Мультипликативная группа $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$ алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$ действует на этой алгебре внутренними автоморфизмами (т.е. сопряжениями): $$ \operatorname{Ad}(g)u=g\cdot u\cdot g^{-1},\qquad\forall g\in\operatorname{Cl}(V)^{\times},\ u\in\operatorname{Cl}(V). $$ Рассмотрим подгруппу $$ G=\{g\in\operatorname{Cl}(V)^{\times}\mid\operatorname{Ad}(g)V=V\}. $$

Лемма 1. Пусть $v\in V$, $(v|v)\ne0$. Тогда $v\in G$, причём $\operatorname{Ad}(v)|_V=-R_v$, где $R_v:V\to V$ — оператор ортогонального отражения вдоль вектора $v$ относительно перпендикулярной гиперплоскости.

Для доказательства достаточно посмотреть, как $\operatorname{Ad}(v)$ действует на вектор $v$ и на векторы, перпендикулярные $v$.

Возникает линейное представление $R=\operatorname{Ad}|_V:G\to GL(V)$.

Лемма 2. $R(G)\subseteq O(V)$.

Доказательство. Для любых $g\in G$, $x\in V$ имеем $$\bigl(R(g)x\bigm|R(g)x\bigr)=(gxg^{-1})^2=gx^2g^{-1}=g\cdot(x|x)\cdot g^{-1}=(x|x).$$

Теорема 1 (Картан–Дьедонне). Группа $O(V)$ порождена отражениями.

Доказательство. Пусть $A\in O(V)$ — ортогональный оператор. Рассмотрим произвольный неизотропный вектор $v\in V$ и его образ $w=Av$. Тогда один из векторов $v\pm w$ неизотропен и, применяя соответствующее отражение $R=R_{v\pm w}$, мы можем отобразить $v$ либо в $w$, либо в $-w$. Во втором случае, применив отражение $R'=R_w$, отобразим $-w$ в $w$. Таким образом, оператор $A'=AR^{-1}$ или $A(R'R)^{-1}$ отображает $w$ в себя и, рассуждая индукцией по $\dim V$, мы можем его разложить в произведение отражений $A'=R_1\cdots R_k$, откуда $A=R_1\cdots R_kR$ или $R_1\cdots R_kR'R$.

Если $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и скалярное умножение знакоопределено (евклидов случай), то группа Ли $O(V)$ имеет две компоненты связности: $SO(V)$ (собственные ортогональные преобразования) и $O(V)\setminus SO(V)$ (несобственные ортогональные преобразования). Принадлежность ортогонального оператора $A$ одной из компонент связности определяется чётностью количества отражений в его разложении. О псевдоевклидовом случае см. задачу 3.1.

Группа $G^+=G\cap\operatorname{Cl}^+(V)$ называется чётной группой Клиффорда. Её структуру описывает следующая теорема.

Теорема 2.

$G^+=\{\lambda v_1\cdots v_{2k}\mid\lambda\in\mathbb{K}^{\times},\ v_i\in V,\ (v_i|v_i)=1\text{ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или}\pm1\text{ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$)}\}$.
$R(G^+)=SO(V)$.
$\operatorname{Ker}R|_{G^+}=\mathbb{K}^{\times}$.

Доказательство. Всякий собственный ортогональный оператор $A\in SO(V)$ разлагается в произведение чётного числа отражений: $A=R_{v_1}\cdots R_{v_{2k}}=R(v_1\cdots v_{2k})\in R(G^+)$. Если же $g\in G^+$ и $R(g)\in O(V)\setminus SO(V)$, то $R(g)=R_{v_1}\cdots R_{v_{2k+1}}=-R(v_1\cdots v_{2k+1})$ для некоторого нечётного набора неизотропных векторов $v_i$. Тогда элемент $u=g^{-1}v_1\cdots v_{2k+1}\in G$ нечётен и $R(u)=-E$, т.е. $u$ антикоммутирует с $V$. Но таких нечётных элементов в алгебре $\operatorname{Cl}(V)$ нет, что видно из рассмотрения собственных векторов и значений операторов $\operatorname{Ad}(e_i)$ на $\operatorname{Cl}(V)$, где $e_1,\dots,e_n$ — ортонормированный базис пространства $V$. Это доказывает второй пункт теоремы.

