Алгебры Клиффорда над квадратичными пространствами относятся к замечательному классу полупростых ассоциативных алгебр. Определим этот класс алгебр и изучим их структуру.

Будем рассматривать конечномерные ассоциативные алгебры над полем $\mathbb{K}$ (не обязательно с единицей).

Определение 1. Алгебра $A$ называется нильпотентной, если все её элементы нильпотентны: для всякого $a\in A$ существует такое $n\in\mathbb{N}$, что $a^n=0$.

Пример 1. Алгебра нильтреугольных квадратных матриц (заданного размера) нильпотентна.

Лемма 1. Если алгебра $A$ нильпотентна, то в ней все достаточно длинные произведения равны нулю, т.е. $\exists n\in\mathbb{N}\ \forall a_1,\dots,a_n\in A:\ a_1\cdots a_n=0$.

Доказательство. Проведём индукцию по $\dim A$ с очевидной базой $\dim A=1$.

Будем использовать следующие компактные обозначения: для любого набора подпространств $B_1,\dots,B_n\subseteq A$ положим $$ B_1\cdots B_n=\langle b_1\cdots b_n \mid b_i\in B_i,\ i=1,\dots,n\rangle. $$ В частности, так интерпретируется обозначение $B^n=B\cdots B$ ($n$ множителей) для любого подпространства $B\subseteq A$.

В алгебре $A$ существуют такие ненулевые подпространства $B$, что $B^n=0$ для некоторого $n\in\mathbb{N}$ (таково, например, любое одномерное подпространство, в силу нильпотентности). Рассмотрим какое-нибудь максимальное из них. Если это максимальное подпространство $B$ совпадает с $A$, то всё доказано.

В противном случае существует элемент $a\in A$, $a\notin B$. Рассмотрим подпространства $aB,aB^2,aB^3,\dots$ Поскольку $aB^n=0$, то найдётся $k\ge0$, для которого $aB^k\not\subseteq B$, но $aB^{k+1}\subseteq B$ (здесь мы считаем $B^0=\mathbb{K}$). Взяв элемент $c\in aB^k$, $c\notin B$, получим $cB\subseteq B$.

Элемент $c$ нильпотентен: $c^m=0$ для некоторого $m\in\mathbb{N}$. Положив $C=B\oplus\langle c\rangle$, получим $C^{mn}=0$ (задача 6.1), что противоречит максимальности подпространства $B$. Это завершает доказательство леммы.

Лемма 2. Сумма нильпотентных идеалов в произвольной алгебре — снова нильпотентный идеал.

Эта лемма гарантирует корректность следующего определения.

Определение 2. Радикал алгебры $A$ — это её наибольший нильпотентный идеал. Обозначение: $\operatorname{Rad}A$.

Пример 2. Радикал алгебры треугольных квадратных матриц (заданного размера) — это алгебра нильтреугольных матриц.

Определение 3. Алгебра $A$ называется полупростой, если $\operatorname{Rad}A=0$.

В нулевой характеристике радикал и свойство полупростоты удобно изучать с помощью скалярного умножения специального вида на алгебре $A$. Рассмотрим левое регулярное представление алгебры $A$ на себе самой умножениями слева. Для любого $a\in A$ обозначим через $L(a)$ оператор левого умножения на $a$.

Определение 4. Стандартное скалярное умножение на алгебре $A$ задаётся формулой $(a|b)=\operatorname{tr}L(a)L(b)$.

Основное свойство: $(ab|c)=(a|bc)$, $\forall a,b,c\in A$ (вытекает из ассоциативности умножения).

Лемма 3. а) $I\lhd A\implies I^{\perp}\lhd A$ (ортогональное дополнение — в смысле стандартного скалярного умножения).
б) Ограничение стандартного скалярного умножения на идеал $I\lhd A$ есть стандартное скалярное умножение на алгебре $I$.

Теорема 1. Если $\operatorname{char}\mathbb{K}=0$, то $\operatorname{Rad}A$ совпадает с ядром стандартного скалярного умножения на $A$.

Доказательство. Ядро скалярного умножения, т.е. $A^{\perp}$ — идеал в $A$ по лемме 3а. Для любого $a\in A^{\perp}$ имеем $(a^k|a^l)=0$, $\forall k,l\in\mathbb{N}$, а следовательно, $\operatorname{tr}L(a)^m=0$, $\forall m\ge 2$. Отсюда следует (задача 6.6), что оператор $L(a)$ нильпотентен: $L(a)^n=0$ для некоторого $n$. Применяя его к $a$, получаем $a^{n+1}=0$, т.е. $a$ нильпотентен. Таким образом, $A^{\perp}$ — нильпотентный идеал.

С другой стороны, для любых $a\in A$, $b\in\operatorname{Rad}A$ имеем: $$ab\in\operatorname{Rad}A\implies L(ab)\text{ нильпотентен}\implies(a|b)=\operatorname{tr}L(ab)=0.$$ Следовательно, $\operatorname{Rad}A\subseteq A^{\perp}$.

Следствие. Над полем нулевой характеристики, алгебра $A$ полупроста (нильпотентна) тогда и только тогда, когда стандартное скалярное умножение на $A$ невырожденно (соответственно, нулевое).

Замечание. Условие на характеристику использовалось только при доказательстве включения $A^{\perp}\subseteq\operatorname{Rad}A$, обратное включение имеет место в любой характеристике. В частности, на нильпотентной алгебре стандартное скалярное умножение всегда нулевое, а если оно невырожденно, то алгебра полупроста.

Следующая теорема является первым шагом в описании структуры полупростых ассоциативных алгебр.

Теорема 2. Всякая полупростая алгебра является прямой суммой простых алгебр: $$A=A_1\oplus\dots\oplus A_s.$$

Докажем теорему в нулевой характеристике.

Возьмём в алгебре $A$ минимальный ненулевой двусторонний идеал $A_1$. Поскольку $A_1\cap A_1^{\perp}$ — тоже идеал (лемма 3а), то либо $A_1\subseteq A_1^{\perp}$, либо $A_1\cap A_1^{\perp}=0$. В первом случае, по лемме 3б и следствию теоремы 1, идеал $A_1$ нильпотентен, что противоречит полупростоте алгебры $A$. Во втором случае $A=A_1\oplus A_1^{\perp}$, причём стандартное скалярное умножение невырожденно на обоих слагаемых. Из леммы 3 и следствия теоремы 1 вытекает, что $A_1$ и $A_1^{\perp}$ — полупростые идеалы, и доказательство завершается индукцией по размерности.

Задача 6.1. Пусть $B\subseteq A$ — подпространство в ассоциативной алгебре и $c\in A$, причём $B^n=0$, $c^m=0$ и $cB\subseteq B$. Тогда для подпространства $C=B+\langle c\rangle$ верно $C^{mn}=0$.

Задача 6.2. Доказать лемму 2.

Задача 6.3. Радикал коммутативной алгебры — это множество всех её нильпотентных элементов.

Задача 6.4. Для любой алгебры $A$ факторалгебра $A/\operatorname{Rad}A$ полупроста.

Задача 6.5. Доказать лемму 3.

Задача 6.6. Пусть $B$ — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики, и $\operatorname{tr}B^m=0$ для всех $m\ge m_0$. Тогда $B$ нильпотентен.

Задача 6.7. Придумать контрпример к теореме 1 в положительной характеристике.

Задача 6.8. Любой двусторонний идеал в полупростой алгебре $A=A_1\oplus\dots\oplus A_s$ ($A_i$ — простые идеалы) является суммой нескольких $A_i$.