i\quad(i\ne j),\qquad e_i^2=(e_i|e_i)=\lambda_i. $$ Без ограничения общности, можно считать скалярное умножение на $V$ невырожденным, т.е. $\lambda_1,\dots,\lambda_n\ne0$.

По задаче 1.1, в алгебре Клиффорда $1\ne0$, а поскольку $e_i$ обратимы ($e_i^{-1}=\lambda_i^{-1}e_i$), то их произведения $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ тоже обратимы и отличны от $0$. Рассмотрим операторы сопряжения на $\operatorname{Cl}(V)$: $$ \operatorname{Ad}(e_i):c\mapsto e_i\cdot c\cdot e_i^{-1}. $$ Тогда любое произведение $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ будет собственным вектором для $\operatorname{Ad}(e_i)$ с собственным значением $(-1)^k$ при $i\notin\{i_1,\dots,i_k\}$ и $(-1)^{k-1}$ при $i\in\{i_1,\dots,i_k\}$ (задача 1.2).

Легко видеть, что наборы собственных значений операторов $\operatorname{Ad}(e_1),\dots,\operatorname{Ad}(e_n)$ у всех $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ с чётным $k$ попарно различны, и то же верно для нечётных $k$. Поскольку собственные векторы с разными собственными значениями линейно независимы, а чётные и нечётные элементы алгебры Клиффорда линейно независимы друг от друга, то все $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ в совокупности линейно независимы, что завершает доказательство теоремы.

Альтернативное доказательство основано на разложении пространства $V$ в ортогональную прямую сумму одномерных подпространств $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$, $V_i=\mathbb{K}e_i$, приводящем к разложению алгебры Клиффорда в тензорное произведение $$ \operatorname{Cl}(V)\simeq\operatorname{Cl}(V_1)\mathbin{\widehat\otimes}\dots\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_n). $$ Это сводит вопрос к одномерному случаю. Алгебры Клиффорда одномерных подпространств $V_i$ имеют вид $$ \operatorname{Cl}(V_i)=\mathbb{K}[e_i]/(e_i^2-\lambda_i) $$ и базис $\{1,e_i\}$, что и доказывает теорему.

	14 февраля 2020 г.	следующий семинар
Тема 1 Алгебры Клиффорда Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство над полем $\mathbb{K}$ характеристики, отличной от 2, с заданной на нём симметрической билинейной формой $b$, которую мы будем называть скалярным умножением и обозначать соответственно: $b(x,y)=(x\|y)$, $\forall x,y\in V$. Обозначим также через $q$ ассоциированную с $b$ квадратичную форму: $q(x)=(x\|x)$, $\forall x\in V$. Как известно, $b$ и $q$ однозначно определяют друг друга. Хотя скалярное умножение векторов не является операцией умножения на пространстве $V$ в обычном смысле, т.е. не превращает $V$ в алгебру, можно поставить вопрос о вложении пространства $V$ в ассоциативную алгебру с единицей так, чтобы скалярное умножение векторов происходило из умножения в этой алгебре. Эту задачу решает конструкция алгебры Клиффорда. Определение. Алгебра Клиффорда векторного пространства $V$ со скалярным умножением — это алгебра $$\operatorname{Cl}(V)=\operatorname{Cl}(V,b)=\operatorname{Cl}(V,q)=T(V)/I,$$ где $$T(V)=\mathbb{K}\oplus V\oplus V^{\otimes2}\oplus V^{\otimes3}\oplus\cdots{}$$ — тензорная алгебра пространства $V$, а $$I=(v\otimes v-(v\|v)\mid v\in V).$$ Образующие идеала $I$ квадратично зависят от векторов пространства $V$. С помощью обычной процедуры поляризации можно построить другую систему образующих, билинейно зависящих от пар векторов из $V$: $$I=(x\otimes y+y\otimes x-2(x\|y)\mid x,y\in V).