Для специальной ортогональной группы $SO(V)=SO_n(\mathbb{C})$ произвольного комплексного квадратичного пространства $V=\mathbb{C}^n$ размерности $n\ge3$ мы построили её односвязную накрывающую — спинорную группу $\operatorname{Spin}(V)=\operatorname{Spin}_n(\mathbb{C})$ — с помощью алгебры Клиффорда. Эта конструкция работает и для вещественной спинорной группы $\operatorname{Spin}_n=\operatorname{Spin}_n(\mathbb{R})$ — односвязной накрывающей для группы $SO_n=SO_n(\mathbb{R})$ в случае знакоопределённого скалярного умножения на вещественном квадратичном пространстве размерности $n\ge3$. Однако при малых $n$ имеются более элементарные конструкции спинорных групп.

1. В 6-мерном векторном пространстве $V=\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ определим невырожденное (задача 5.1) скалярное умножение по правилу $$u\wedge v=(u|v)\cdot\Omega\qquad (u,v\in V),$$ где $\Omega\in\bigwedge^4\mathbb{C}^4$ — ненулевой кососимметрический 4-вектор (определённый однозначно с точностью до скалярного множителя).

Так как 4-вектор $\Omega$ инвариантен относительно унимодулярных линейных преобразований пространства $\mathbb{C}^4$, построенное скалярное умножение инвариантно относительно естественного действия группы $SL_4(\mathbb{C})$ в пространстве $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$. Тем самым возникает гомоморфизм $$\pi:SL_4(\mathbb{C})\to O(V)=O_6(\mathbb{C}).$$ Из соображений связности следует, что образ этого гомоморфизма содержится в $SO_6(\mathbb{C})$.

С другой стороны, $\operatorname{Ker}\pi=\{\pm E\}$ (задача 5.2). Подсчёт размерностей показывает теперь, что гомоморфизм $\pi$ сюръективен. Таким образом, $\pi$ — накрывающий гомоморфизм. Известно, что группа $SL_4(\mathbb{C})$ односвязна. Следовательно, группа $\operatorname{Spin}_6(\mathbb{C})$ изоморфна группе $SL_4(\mathbb{C})$.

2. Рассмотрим подгруппу $Sp_4(\mathbb{C})\subset SL_4(\mathbb{C})$ (симплектическую группу), состоящую из линейных преобразований, сохраняющих бивектор $\beta=e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$, где $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ — стандартный базис пространства $\mathbb{C}^4$ (или, что то же самое, сохраняющих обратную к этому бивектору кососимметрическую билинейную форму). Очевидно, что образ этой подгруппы при гомоморфизме $\pi$ содержится в стабилизаторе вектора $\beta\in\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ в группе $SO_6(\mathbb{C})$. Легко видеть, что $(\beta|\beta)\neq 0$. Следовательно, этот стабилизатор изоморфен группе $SO_5(\mathbb{C})$. Подсчёт размерностей показывает, что $\pi(Sp_4(\mathbb{C}))=SO_5(\mathbb{C})$. Тем самым определён накрывающий гомомофизм $Sp_4(\mathbb{C})\to SO_5(\mathbb{C})$.

Группа $Sp_4(\mathbb{C})$ односвязна (задача 5.3). Таким образом, группа $\operatorname{Spin}_5(\mathbb{C})$ изоморфна группе $Sp_4(\mathbb{C})$.

Аналогичным образом можно доказать, что группа $\operatorname{Spin}_4(\mathbb{C})$ изоморфна группе $SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$, а группа $\operatorname{Spin}_3(\mathbb{C})$ — группе $SL_2(\mathbb{C})$ (задача 5.4).

3. Перейдём теперь к вещественным спинорным группам.

