предыдущий семинар 13 марта 2020 г. следующий семинар

Тема 4

Спинорное представление

Представление $R$ спинорной группы $\operatorname{Spin}(V)$ в квадратичном пространстве $V$, задаваемое сопряжениями в алгебре Клиффорда, называется векторным. Оно сводится к естественному представлению ортогональной группы $O(V)$ (точнее, её связной компоненты единицы) в пространстве $V$ посредством накрывающего гомоморфизма $\operatorname{Spin}(V)\to O(V)$. Однако у спинорной группы есть и представления, не сводимые к представлениям ортогональной группы. Мы рассмотрим конструкцию точного линейного представления спинорной группы, возникающего из представления алгебры Клиффорда.

Мы будем считать, что $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, т.е. рассматривать спинорные группы комплексных квадратичных пространств и их комплексные линейные представления. Комплексные линейные представления вещественных спинорных групп индуцируют представления комплексных спинорных групп, получаемых комплексификацией квадратичных пространств, а вещественные линейные представления сводятся к комплексным операцией комплексификации линейного представления (хотя вопрос о существовании и описании вещественных форм комплексного линейного представления нетривиален и может быть исследован отдельно). Поэтому вещественный случай до некоторой степени сводится к комплексному.

Итак, пусть $V$ — комплексное квадратичное пространство размерности $n$. Напомним структуру алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$, из которой видно, что для понимания её линейных представлений надо в первую очередь понять, как устроены линейные представления алгебры квадратных матриц. Под линейным представлением ассоциативной алгебры мы понимаем гомоморфизм этой алгебры в алгебру линейных операторов векторного пространства. При этом, если алгебра имеет единицу, то подразумевается, что единица представляется единичным оператором.

Предложение 1. Алгебра $\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ имеет единственное, с точностью до изоморфизма, неприводимое линейное представление — а именно, естественное представление в пространстве столбцов $\mathbb{K}^n$.

Доказательство. Алгебру $A=\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ можно разложить в прямую сумму левых идеалов: $A=J_1\oplus\dots\oplus J_N$, где $$ J_k=\begin{array}{c} \begin{array}{|c|c|c|} \hline \qquad & \!\!\!\!{\smash[b]{\vdots}} & \quad \\ \text{O} & \!\!\!\!{\smash\vdots} & \text{O} \\ & \!\!\!\!{\smash\vdots} & \\ \hline \end{array} \\[-3ex] \smash{\begin{array}{ccc}\qquad & \scriptstyle k & \quad \end{array}} \end{array}. $$ Алгебра $A$ действует на каждом из них умножениями слева, и это представление изоморфно естественному представлению алгебры $\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ в $\mathbb{K}^n$ и, в частности, неприводимо. Если $J$ — пространство произвольного неприводимого представления алгебры $A$ (или, в терминологии теории модулей, простой левый $A$-модуль), то для любого ненулевого вектора $u\in J$ гомоморфизм $\varphi:A\to J$, $\varphi(a)=au$ из левого регулярного представления алгебры $A$ (на себе самой умножениями слева) отличен от нуля и, следовательно, один из гомоморфизмов $\varphi:J_k\to J$ — ненулевой. По лемме Шура, $J\simeq J_k\simeq\mathbb{K}^n$.

Следствие 1. Алгебра $\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ не имеет ненулевых линейных представлений размерности $< N$ и имеет единственное, с точностью до изоморфизма, представление размерности $N$.

Следствие 2. Все автоморфизмы алгебры $\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ — внутренние, т.е. вида $\operatorname{Ad}(g)$, $g\in GL_N(\mathbb{K})$.

Вернёмся к алгебрам Клиффорда.

Лемма 1. $\operatorname{Cl}_n(\mathbb{C})\simeq\operatorname{Cl}_{n+1}^+(\mathbb{C})$.

Доказательство. Вложим $n$-мерное квадратичное пространство $V$ в $(n+1)$-мерное квадратичное пространство $V'=V\oplus\langle e_0\rangle$, где $e_0\perp V$, $(e_0|e_0)=-1$. Изоморфизм $\operatorname{Cl}(V)\to\operatorname{Cl}^+(V')$ задаётся формулой $u=u_++u_-\mapsto\varphi(u)=u_++e_0u_-$ ($u_{\pm}\in\operatorname{Cl}^{\pm}(V)$).