Ядро представления $R$ на $G^+$ состоит из чётных обратимых элементов алгебры $\operatorname{Cl}(V)$, коммутирующих с $V$, т.е. лежащих в её центре. Теперь третий пункт теоремы вытекает из задачи 1.3.

Как мы уже видели, всякий элемент $g\in G^+$ действует на $V$ так же, как некоторое произведение чётного количества неизотропных векторов $v_1\cdots v_{2k}$, и следовательно, отличается от этого произведения множителем из $\operatorname{Ker}R|_{G^+}$, т.е. константой: $g=\lambda v_1\cdots v_{2k}$. Вынося из $v_i$ скалярные множители, можно добиться $(v_i|v_i)=1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $(v_i|v_i)\pm1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$). Это завершает доказательство.

На алгебре Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$ можно корректно определить отображение $u\mapsto u^*$ по правилу: $$(v_1\cdots v_k)^*=v_k\cdots v_1,\qquad \forall v_1,\dots,v_k\in V.$$ Его свойства:

это антигомоморфизм: $(a+b)^*=a^*+b^*$, $(\lambda a)^*=\lambda a^*$ ($\lambda\in\mathbb{K}$), $(ab)^*=b^*a^*$;
инволютивность: $u^{**}=u$;
отображение $*$ сохраняет чётность.

Существование этого антигомоморфизма вытекает из применения универсального свойства к вложению пространства $V$ в противоположную алгебру Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)^{\text{op}}$, которая совпадает с $\operatorname{Cl}(V)$ как векторное пространство, но в операции умножения порядок множителей меняется на противоположный.

Лемма 3. Отображение спинорной нормы $N(u)=u^*u$ задаёт гомоморфизм групп $N:G^+\to\mathbb{K}^{\times}$.

Доказательство. Для любых $g\in G$, $x\in V$ имеем: $$gxg^{-1}\in V\implies gxg^{-1}=(gxg^{-1})^*=(g^*)^{-1}xg^*\implies g^*gx=xg^*g,$$ откуда вытекает, что $N(g)$ — чётный элемент центра алгебры Клиффорда, т.е. скаляр. Теперь для любых $g_1,g_2\in G^+$ имеем $N(g_1g_2)=g_2^*g_1^*g_1g_2=g_2^*\cdot N(g_1)\cdot g_2=N(g_1)N(g_2)$.

Определение. Группа $$\operatorname{Spin}(V)=\{g\in G^+\mid N(g)=1\}$$ называется спинорной группой квадратичного пространства $V$.

В простейшем случае $\dim V=1$ имеем, очевидно, $G^+=\mathbb{K}^{\times}$, $\operatorname{Spin}(V)=\{\pm1\}$. Далее будем считать $\dim V\ge2$.

Теорема 3.

$\operatorname{Spin}(V)$ состоит из элементов вида $v_1\cdots v_{2k}$, где $v_i\in V$, $(v_i|v_i)=1$ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $\pm1$, причём минусов чётное число (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$).
$R(\operatorname{Spin}(V))=O(V)^0$ — связная компонента единицы ортогональной группы.
$\operatorname{Ker}R|_{\operatorname{Spin}(V)}=\{\pm1\}$.

Доказательство. В обозначениях теоремы 2 для всякого элемента $g=\lambda v_1\cdots v_{2k}\in G^+$ имеем $$N(g)=\lambda^2(v_1|v_1)\cdots(v_{2k}|v_{2k})= \begin{cases} \lambda^2, & \mathbb{K}=\mathbb{C}, \\ \pm\lambda^2, & \mathbb{K}=\mathbb{R}. \end{cases}$$ Поэтому $g\in\operatorname{Spin}(V)$ тогда и только тогда, когда $\lambda^2=1$ и количество номеров $i$, для которых $(v_i|v_i)=-1$, чётно. Следовательно, $g=\pm v_1\cdots v_{2k}$, причем минус можно убрать, заменив $-1$ на $v^2$, где $(v|v)=-1$, или на $vwvw$, где $(v|v)=(w|w)=1$, $(v|w)=0$. Остальное вытекает из леммы 1, задачи 3.1 и теоремы 2.

Теорема 4. Если $\dim V\ge3$ и $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и скалярное умножение знакоопределено, то гомоморфизм $R:\operatorname{Spin}(V)\to SO(V)$ является универсальным накрытием.