Группа $SU_4$ — это компактная вещественная форма группы Ли $SL_4(\mathbb{C})$. Значит, её образ при накрывающем гомоморфизме $\pi$ — это компактная вещественная форма группы Ли $SO_6(\mathbb{C})$. Известно, что все компактные вещественные формы полупростой комплексной группы Ли сопряжены. Следовательно, подгруппа $\pi(SU_4)\subset SO_6(\mathbb{C})$ сопряжена подгруппе $SO_6=SO_6(\mathbb{R})$. Это означает, что группа $\operatorname{Spin}_6$ изоморфна группе $SU_4$.

Аналогично доказывается, что группа $\operatorname{Spin}_5$ изоморфна группе $Sp_2$ унитарных кватернионных матриц второго порядка, группа $\operatorname{Spin}_4$ изоморфна группе $SU_2\times SU_2$, а группа $\operatorname{Spin}_3$ — группе $SU_2$.

Задача 5.1. Скалярное умножение на пространстве $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ невырожденно.

Задача 5.2. Доказать, что ядро гомоморфизма $\pi$ равно $\{\pm E\}$.

Задача 5.3. Доказать, что группа $Sp_4(\mathbb{C})$ односвязна.

Задача 5.4. Рассматривая вложения $Sp_4(\mathbb{C})\supset SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})\supset SL_2(\mathbb{C})$ (диагонально), доказать, что $\operatorname{Spin}_4(\mathbb{C})\simeq SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$ и $\operatorname{Spin}_3(\mathbb{C})\simeq SL_2(\mathbb{C})$.

Задача 5.5. Получить последние два изоморфизма более простым способом, рассматривая действие группы $SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$ на алгебре $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{C})$ матриц второго порядка левыми и правыми умножениями.

Задача 5.6. Указать явно вещественную форму векторного пространства $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$, инвариантную относительно $\pi(SU_4)$.

Задача 5.7. Получить изоморфизмы $\operatorname{Spin}_4\simeq SU_2\times SU_2$ и $\operatorname{Spin}_3\simeq SU_2$ методом задачи 5.5, заменив алгебру матриц алгеброй кватернионов.

