Далее будем считать, что $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{R}$, а $V$ — квадратичное векторное пространство над полем $\mathbb{K}$. Как устроена алгебра Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$? Её структура определяется типом квадратичного пространства $V$.

Над полем $\mathbb{C}$ все квадратичные пространства данной размерности изоморфны. Алгебру Клиффорда пространства $\mathbb{C}^n$ со стандартной квадратичной формой $(x|x)=x_1^2+\dots+x_n^2$ обозначим через $\operatorname{Cl}_n=\operatorname{Cl}_n(\mathbb{C})$.

Над полем $\mathbb{R}$ тип квадратичного пространства определяется индексами инерции квадратичной формы. Алгебру Клиффорда пространства $\mathbb{R}^{p+q}$ со стандартной квадратичной формой $(x|x)=x_1^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_{p+q}^2$ сигнатуры $(p,q)$ обозначим через $\operatorname{Cl}_{p,q}=\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb{R})$.

Малые размерности.

1) $\operatorname{Cl}_1\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$. Изоморфизм задаётся на базисе: $1\leftrightarrow(1,1)$, $e_1\leftrightarrow(1,-1)$.

Аналогично строится изморфизм

2) $\operatorname{Cl}_{1,0}\simeq\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$.

3) $\operatorname{Cl}_{0,1}\simeq\mathbb{C}$. Изоморфизм: $1\leftrightarrow 1$, $e_1\leftrightarrow\boldsymbol{i}$.

4) $\operatorname{Cl}_2\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{C})$. Изоморфизм: $$ 1\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad e_1\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}, \qquad e_2\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_1e_2\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. $$ Аналогично строится изморфизм

5) $\operatorname{Cl}_{2,0}\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R})$.

6) $\operatorname{Cl}_{1,1}\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{R})$. Изоморфизм: $$ 1\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad e_1\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}, \qquad e_2\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad e_1e_2\longleftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$

7) $\operatorname{Cl}_{0,2}\simeq\mathbb{H}$ (задача 2.1).

Рекуррентные формулы.

А) $\operatorname{Cl}_{n+2}\simeq\operatorname{Cl}_2\otimes\operatorname{Cl}_n$.

Б) $\operatorname{Cl}_{p+2,q}\simeq\operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{q,p}$.

В) $\operatorname{Cl}_{p,q+2}\simeq\operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{q,p}$.

Г) $\operatorname{Cl}_{p+1,q+1}\simeq\operatorname{Cl}_{1,1}\otimes\operatorname{Cl}_{p,q}$.

Все эти формулы — частные случаи одной общей формулы: пусть квадратичное пространство $V$ разложено в ортогональную прямую сумму $V=V_0\oplus V_1$, причём $\dim V_0=2$; тогда $$ \operatorname{Cl}(V,b)\simeq\operatorname{Cl}(V_0,b)\otimes\operatorname{Cl}(V_1,b) $$ в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или если $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и форма $b|_{V_0}$ неопределена, и $$ \operatorname{Cl}(V,b)\simeq\operatorname{Cl}(V_0,b)\otimes\operatorname{Cl}(V_1,-b) $$ в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или если $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и форма $b|_{V_0}$ знакоопределена. Гомоморфизм $$\operatorname{Cl}(V,b)\to\operatorname{Cl}(V_0,b)\otimes\operatorname{Cl}(V_1,\pm b)$$ продолжает по универсальному свойству отображение $$V\to\operatorname{Cl}(V_0,b)\otimes\operatorname{Cl}(V_1,\pm b),$$ определяемое по правилу: $$ v_0\mapsto v_0\otimes1 \quad (v_0\in V_0), \qquad v_1\mapsto e_1e_2\otimes v_1 \quad (v_1\in V_1), $$ где $e_1,e_2$ — ортогональный базис $V_0$, $(e_1|e_1)=1$, $(e_2|e_2)=\mp1$. Сюръективность гомоморфизма вытекает из того, что в его образе лежат образующие алгебры $\operatorname{Cl}(V_0,b)\otimes\operatorname{Cl}(V_1,\pm b)$: $v_0\otimes 1\leftarrow v_0$, $1\otimes v_1\leftarrow\pm e_1e_2v_1$. После этого биективность следует из совпадения размерностей алгебр.