Доказательство. В условиях теоремы, группа $SO(V)$ связна и её фундаментальная группа имеет порядок 2. По теореме 3, гомоморфизм $R:\operatorname{Spin}(V)\to SO(V)$ является двулистным накрытием. Поэтому достаточно доказать, что $\operatorname{Spin}(V)$ связна.

Но поскольку единичная сфера $\{x\in V\mid(x|x)=\pm1\}$ в пространстве $V$ (минус берётся в случае отрицательно определённого скалярного умножения) связна, в разложении $g=v_1\cdots v_{2k}$ произвольного элемента $g\in\operatorname{Spin}(V)$ в произведение векторов единичной сферы можно каждый множитель $v_i$ непрерывно сдвинуть в фиксированный вектор $v_0$ или в $-v_0$ и тем самым соединить $g$ непрерывным путём с $(\pm v_0)\cdots(\pm v_0)=\pm v_0^{2k}=\pm(v_0|v_0)^k=1$ (за счёт подходящего выбора знаков).

Замечание. По аналогии с тем, как группа $SO(V)$ вкладывается во «вдвое большую» группу $O(V)$, можно вдвое увеличить группу $\operatorname{Spin}(V)$. Для этого надо модифицировать определение группы $G$, рассмотрев вместо действия группы $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$ на $\operatorname{Cl}(V)$ сопряжениями более хитрое действие «скрученными сопряжениями»: $$ \operatorname{Ad}_{\theta}(g)u=g\cdot u\cdot\theta(g)^{-1}, $$ где $\theta$ — автоморфизм алгебры Клиффорда, умножающий чётные элементы на $1$, а нечётные на $-1$. Группа Клиффорда $G$ определяется как подгруппа в $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$, состоящая из элементов, сохраняющих при этом действии пространство $V$. Лемма 1 сохраняет силу с той поправкой, что $\operatorname{Ad}_{\theta}(v)=R_v$.

Можно заметить, что всякий элемент $g\in G$ либо чётен, либо нечётен. В самом деле, для любого $x\in V$ имеем $gx\theta(g)^{-1}\in V$, следовательно, применяя $\theta$, получаем $\theta(g)xg^{-1}=gx\theta(g)^{-1}$, откуда вытекает $xz=\theta(z)x$ для $z=g^{-1}\theta(g)$. Стадо быть, чётная часть элемента $z$ коммутирует с $V$, а нечётная часть — антикоммутирует. Как уже отмечалось выше, это возможно только если $z$ скалярен, т.е. $g$ — собственный вектор для $\theta$, а значит, чётен или нечётен.

Теперь ясно, что лемма 2 также сохраняет силу для представления $R=\operatorname{Ad}_{\theta}|_V$, поскольку $\operatorname{Ad}_{\theta}(g)=\pm\operatorname{Ad}(g)$. Теорема 2 обобщается на группу $G$ с той разницей, что $R(G)=O(V)$ и $G$ состоит из элементов вида $g=\lambda v_1\cdots v_k$ с любым количеством сомножителей. Лемма 3 обобщается на группу $G$ и даёт возможность определить группу $$\operatorname{Pin}(V)=\{g\in G\mid N(g)=1\},$$ чётной частью которой является $\operatorname{Spin}(V)$. Структура группы $\operatorname{Pin}(V)$ описывается аналогом теоремы 3: эта группа состоит из всевозможных произведений $v_1\cdots v_k$ векторов с $(v_i|v_i)=1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $\pm1$ с чётным количеством минусов (при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$) и двулистно накрывает свой образ в $O(V)$, который совпадает с $O(V)$ при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или в случае знакоопределённого скалярного умножения и вдвое меньше в остальных случаях.