предыдущий семинар	20 марта 2020 г.	следующий семинар
Тема 5 Спинорные группы малых размерностей Для специальной ортогональной группы $SO(V)=SO_n(\mathbb{C})$ произвольного комплексного квадратичного пространства $V=\mathbb{C}^n$ размерности $n\ge3$ мы построили её односвязную накрывающую — спинорную группу $\operatorname{Spin}(V)=\operatorname{Spin}_n(\mathbb{C})$ — с помощью алгебры Клиффорда. Эта конструкция работает и для вещественной спинорной группы $\operatorname{Spin}_n=\operatorname{Spin}_n(\mathbb{R})$ — односвязной накрывающей для группы $SO_n=SO_n(\mathbb{R})$ в случае знакоопределённого скалярного умножения на вещественном квадратичном пространстве размерности $n\ge3$. Однако при малых $n$ имеются более элементарные конструкции спинорных групп. 1. В 6-мерном векторном пространстве $V=\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ определим невырожденное (задача 5.1) скалярное умножение по правилу $$u\wedge v=(u\|v)\cdot\Omega\qquad (u,v\in V),$$ где $\Omega\in\bigwedge^4\mathbb{C}^4$ — ненулевой кососимметрический 4-вектор (определённый однозначно с точностью до скалярного множителя). Так как 4-вектор $\Omega$ инвариантен относительно унимодулярных линейных преобразований пространства $\mathbb{C}^4$, построенное скалярное умножение инвариантно относительно естественного действия группы $SL_4(\mathbb{C})$ в пространстве $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$. Тем самым возникает гомоморфизм $$\pi:SL_4(\mathbb{C})\to O(V)=O_6(\mathbb{C}).$$ Из соображений связности следует, что образ этого гомоморфизма содержится в $SO_6(\mathbb{C})$. С другой стороны, $\operatorname{Ker}\pi=\{\pm E\}$ (задача 5.2). Подсчёт размерностей показывает теперь, что гомоморфизм $\pi$ сюръективен. Таким образом, $\pi$ — накрывающий гомоморфизм. Известно, что группа $SL_4(\mathbb{C})$ односвязна. Следовательно, группа $\operatorname{Spin}_6(\mathbb{C})$ изоморфна группе $SL_4(\mathbb{C})$. 2. Рассмотрим подгруппу $Sp_4(\mathbb{C})\subset SL_4(\mathbb{C})$ (симплектическую группу), состоящую из линейных преобразований, сохраняющих бивектор $\beta=e_1\wedge e_2+e_3\wedge e_4$, где $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ — стандартный базис пространства $\mathbb{C}^4$ (или, что то же самое, сохраняющих обратную к этому бивектору кососимметрическую билинейную форму). Очевидно, что образ этой подгруппы при гомоморфизме $\pi$ содержится в стабилизаторе вектора $\beta\in\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ в группе $SO_6(\mathbb{C})$. Легко видеть, что $(\beta\|\beta)\neq 0$. Следовательно, этот стабилизатор изоморфен группе $SO_5(\mathbb{C})$. Подсчёт размерностей показывает, что $\pi(Sp_4(\mathbb{C}))=SO_5(\mathbb{C})$. Тем самым определён накрывающий гомомофизм $Sp_4(\mathbb{C})\to SO_5(\mathbb{C})$. Группа $Sp_4(\mathbb{C})$ односвязна (задача 5.3). Таким образом, группа $\operatorname{Spin}_5(\mathbb{C})$ изоморфна группе $Sp_4(\mathbb{C})$. Аналогичным образом можно доказать, что группа $\operatorname{Spin}_4(\mathbb{C})$ изоморфна группе $SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$, а группа $\operatorname{Spin}_3(\mathbb{C})$ — группе $SL_2(\mathbb{C})$ (задача 5.4). 3. Перейдём теперь к вещественным спинорным группам. Группа $SU_4$ — это компактная вещественная форма группы Ли $SL_4(\mathbb{C})$. Значит, её образ при накрывающем гомоморфизме $\pi$ — это компактная вещественная форма группы Ли $SO_6(\mathbb{C})$. Известно, что все компактные вещественные формы полупростой комплексной группы Ли сопряжены. Следовательно, подгруппа $\pi(SU_4)\subset SO_6(\mathbb{C})$ сопряжена подгруппе $SO_6=SO_6(\mathbb{R})$. Это означает, что группа $\operatorname{Spin}_6$ изоморфна группе $SU_4$. Аналогично доказывается, что группа $\operatorname{Spin}_5$ изоморфна группе $Sp_2$ унитарных кватернионных матриц второго порядка, группа $\operatorname{Spin}_4$ изоморфна группе $SU_2\times SU_2$, а группа $\operatorname{Spin}_3$ — группе $SU_2$. Задачи Задача 5.1. Скалярное умножение на пространстве $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$ невырожденно. Задача 5.2. Доказать, что ядро гомоморфизма $\pi$ равно $\{\pm E\}$. Задача 5.3. Доказать, что группа $Sp_4(\mathbb{C})$ односвязна. Задача 5.4. Рассматривая вложения $Sp_4(\mathbb{C})\supset SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})\supset SL_2(\mathbb{C})$ (диагонально), доказать, что $\operatorname{Spin}_4(\mathbb{C})\simeq SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$ и $\operatorname{Spin}_3(\mathbb{C})\simeq SL_2(\mathbb{C})$. Задача 5.5. Получить последние два изоморфизма более простым способом, рассматривая действие группы $SL_2(\mathbb{C})\times SL_2(\mathbb{C})$ на алгебре $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{C})$ матриц второго порядка левыми и правыми умножениями. Задача 5.6. Указать явно вещественную форму векторного пространства $\bigwedge^2\mathbb{C}^4$, инвариантную относительно $\pi(SU_4)$. Задача 5.7. Получить изоморфизмы $\operatorname{Spin}_4\simeq SU_2\times SU_2$ и $\operatorname{Spin}_3\simeq SU_2$ методом задачи 5.5, заменив алгебру матриц алгеброй кватернионов.