Лемма 2. Алгебра $\operatorname{Cl}^+(V)$ является линейной оболочкой группы $\operatorname{Spin}(V)$.

Рассмотрим вначале случай чётномерного квадратичного пространства: $n=2m$. Тогда алгебра Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)\simeq\operatorname{Mat}_{2^m}(\mathbb{C})$ имеет единственное, с точностью до изоморфизма, неприводимое представление, которое имеет размерность $2^m$. Оно называется спинорным. Ограничивая его на подгруппу $\operatorname{Spin}(V)\subset\operatorname{Cl}(V)$, получаем спинорное представление спинорной группы.

Можно построить явную модель спинорного представления в минимальном левом идеале алгебры Клиффорда. Выберем в пространстве $V$ гиперболический базис $e_{\pm1},\dots,e_{\pm m}$, в котором ненулевые скалярные произведения базисных векторов — это только $(e_i|e_{-i})=1$, и рассмотрим элемент $u=e_1\cdots e_m\in\operatorname{Cl}(V)$. Порождённый им левый идеал $S=\operatorname{Cl}(V)\cdot u$ называется пространством спиноров.

Предложение 2. Линейное представление алгебры Клиффорда $\operatorname{Cl}(V)$ в пространстве спиноров $S$ умножениями слева неприводимо и, следовательно, является спинорным представлением.

Доказательство. В силу следствия 1 достаточно убедиться, что $\dim S=2^m$. Но умножая базисные элементы $e_{\pm i_1}\cdots e_{\pm i_k}$ алгебры Клиффорда на $u$, легко убедиться, что ненулевые произведения имеют вид $e_{-j_1}\cdots e_{-j_l}e_1\cdots e_m$ ($1\le j_1< \dots< j_l\le m$) и образуют базис пространства $S$.

Градуировка алгебры Клиффорда по модулю 2 задаётся автоморфизмом $\theta\in\operatorname{Aut}\operatorname{Cl}(V)$ второго порядка, который действует на $\operatorname{Cl}^{\pm}(V)$ умножением на $\pm1$. По следствию 2 он является внутренним: $\theta=\operatorname{Ad}(r)$ для некоторого $r\in\operatorname{Cl}(V)^{\times}$. Сопрягающий элемент $r$ можно указать явно (задача 4.2). Его квадрат лежит в центре алгебры $\operatorname{Cl}(V)$, т.е. является скаляром (задача 1.3а). Домножив $r$ на подходящий скаляр, можно считать, что $r^2=1$.

Отождествляя $\operatorname{Cl}(V)$ с алгеброй $\operatorname{Mat}_{2^m}(\mathbb{C})$ подходящим выбором базиса в спинорном представлении, можно считать, что $r$ задаётся матрицей $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}} 1 && \text{O} \\ & \smash{\ddots} & \\ \text{O} && 1 \end{array} & \text{O} \\ \hline \text{O} & \begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}} -1 && \text{O} \\ & \smash{\ddots} & \\ \text{O} && -1 \end{array} \\ \hline \end{array}. $$ Тогда алгебра $\operatorname{Cl}^+(V)$ отождествляется с алгеброй блочно-диагональных матриц вида $$ \begin{array}{|c|c|} \hline * & \text{O} \\ \hline \text{O} & * \\ \hline \end{array}, $$ причём размеры блоков равны $2^{m-1}\times 2^{m-1}$, поскольку $\dim\operatorname{Cl}^+(V)=\dim\operatorname{Cl}(V)/2$.

Ограничивая спинорное представление на чётную алгебру Клиффорда $\operatorname{Cl}^+(V)$, получаем его разложение в прямую сумму двух неприводимых представлений размерности $2^{m-1}$, называемых полуспинорными: $\mathbb{C}^{2^m}=\mathbb{C}^{2^{m-1}}_+\oplus\mathbb{C}^{2^{m-1}}_-$, где $\mathbb{C}^{2^{m-1}}_{\pm}$ состоит из столбцов с нулями на первой или второй половине мест, соответственно. Ограничивая полуспинорные представления на $\operatorname{Spin}(V)\subset\operatorname{Cl}^+(V)$, получаем полуспинорные представления спинорной группы. Они неприводимы по лемме 2.

В явном виде полуспинорные представления реализуются в подпространствах $S^{\pm}=S\cap\operatorname{Cl}^{\pm}(V)$. В самом деле, эти подпространства инвариантны относительно $\operatorname{Cl}^+(V)$, и $S=S^+\oplus S^-$.