предыдущий семинар	28 февраля и 6 марта 2020 г.	следующий семинар
Тема 3 Спинорная группа Мультипликативная группа $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$ алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$ действует на этой алгебре внутренними автоморфизмами (т.е. сопряжениями): $$ \operatorname{Ad}(g)u=g\cdot u\cdot g^{-1},\qquad\forall g\in\operatorname{Cl}(V)^{\times},\ u\in\operatorname{Cl}(V). $$ Рассмотрим подгруппу $$ G=\{g\in\operatorname{Cl}(V)^{\times}\mid\operatorname{Ad}(g)V=V\}. $$ Лемма 1. Пусть $v\in V$, $(v\|v)\ne0$. Тогда $v\in G$, причём $\operatorname{Ad}(v)\|_V=-R_v$, где $R_v:V\to V$ — оператор ортогонального отражения вдоль вектора $v$ относительно перпендикулярной гиперплоскости. Для доказательства достаточно посмотреть, как $\operatorname{Ad}(v)$ действует на вектор $v$ и на векторы, перпендикулярные $v$. Возникает линейное представление $R=\operatorname{Ad}\|_V:G\to GL(V)$. Лемма 2. $R(G)\subseteq O(V)$. Доказательство. Для любых $g\in G$, $x\in V$ имеем $$\bigl(R(g)x\bigm\|R(g)x\bigr)=(gxg^{-1})^2=gx^2g^{-1}=g\cdot(x\|x)\cdot g^{-1}=(x\|x).$$ Теорема 1 (Картан–Дьедонне). Группа $O(V)$ порождена отражениями. Доказательство. Пусть $A\in O(V)$ — ортогональный оператор. Рассмотрим произвольный неизотропный вектор $v\in V$ и его образ $w=Av$. Тогда один из векторов $v\pm w$ неизотропен и, применяя соответствующее отражение $R=R_{v\pm w}$, мы можем отобразить $v$ либо в $w$, либо в $-w$. Во втором случае, применив отражение $R'=R_w$, отобразим $-w$ в $w$. Таким образом, оператор $A'=AR^{-1}$ или $A(R'R)^{-1}$ отображает $w$ в себя и, рассуждая индукцией по $\dim V$, мы можем его разложить в произведение отражений $A'=R_1\cdots R_k$, откуда $A=R_1\cdots R_kR$ или $R_1\cdots R_kR'R$. Если $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и скалярное умножение знакоопределено (евклидов случай), то группа Ли $O(V)$ имеет две компоненты связности: $SO(V)$ (собственные ортогональные преобразования) и $O(V)\setminus SO(V)$ (несобственные ортогональные преобразования). Принадлежность ортогонального оператора $A$ одной из компонент связности определяется чётностью количества отражений в его разложении. О псевдоевклидовом случае см. задачу 3.1. Группа $G^+=G\cap\operatorname{Cl}^+(V)$ называется чётной группой Клиффорда. Её структуру описывает следующая теорема. Теорема 2. $G^+=\{\lambda v_1\cdots v_{2k}\mid\lambda\in\mathbb{K}^{\times},\ v_i\in V,\ (v_i\|v_i)=1\text{ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или}\pm1\text{ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$)}\}$. $R(G^+)=SO(V)$. $\operatorname{Ker}R\|_{G^+}=\mathbb{K}^{\times}$. Доказательство. Всякий собственный ортогональный оператор $A\in SO(V)$ разлагается в произведение чётного числа отражений: $A=R_{v_1}\cdots R_{v_{2k}}=R(v_1\cdots v_{2k})\in R(G^+)$. Если же $g\in G^+$ и $R(g)\in O(V)\setminus SO(V)$, то $R(g)=R_{v_1}\cdots R_{v_{2k+1}}=-R(v_1\cdots v_{2k+1})$ для некоторого нечётного набора неизотропных векторов $v_i$. Тогда элемент $u=g^{-1}v_1\cdots v_{2k+1}\in G$ нечётен и $R(u)=-E$, т.е. $u$ антикоммутирует с $V$. Но таких нечётных элементов в алгебре $\operatorname{Cl}(V)$ нет, что видно из рассмотрения собственных векторов и значений операторов $\operatorname{Ad}(e_i)$ на $\operatorname{Cl}(V)$, где $e_1,\dots,e_n$ — ортонормированный базис пространства $V$. Это доказывает второй пункт теоремы. Ядро представления $R$ на $G^+$ состоит из чётных обратимых элементов алгебры $\operatorname{Cl}(V)$, коммутирующих с $V$, т.