$$ Таким образом, в алгебре Клиффорда выполнены соотношения: \begin{align} x\cdot y+y\cdot x&=2(x\|y), && \forall x,y\in V.\\ x^2&=(x\|x), && \end{align} Выбрав в пространстве $V$ базис $e_1,\dots,e_n$, можно задать алгебру Клиффорда (как ассоциативную алгебру с единицей) конечным набором образующих и соотношений: $$ \operatorname{Cl}(V)=\mathbb{K}\langle e_1,\dots,e_n\mid e_ie_j+e_je_i=2(e_i\|e_j),\ i,j=1,\dots n\rangle. $$ Пример. $\operatorname{Cl}(V,0)=\bigwedge(V)$ — внешняя алгебра пространства $V$. Универсальное свойство. Пусть $\varphi:V\to A$ — линейное отображение пространства $V$ в ассоциативную алгебру с единицей, для которого выполнено свойство $\varphi(v)^2=(v\|v)$, $\forall v\in V$, или, что эквивалентно, $\varphi(x)\cdot\varphi(y)+\varphi(y)\cdot\varphi(x)=2(x\|y)$, $\forall x,y\in V$. Тогда $\varphi$ может быть единственным способом продолжено до гомоморфизма алгебр $\tilde\varphi:\operatorname{Cl}(V)\to A$. Доказательство основано на универсальном свойстве тензорной алгебры: сначала продолжаем $\varphi$ до гомоморфизма $T(V)\to A$, а затем убеждаемся, что его ядро содержит идеал $I$, и спускаем гомоморфизм на факторалгебру. Универсальное свойство определяет алгебру Клиффорда однозначно, с точностью до изоморфизма. Это — частный случай общего принципа в теории категорий, утверждающего, что универсальные объекты определены однозначно (если они существуют). В нашем случае рассуждение выглядит так: пусть $A_1$ и $A_2$ — две алгебры, обладающие универсальным свойством, и $\varphi_i:V\to A_i$ — соответствующие линейные отображения. По универсальному свойству для алгебры $A_1$, существует гомоморфизм $\tilde\varphi_2:A_1\to A_2$, для которого $\varphi_2=\tilde\varphi_2\varphi_1$, а по универсальному свойству для $A_2$, существует гомоморфизм $\tilde\varphi_1:A_2\to A_1$, для которого $\varphi_1=\tilde\varphi_1\varphi_2$. Тогда $\psi=\tilde\varphi_1\tilde\varphi_2:A_1\to A_1$ обладает свойством $\varphi_1=\psi\varphi_1$. Но по универсальному свойству для $A_1$ такой гомоморфизм единственен, и это $\psi=\mathrm{id}$. Аналогично, $\tilde\varphi_2\tilde\varphi_1=\mathrm{id}$, т.е. $\tilde\varphi_1$ и $\tilde\varphi_2$ — взаимно обратные изоморфизмы. Тензорная алгебра векторного пространства естественно градуирована целыми неотрицательными числами, но алгебра Клиффорда не наследует эту градуировку, поскольку определяющий её идеал неоднороден (исключение — внешняя алгебра). Однако она градуирована по модулю 2: имеет место разложение $$ \operatorname{Cl}(V)=\operatorname{Cl}^+(V)\oplus\operatorname{Cl}^-(V), $$ где подпространства $\operatorname{Cl}^{\pm}(V)$ линейно порождаются всевозможными произведениями векторов из $V$ с чётным и нечётным числом сомножителей, соответственно. Элементы из $\operatorname{Cl}^+(V)$ называются чётными, а из $\operatorname{Cl}^-(V)$ — нечётными. В аддитивной записи, чётностью однородного элемента $c\in\operatorname{Cl}(V)$ называется вычет по модулю 2: $$ \|c\|=\begin{cases} \bar0,& c\in \operatorname{Cl}^+(V),\\ \bar1,& c\in \operatorname{Cl}^-(V). \end{cases} $$ При перемножении элементов чётности складываются. Градуированные по модулю 2 структуры изучает суперматематика. В этой науке традиционные алгебраические понятия модифицируются с учётом градуировки, и к названию добавляется приставка «супер». Например, градуированные по модулю 2 алгебры называются супералгебрами. Алгебраические тождества модифицируются так, что при перестановке двух однородных множителей $a,b$ в произведении добавляется знак $(-1)^{\|a\|\cdot\|b\|}$. Например, тождество суперкоммутативности (для однородных элементов супералгебры) имеет вид $$ ab=(-1)^{\|a\|\cdot\|b\|}ba. $$ Скажем, внешняя алгебра суперкоммутативна, но не коммутативна в обычном смысле. Можно сформулировать аналогично свойство суперантикоммутативности и супертождество Якоби, определив таким образом класс супералгебр Ли, и т.д. Ещё один пример — тензорное произведение $A\mathbin{\widehat\otimes}B$ ассоциативных супералгебр с единицей $A$ и $B$. Оно определяется как обычное тензорное произведение векторных пространств $A$ и $B$ с операцией умножения по правилу: $$ (a_1\otimes b_1)\cdot(a_2\otimes b_2)=(-1)^{\|b_1\|\cdot\|a_2\|}(a_1a_2\otimes b_1b_2) $$ (для однородных элементов $a_i\in A$, $b_i\in B$). Чётность определяется естественным образом: $\|a\otimes b\|=\|a\|+\|b\|$. Супералгебра $A\mathbin{\widehat\otimes}B$ порождена своими подалгебрами $A\otimes1\simeq A$ и $1\otimes B\simeq B$, которые суперкоммутируют, в отличие от обычного тензорного произведения алгебр, где сомножители коммутируют. Предложение. Пусть имеется разложение в ортогональную прямую сумму $V=V_0\oplus V_1$. Тогда $\operatorname{Cl}(V)\simeq\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$. Доказательство. Проверим для $\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$ универсальное свойство. Пусть $\varphi:V\to A$ — линейное отображение, удовлетворяющее соответствующему условию, а $\varphi_i$ — его ограничение на $V_i$ $(i=0,1)$. В силу ортогональности подпространств их образы $\operatorname{Im}\varphi_i$ антикоммутируют в $A$. По универсальному свойству алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V_i)$, $\varphi_i$ продолжается до гомоморфизма $\tilde\varphi_i:\operatorname{Cl}(V_i)\to A$. По универсальному свойству тензорного произведения, гомоморфизмы $\tilde\varphi_i$ определяют линейное отображение $\tilde\varphi:\operatorname{Cl}(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)\to A$ по правилу $\tilde\varphi(c_0\otimes c_1)=\tilde\varphi_0(c_0)\cdot\tilde\varphi_1(c_1)$. Поскольку образы $\operatorname{Im}\tilde\varphi_i$, как легко видеть, суперкоммутируют, $\tilde\varphi$ является гомоморфизмом алгебр. Следствие. Пусть $V_0$ — ядро скалярного умножения на $V$, а $V_1$ — дополнительное подпространство. Тогда $\operatorname{Cl}(V)\simeq\bigwedge(V_0)\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_1)$. Таким образом, изучение произвольных алгебр Клиффорда сводится к случаю векторных пространств с невырожденным скалярным умножением. Такие пространства называются квадратичными. Алгебры Клиффорда на квадратичных пространствах во многом противоположны по своим свойствам внешним алгебрам — другому крайнему случаю алгебр Клиффорда. Однако есть у них и общие черты. Теорема. Пусть $e_1,\dots,e_n$ — базис пространства $V$. Тогда всевозможные произведения $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ $(1\le i_1<\dots< i_k\le n)$ образуют базис $\operatorname{Cl}(V)$. В частности, $\dim\operatorname{Cl}(V)=2^n$, и естественное отображение $V\to\operatorname{Cl}(V)$ является вложением (изначально это не