Теперь перейдём к случаю нечётномерного квадратичного пространства: $n=2m+1$. Снова выберем в пространстве $V$ гиперболический базис $e_{\pm1},\dots,e_{\pm m},e_0$, в котором ненулевые скалярные произведения базисных векторов — это только $(e_i|e_{-i})=1$ ($i\ne0$) и $(e_0|e_0)=-1$, и положим $V_0=\langle e_{\pm1},\dots,e_{\pm m}\rangle$. Алгебра $\operatorname{Cl}^+(V)\simeq\operatorname{Cl}(V_0)$ (по лемме 1) имеет по доказанному выше единственное неприводимое представление, размерность которого равна $2^m$. Это представление и его ограничение на спинорную группу $\operatorname{Spin}(V)\subset\operatorname{Cl}^+(V)$ называется спинорным представлением. Спинорное представление группы $\operatorname{Spin}(V)$ неприводимо по лемме 2.

Явная реализация спинорного представления задаётся в пространстве спиноров $S=\operatorname{Cl}^+(V)\cdot u$, где $u=e_1\cdots e_m$ или $e_0e_1\cdots e_m$ (множитель $e_0$ может понадобиться, если мы хотим, чтобы элемент $u$ был чётным, а $S$ — левым идеалом в $\operatorname{Cl}^+(V)$).

В заключение опишем роль (полу)спинорных представлений в теории представлений ортогональной и спинорной групп и их алгебр Ли.

Из теории Ли следует, что при $\dim V\ge3$ любое линейное представление алгебры Ли $\mathfrak{so}(V)$ кососимметрических операторов на $V$ является дифференциалом линейного представления группы Ли $\operatorname{Spin}(V)$ (но не обязательно $SO(V)$!), поскольку в этой ситуации $\operatorname{Spin}(V)$ односвязна. Все линейные представления алгебры $\mathfrak{so}(V)$ и группы $\operatorname{Spin}(V)$ вполне приводимы, а неприводимые представления устроены следующим образом: имеется конечный набор фундаментальных неприводимых представлений $R_i:\operatorname{Spin}(V)\to GL(V_i)$, $i=1,\dots,m$, а произвольное неприводимое представление реализуется в канонически определённом инвариантном подпространстве некоторого тензорного произведения $V_1^{\otimes k_1}\otimes\dots\otimes V_m^{\otimes k_m}$.

Фундаментальные представления спинорной группы выглядят так. В случае $n=2m+1$ они индуцированы естественными представлениями группы $SO(V)$ в пространстваx $V_k=\bigwedge^kV$ при $k=1,\dots,m-1$, а $R_m$ — спинорное представление в пространстве $V_m=S$. В случае $n=2m$ фундаментальные представления индуцированы представлениями группы $SO(V)$ в пространстваx $V_k=\bigwedge^kV$ при $k=1,\dots,m-2$, а $R_{m-1}$ и $R_m$ — полуспинорные представления в пространствх $V_{m-1}=S_+$ и $V_m=S_-$.

Литература по алгебрам Клиффорда и спинорам:

  1. D. J. H. Garling. Clifford algebras. An introduction. London Mathematical Society Student Texts, 78. Cambridge: Cambridge University Press, 2011.
  2. H. B. Lawson, M.-L. Michelsohn. Spin geometry. Princeton: Princeton University Press, 1989.
  3. P. Lounesto. Clifford algebras and spinors. London Mathematical Society Lecture Note Series, 286. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
  4. J. Vaz, R. da Rocha. An Introduction to Clifford algebras and spinors. New York: Oxford University Press, 2016.
  5. Р. С. Авдеев, А. И. Буфетов. Спиноры. Курс лекций на Летней школе «Современная математика», 2013.


Задачи

Задача 4.1. Доказать следствие 2.
Указание: автоморфизм алгебры $\operatorname{Mat}_N(\mathbb{K})$ можно рассматривать как её линейное представление в пространстве $\mathbb{K}^n$.

Задача 4.2. Автоморфизм $\theta$, определяющий градуировку алгебры $\operatorname{Cl}(V)$ по модулю 2, в случае чётной $\dim V$ задаётся сопряжением с элементом $r=v_1\cdots v_n$, где $v_1,\dots,v_n$ — ортогональный базис пространства $V$.

Задача 4.3. Полуспинорные представления спинорной группы чётномерного квадратичного пространства не изоморфны друг другу.