е. лежащих в её центре. Теперь третий пункт теоремы вытекает из задачи 1.3. Как мы уже видели, всякий элемент $g\in G^+$ действует на $V$ так же, как некоторое произведение чётного количества неизотропных векторов $v_1\cdots v_{2k}$, и следовательно, отличается от этого произведения множителем из $\operatorname{Ker}R\|_{G^+}$, т.е. константой: $g=\lambda v_1\cdots v_{2k}$. Вынося из $v_i$ скалярные множители, можно добиться $(v_i\|v_i)=1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $(v_i\|v_i)\pm1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$). Это завершает доказательство. На алгебре Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$ можно корректно определить отображение $u\mapsto u^$ по правилу: $$(v_1\cdots v_k)^=v_k\cdots v_1,\qquad \forall v_1,\dots,v_k\in V.$$ Его свойства: это антигомоморфизм: $(a+b)^=a^+b^$, $(\lambda a)^=\lambda a^$ ($\lambda\in\mathbb{K}$), $(ab)^=b^a^$; инволютивность: $u^{*}=u$; отображение $$ сохраняет чётность. Существование этого антигомоморфизма вытекает из применения универсального свойства к вложению пространства $V$ в противоположную алгебру Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)^{\text{op}}$, которая совпадает с $\operatorname{Cl}(V)$ как векторное пространство, но в операции умножения порядок множителей меняется на противоположный. Лемма 3. Отображение спинорной нормы $N(u)=u^u$ задаёт гомоморфизм групп $N:G^+\to\mathbb{K}^{\times}$. Доказательство.* Для любых $g\in G$, $x\in V$ имеем: $$gxg^{-1}\in V\implies gxg^{-1}=(gxg^{-1})^=(g^)^{-1}xg^\implies g^gx=xg^g,$$ откуда вытекает, что $N(g)$ — чётный элемент центра алгебры Клиффорда, т.е. скаляр. Теперь для любых $g_1,g_2\in G^+$ имеем $N(g_1g_2)=g_2^g_1^g_1g_2=g_2^\cdot N(g_1)\cdot g_2=N(g_1)N(g_2)$. Определение. Группа $$\operatorname{Spin}(V)=\{g\in G^+\mid N(g)=1\}$$ называется спинорной группой квадратичного пространства $V$. В простейшем случае $\dim V=1$ имеем, очевидно, $G^+=\mathbb{K}^{\times}$, $\operatorname{Spin}(V)=\{\pm1\}$. Далее будем считать $\dim V\ge2$. Теорема 3. $\operatorname{Spin}(V)$ состоит из элементов вида $v_1\cdots v_{2k}$, где $v_i\in V$, $(v_i\|v_i)=1$ (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $\pm1$, причём минусов чётное число (в случае $\mathbb{K}=\mathbb{R}$). $R(\operatorname{Spin}(V))=O(V)^0$ — связная компонента единицы ортогональной группы. $\operatorname{Ker}R\|_{\operatorname{Spin}(V)}=\{\pm1\}$. Доказательство. В обозначениях теоремы 2 для всякого элемента $g=\lambda v_1\cdots v_{2k}\in G^+$ имеем $$N(g)=\lambda^2(v_1\|v_1)\cdots(v_{2k}\|v_{2k})= \begin{cases} \lambda^2, & \mathbb{K}=\mathbb{C}, \\ \pm\lambda^2, & \mathbb{K}=\mathbb{R}. \end{cases}$$ Поэтому $g\in\operatorname{Spin}(V)$ тогда и только тогда, когда $\lambda^2=1$ и количество номеров $i$, для которых $(v_i\|v_i)=-1$, чётно. Следовательно, $g=\pm v_1\cdots v_{2k}$, причем минус можно убрать, заменив $-1$ на $v^2$, где $(v\|v)=-1$, или на $vwvw$, где $(v\|v)=(w\|w)=1$, $(v\|w)=0$. Остальное вытекает из леммы 1, задачи 3.1 и теоремы 2. Теорема 4. Если $\dim V\ge3$ и $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и скалярное умножение знакоопределено, то гомоморфизм $R:\operatorname{Spin}(V)\to SO(V)$ является универсальным накрытием. Доказательство. В условиях теоремы, группа $SO(V)$ связна и её фундаментальная группа имеет порядок 2. По теореме 3, гомоморфизм $R:\operatorname{Spin}(V)\to SO(V)$ является двулистным накрытием. Поэтому достаточно доказать, что $\operatorname{Spin}(V)$ связна. Но поскольку единичная сфера $\{x\in V\mid(x\|x)=\pm1\}$ в пространстве $V$ (минус берётся в случае отрицательно определённого