очевидно!). Доказательство. Из соотношений в алгебре Клиффорда ясно, что $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ линейно порождают $\operatorname{Cl}(V)$. Остается убедиться, что $\dim\operatorname{Cl}(V)=2^n$. Для этой цели мы можем выбрать базис $e_1,\dots,e_n$ удобным для нас способом, например, считать его ортогональным. Тогда в алгебре Клиффорда выполнены соотношения: $$ e_ie_j=-e_je_i\quad(i\ne j),\qquad e_i^2=(e_i\|e_i)=\lambda_i. $$ Без ограничения общности, можно считать скалярное умножение на $V$ невырожденным, т.е. $\lambda_1,\dots,\lambda_n\ne0$. По задаче 1.1, в алгебре Клиффорда $1\ne0$, а поскольку $e_i$ обратимы ($e_i^{-1}=\lambda_i^{-1}e_i$), то их произведения $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ тоже обратимы и отличны от $0$. Рассмотрим операторы сопряжения на $\operatorname{Cl}(V)$: $$ \operatorname{Ad}(e_i):c\mapsto e_i\cdot c\cdot e_i^{-1}. $$ Тогда любое произведение $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ будет собственным вектором для $\operatorname{Ad}(e_i)$ с собственным значением $(-1)^k$ при $i\notin\{i_1,\dots,i_k\}$ и $(-1)^{k-1}$ при $i\in\{i_1,\dots,i_k\}$ (задача 1.2). Легко видеть, что наборы собственных значений операторов $\operatorname{Ad}(e_1),\dots,\operatorname{Ad}(e_n)$ у всех $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ с чётным $k$ попарно различны, и то же верно для нечётных $k$. Поскольку собственные векторы с разными собственными значениями линейно независимы, а чётные и нечётные элементы алгебры Клиффорда линейно независимы друг от друга, то все $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$ в совокупности линейно независимы, что завершает доказательство теоремы. Альтернативное доказательство основано на разложении пространства $V$ в ортогональную прямую сумму одномерных подпространств $V=V_1\oplus\dots\oplus V_n$, $V_i=\mathbb{K}e_i$, приводящем к разложению алгебры Клиффорда в тензорное произведение $$ \operatorname{Cl}(V)\simeq\operatorname{Cl}(V_1)\mathbin{\widehat\otimes}\dots\mathbin{\widehat\otimes}\operatorname{Cl}(V_n). $$ Это сводит вопрос к одномерному случаю. Алгебры Клиффорда одномерных подпространств $V_i$ имеют вид $$ \operatorname{Cl}(V_i)=\mathbb{K}[e_i]/(e_i^2-\lambda_i) $$ и базис $\{1,e_i\}$, что и доказывает теорему. Задачи Задача 1.1. $\operatorname{Cl}(V)\ne0$. Указание: применить универсальное свойство к линейному отображению $\varphi:V\to L(\bigwedge(V))$, сопоставляющему базисному вектору $e_i$ ортогонального базиса линейное отображение $\varphi(e_i)$: \begin{align} e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k}&\mapsto e_i\wedge e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_k},&& i\ne i_1,\dots,i_k,\\ e_i\wedge e_{i_2}\wedge\dots\wedge e_{i_k}&\mapsto \lambda_i\cdot e_{i_2}\wedge\dots\wedge e_{i_k},&& \lambda_i=(e_i\|e_i). \end{align} Задача 1.2. Вычислить собственные значения $\operatorname{Ad}(e_i)$ на $e_{i_1}\cdots e_{i_k}$. Задача 1.3. Пусть $V$ — квадратичное векторное пространство с ортогональным базисом $e_1,\dots,e_n$. а) Центр алгебры $\operatorname{Cl}(V)$ совпадает с основным полем $\mathbb{K}$, если $n$ чётно, и двумерен с базисом $\{1,e_1\cdots e_n\}$, если $n$ нечётно. б) Центр алгебры $\operatorname{Cl}^+(V)$ совпадает с $\mathbb{K}$, если $n$ нечётно, и двумерен с базисом $\{1,e_1\cdots e_n\}$, если $n$ чётно.