Для определения структуры алгебр Клиффорда понадобятся ещё две общие леммы.

Лемма 1. Для любой ассоциативной алгебры $A$ с единицей над полем $\mathbb{K}$ имеет место изоморфизм $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})\otimes A\simeq\operatorname{Mat}_m(A)$.

Следствие. $\operatorname{Mat}_m(\mathbb{K})\otimes\operatorname{Mat}_n(\mathbb{K})\simeq\operatorname{Mat}_{mn}(\mathbb{K})$.

Лемма 2. Для любых ассоциативных алгебр $A,B$ с единицей над полем $\mathbb{K}$ имеет место изоморфизм $\operatorname{Mat}_m(A\oplus B)\simeq \operatorname{Mat}_m(A)\oplus\operatorname{Mat}_m(B)$.

Из рекуррентной формулы А, формул 4, 1 и лемм 1, 2 вытекает

Теорема. Алгебра Клиффорда $\operatorname{Cl}_n(\mathbb{C})$ изоморфна $\operatorname{Mat}_{2^m}(\mathbb{C})$, если $n=2m$, и $\operatorname{Mat}_{2^m}(\mathbb{C})\oplus\operatorname{Mat}_{2^m}(\mathbb{C})$, если $n=2m+1$.

Над полем $\mathbb{R}$ картина более разнообразна.

Таблица умножения.

I) $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\simeq\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ (задача 2.2).

II) $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{H}\simeq\operatorname{Mat}_2(\mathbb{C})$ (задача 2.3).

III) $\mathbb{H}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{H}\simeq\operatorname{Mat}_4(\mathbb{R})$ (задача 2.3).

IV) $\operatorname{Cl}_{p,q}\simeq\operatorname{Cl}_{1,1}\otimes\operatorname{Cl}_{p-1,q-1}\simeq\dots\simeq\operatorname{Mat}_{2^q}(\operatorname{Cl}_{p-q,0})$ или $\operatorname{Mat}_{2^p}(\operatorname{Cl}_{0,q-p})$ (следует из рекуррентой формулы Г, формулы 6 и леммы 1).

Периодичность Ботта. \begin{multline} \operatorname{Cl}_{p,q} \simeq \operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{q,p-2} \simeq \operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{p-4,q} \simeq \\ \simeq \operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{p-8,q} \simeq \operatorname{Mat}_{16}(\operatorname{Cl}_{p-8,q}), \\ \end{multline} \begin{multline} \operatorname{Cl}_{p,q} \simeq \operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{q-2,p} \simeq \operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{p,q-4} \simeq \\ \simeq \operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{0,2}\otimes\operatorname{Cl}_{2,0}\otimes\operatorname{Cl}_{p,q-8} \simeq \operatorname{Mat}_{16}(\operatorname{Cl}_{p,q-8}). \end{multline} (следует из рекуррентых формул Б, В, формул 5, 7, III и леммы 1).

Таким образом, всякая алгебра Клиффорда на вещественном квадратичном пространстве изоморфна алгебре матриц соответствующего размера над одной из алгебр $\operatorname{Cl}_{p,q}$, где $0\le p,q\le 7$ (см. таблицу в задаче 2.4).

Задача 2.1. Построить изоморфизм $\operatorname{Cl}_{0,2}\simeq\mathbb{H}$.

Задача 2.2. Доказать формулу I.

Задача 2.3. Доказать формулы II и III.
Указание: воспользоваться рекурррентными формулами В и Г.

Задача 2.4. Всякая алгебра Клиффорда $\operatorname{Cl}_{p,q}$, где $0\le p,q\le 7$, изоморфна алгебре матриц подходящего размера над соответствующей алгеброй из таблицы: $$ \begin{array}{@{}r@{}l@{}c@{}} q && \\ &\!\!\!\!\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} &\mathbb{C} &\mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} \\ \hline \mathbb{R} & \mathbb{C} &\mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \\ \hline \mathbb{C} &\mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} \\ \hline \mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} \\ \hline \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} \\ \hline \mathbb{H} & \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} \\ \hline \mathbb{C} & \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} \\ \hline \mathbb{R} & \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} & \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} \\ \hline \end{array}& \\ \smash{\begin{array}{@{}r@{}}0\\[3ex]\strut\end{array}} & \quad 0 & p \end{array} $$