скалярного умножения) связна, в разложении $g=v_1\cdots v_{2k}$ произвольного элемента $g\in\operatorname{Spin}(V)$ в произведение векторов единичной сферы можно каждый множитель $v_i$ непрерывно сдвинуть в фиксированный вектор $v_0$ или в $-v_0$ и тем самым соединить $g$ непрерывным путём с $(\pm v_0)\cdots(\pm v_0)=\pm v_0^{2k}=\pm(v_0\|v_0)^k=1$ (за счёт подходящего выбора знаков). Замечание. По аналогии с тем, как группа $SO(V)$ вкладывается во «вдвое большую» группу $O(V)$, можно вдвое увеличить группу $\operatorname{Spin}(V)$. Для этого надо модифицировать определение группы $G$, рассмотрев вместо действия группы $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$ на $\operatorname{Cl}(V)$ сопряжениями более хитрое действие «скрученными сопряжениями»: $$ \operatorname{Ad}_{\theta}(g)u=g\cdot u\cdot\theta(g)^{-1}, $$ где $\theta$ — автоморфизм алгебры Клиффорда, умножающий чётные элементы на $1$, а нечётные на $-1$. Группа Клиффорда $G$ определяется как подгруппа в $\operatorname{Cl}(V)^{\times}$, состоящая из элементов, сохраняющих при этом действии пространство $V$. Лемма 1 сохраняет силу с той поправкой, что $\operatorname{Ad}_{\theta}(v)=R_v$. Можно заметить, что всякий элемент $g\in G$ либо чётен, либо нечётен. В самом деле, для любого $x\in V$ имеем $gx\theta(g)^{-1}\in V$, следовательно, применяя $\theta$, получаем $\theta(g)xg^{-1}=gx\theta(g)^{-1}$, откуда вытекает $xz=\theta(z)x$ для $z=g^{-1}\theta(g)$. Стадо быть, чётная часть элемента $z$ коммутирует с $V$, а нечётная часть — антикоммутирует. Как уже отмечалось выше, это возможно только если $z$ скалярен, т.е. $g$ — собственный вектор для $\theta$, а значит, чётен или нечётен. Теперь ясно, что лемма 2 также сохраняет силу для представления $R=\operatorname{Ad}_{\theta}\|_V$, поскольку $\operatorname{Ad}_{\theta}(g)=\pm\operatorname{Ad}(g)$. Теорема 2 обобщается на группу $G$ с той разницей, что $R(G)=O(V)$ и $G$ состоит из элементов вида $g=\lambda v_1\cdots v_k$ с любым количеством сомножителей. Лемма 3 обобщается на группу $G$ и даёт возможность определить группу $$\operatorname{Pin}(V)=\{g\in G\mid N(g)=1\},$$ чётной частью которой является $\operatorname{Spin}(V)$. Структура группы $\operatorname{Pin}(V)$ описывается аналогом теоремы 3: эта группа состоит из всевозможных произведений $v_1\cdots v_k$ векторов с $(v_i\|v_i)=1$ (при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$) или $\pm1$ с чётным количеством минусов (при $\mathbb{K}=\mathbb{R}$) и двулистно накрывает свой образ в $O(V)$, который совпадает с $O(V)$ при $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ или в случае знакоопределённого скалярного умножения и вдвое меньше в остальных случаях. Задачи Задача 3.1. Пусть $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ и скалярное умножение на квадратичном пространстве $V$ неопределено. Тогда группа Ли $O(V)$ имеет четыре компоненты связности, и принадлежность оператора $A=R_{v_1}\cdots R_{v_k}$ одной из них определяется чётностями количества номеров $i$ с $(v_i\|v_i)>0$ и с $(v_i\|v_i)<0$. Задача 3.2. Если $\dim V\ge2$, то группа $\operatorname{Spin}(V)$ связна, кроме случая $\mathbb{K}=\mathbb{R}$, $\dim V=2$, когда скалярное умножение имеет сигнатуру $(1,1)$. Задача 3.3. a) Касательная алгебра Ли группы $\operatorname{Spin}(V)$ — это подалгебра Ли в $\operatorname{Cl}(V)$ (относительно операции коммутирования $[a,b]=ab-ba$) с базисом $e_ie_j$ ($1\le i< j\le n$), где $e_1,\dots,e_n$ — ортонормированный базис $V$. б) Дифференциал представления $R$ — это действие коммутированием: $dR(a)x=[a,x]$.